ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มคืออะไร?

ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชั่นที่สามารถวัดได้จากที่หนึ่งพีชคณิตที่มีพื้นฐานการวัดไปยังอีกพีชคณิต ) $X$ $\sigma$ $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ $P$ $\sigma$ $(\Omega_2, \mathcal F_2)$

เราจะพูดถึงตัวอย่างของตัวแปรสุ่มนี้ได้อย่างไร เราปฏิบัติต่อมันเป็นองค์ประกอบจากหรือไม่? หรือเป็นฟังก์ชั่นที่วัดเช่นเดียวกับ ? $X^n$ $\Omega_2$ $X$

ฉันจะอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ที่ไหน

ตัวอย่าง:

ในการประมาณค่า Monte Carlo เราพิสูจน์ความเป็นกลางของตัวประมาณโดยพิจารณาจากตัวอย่างเพื่อใช้เป็นฟังก์ชัน หากความคาดหวังของตัวแปรสุ่มถูกกำหนดเป็น $(X^n)_{n = 1}^N$ $X$

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

และสมมติว่าเป็นฟังก์ชันและเราสามารถดำเนินการดังนี้: $X^n$ $X^n = X$

\begin{aligned} E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} f (X^{n})] & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X^{n})] \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X)] \\ = E [f (X)] . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$

หากเป็นเพียงองค์ประกอบจากเราไม่สามารถเขียนสมการชุดสุดท้ายได้ $X^n$ $\Omega_2$

sampling random-variable simulation

— sk1ll3r
แหล่งที่มา

ในตัวอย่างของคุณ,

ทั้งหมดจะมีการกระจายเช่นเดียวกับ

คุณอธิบายจึง expecation ของพวกเขาเป็นเช่นเดียวกับที่X

X^{n}

$X^n$

X

$X$

X

$X$

— bdeonovic

คำตอบ:

ตัวอย่างเป็นฟังก์ชั่นที่สามารถวัดได้จากเพื่อ 2สำนึกของตัวอย่างนี้เป็นค่าดำเนินการโดยฟังก์ชั่นที่ , ) $(X^1,\ldots,X^N)$ $\Omega_1$ $\Omega_2^N$ $\omega\in\Omega_1$ $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

เมื่อระบุ

$X^n$ $X^n=X$

$X^n$ $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ $\omega$ $X^n$

$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ $A$ $\mathcal{F}_2$
$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

คำจำกัดความของคุณ

$\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d ω_{1} \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$

ไม่ถูกต้อง: ควรเป็น

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

— ซีอาน
แหล่งที่มา

$n$ $n$ $n$ คุณมี. ตัวอย่างถือเป็นตัวแปรสุ่มเพราะกระบวนการสุ่มนำไปสู่การวาดพวกเขา มีการกระจายตัวเหมือนกันเนื่องจากมาจากการกระจายทั่วไป สำหรับการจัดการกับตัวอย่างเรามีสถิติในขณะที่สถิติใช้นามธรรมคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของปัญหาในแง่ของทฤษฎีความน่าจะเป็นดังนั้นคำศัพท์จะถูกผสมกัน ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่กำหนดความน่าจะเป็นให้กับเหตุการณ์ที่สามารถพบได้ในตัวอย่างของคุณ

— ทิม
แหล่งที่มา

สิ่งที่เกี่ยวกับในบริบทการจำลอง Monte Carlo ตัวอย่างไม่ได้มาจากประชากร พวกเขามาจากเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่ม

— sk1ll3r

@ sk1ll3r ยังคงเป็นตัวอย่างซึ่งมาจากการแจกแจงทั่วไป

— ทิม

Ω_{2}

$\Omega_2$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

@ sk1ll3r ตามที่ bdeonovic กล่าวว่ามันเป็นเพียงตัวแปรสุ่มธรรมดาไม่มีอะไรมากไปกว่านี้แล้ว

— ทิม