ให้และเป็นกระบวนการประมวลเสียงสีขาว เราสามารถพูดได้หรือไม่ว่านั้นเป็นกระบวนการที่มีเสียงรบกวนสีขาว?b t c t = a t + b $a_t$$b_t$$c_t=a_t+b_t$

ไม่คุณต้องการมากกว่านี้ (อย่างน้อยก็ภายใต้คำจำกัดความของสัญญาณสีขาวของฮายาชิ) ตัวอย่างเช่นผลรวมของกระบวนการสองเสียงสีขาวที่เป็นอิสระคือเสียงสีขาว

ทำไมเป็นและเสียงสีขาวไม่เพียงพอสำหรับการจะเป็นเสียงสีขาว?b t a t + b $a_t$$b_t$$a_t+b_t$

ต่อไปนี้ฮายาชิของเศรษฐการแปรปรวนกระบวนการนิ่ง ถูกกำหนดให้เป็นเสียงสีขาวถ้าและสำหรับ0$\{z_t\}$C o V ( Z T , Z T - J ) = 0 เจ≠ $\mathrm{E}[z_t] = 0$$\mathrm{Cov}\left(z_t, z_{t-j} \right) = 0$$j \neq 0$

ให้และ\ {b_t \}เป็นกระบวนการของเสียงสีขาว กำหนดc_t = Ã_t + b_t นิด ๆ เรามี\ mathrm {E} [c_t] = 0 ตรวจสอบสภาพความแปรปรวนร่วม:{ b t } c t = a t + b t E [ c t ] = $\{a_t\}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$\mathrm{E}[c_t] = 0$

{at}{bt}

$$\begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, b_{t-j}\right) \end{align*}$$ ใช้ว่าและเป็นเสียงสีขาว: $\{a_t\}$$\{b_t\}$ $$\begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) \end{align*}$$

ดังนั้นเป็นเสียงสีขาวหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสำหรับทั้งหมดC o v ( a t , b t - j ) + c o v ( b t , a t - j ) = 0 j ≠ $\{c_t\}$$\mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) = 0$$j\neq 0$

ตัวอย่างที่ผลรวมของกระบวนการสองเสียงสีขาวไม่ใช่เสียงสีขาว:

ให้เป็นเสียงสีขาว ให้{t-1} สังเกตว่ากระบวนการเป็นเสียงสีขาว ให้ดังนั้น และสังเกตว่ากระบวนการไม่ใช่เสียงสีขาวb t = a t - 1 { b t } c t = a t + b t c t = a t + a t - 1 { c t$\{a_t\}$$b_t = a_{t-1}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$c_t = a_t + a_{t-1}$$\{c_t\}$

ง่ายกว่าคำตอบของ @ MatthewGunn

พิจารณา-a_t เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่เสียงสีขาว - มันยากที่จะเรียกมันว่าเสียงใด ๆc t ≡ $b_t = -a_t$$c_t \equiv 0$

ประเด็นที่กว้างกว่าคือถ้าเราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับการกระจายตัวของและเราจะไม่สามารถพูดได้ว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราลองและตรวจสอบวัตถุที่ขึ้นอยู่กับทั้งคู่ โครงสร้างความแปรปรวนร่วมเป็นสิ่งจำเป็นต่อการสิ้นสุดนี้บี$a_t$$b_t$

---

ภาคผนวก:

แน่นอนว่านี่เป็นจุดประสงค์ของหูฟังขจัดเสียงรบกวน! - จะกลับความถี่ของเสียงภายนอกและยกเลิกพวกเขาออก - เพื่อจะกลับไปความหมายทางกายภาพของเสียงสีขาว, ลำดับนี้เป็นความเงียบที่แท้จริง ไม่มีเสียงรบกวนเลย

ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์สัญญาณรบกวนสีขาวหมายถึงมีคลื่นความถี่แบน ('สีขาว') และการสุ่ม ('เสียง') สัญญาณรบกวนโดยทั่วไปสามารถถูกเปรียบเทียบกับ 'สัญญาณรบกวน' สัญญาณที่ไม่พึงประสงค์อย่างน้อยหนึ่งสัญญาณถูกหยิบขึ้นมาจากที่อื่นและถูกเพิ่มเข้าไปในสัญญาณที่น่าสนใจและ 'การบิดเบือน' สัญญาณที่ไม่พึงประสงค์ที่เกิดขึ้นจากกระบวนการที่ไม่เชิงเส้น

ในขณะที่มีความเป็นไปได้ที่สัญญาณที่แตกต่างกันสองส่วนจะมีส่วนที่สัมพันธ์กันดังนั้นจึงยกเลิกความถี่ที่แตกต่างกันหรือในช่วงเวลาที่แตกต่างกันเช่นยกเลิกอย่างสมบูรณ์ในช่วงความถี่ที่แน่นอนหรือในช่วงเวลาหนึ่ง แต่ไม่ยกเลิกหรือแม้แต่เพิ่ม อย่างสร้างสรรค์มากกว่าย่านความถี่อื่นหรือในช่วงระยะเวลาหนึ่งความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณทั้งสองนั้นสันนิษฐานว่ามีความสัมพันธ์กันซึ่งจะถูก จำกัด โดยการสุ่มของ 'เสียง' ซึ่งเป็นสิ่งที่ถูกถาม

หากจริง ๆ แล้วสัญญาณเป็น 'เสียงรบกวน' และดังนั้นจึงเป็นอิสระและสุ่มแล้วไม่มีความสัมพันธ์ดังกล่าวควร / จะมีอยู่ดังนั้นการเพิ่มพวกเขาเข้าด้วยกันจะมีสเปกตรัมความถี่แบนและดังนั้นจึงจะเป็นสีขาว

ยิ่งไปกว่านั้นถ้าเสียงรบกวนนั้นสัมพันธ์กันพวกมันก็สามารถยกเลิกเพื่อให้เอาต์พุตเป็นศูนย์ได้ตลอดเวลาซึ่งก็มีสเปกตรัมความถี่แบนศูนย์พลังงานที่ความถี่ทั้งหมดซึ่งอาจตกอยู่ภายใต้นิยามของสีขาวที่เสื่อมลง เสียงรบกวนยกเว้นว่ามันไม่ได้สุ่มและสามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์แบบ

เสียงรบกวนในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์อาจมาจากหลายที่ ตัวอย่างเช่นเสียงยิงเกิดขึ้นจากการมาถึงแบบสุ่มของอิเล็กตรอนในโฟโตปัจจุบัน (มาจากเวลาสุ่มมาถึงของโฟตอน) และเสียงรบกวนของจอห์นสันซึ่งมาจากการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนใน Brownian อิเลคตรอนในองค์ประกอบต้านทานอุ่นกว่าศูนย์สัมบูรณ์ทั้งคู่ เสียงรบกวน, แม้ว่า, มักจะมีแบนด์วิดท์ จำกัด ที่ปลายทั้งสองด้านของสเปกตรัมในระบบจริงใด ๆ ที่วัดในช่วงระยะเวลาที่ จำกัด

หากทั้งเสียงรบกวนสีขาวกำลังเดินทางไปในทิศทางเดียวกันและหากความถี่ของพวกเขาอยู่ในขั้นตอนการจับคู่แล้วพวกเขาเท่านั้นที่ได้รับการเพิ่ม แต่สิ่งหนึ่งที่ฉันไม่แน่ใจคือหลังจากรวมมันจะยังคงเป็นเสียงสีขาวหรือมันจะกลายเป็นเสียงประเภทอื่นที่มีความถี่แตกต่างกัน