ความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มและตัวอย่างสุ่มคืออะไร?

การแสดงออกสองอย่างนี้ทำให้ฉันสับสนมากเมื่อฉันเรียนรู้สถิติ ดูเหมือนว่าพวกเขาจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

ตัวอย่างสุ่มคือการสุ่มเก็บตัวอย่างจากประชากรในขณะที่ตัวแปรสุ่มเป็นเหมือนฟังก์ชั่นที่แมปชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบเป็นจำนวนจริง

อย่างไรก็ตามพูดว่าถ้าฉันวาดตัวอย่าง , ,และ , โดยที่และไม่เป็นที่รู้จักคือ , ,ตัวอย่างสุ่มหรือตัวแปรสุ่ม?$X_1$$X_2$$X_3$$X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$X_1$$X_2$$X_3$

ใช่ตัวแปรสุ่ม ,เป็นฟังก์ชั่นจากพื้นที่ตัวอย่างเพื่อบรรทัดจริง นี่เป็นสูตรกำหนดขึ้นที่สามารถทำได้ง่ายเพียงเขียนตัวเลขลงในดินแดนตายในการทดลองแบบสุ่มของการโยนตาย การทดลองนั้นเป็นการสุ่มในวิธีที่เราไม่ได้ควบคุมปัจจัยทางกายภาพมากมายที่กำหนดผลลัพธ์ อย่างไรก็ตามทันทีที่ผู้ตายลงสู่พื้นตัวแปรสุ่มจะจับคู่ผลลัพธ์ในโลกทางกายภาพกับตัวเลข$X:\Omega \rightarrow \mathbb R$

ตัวอย่างอื่น ๆ ได้แก่ การวัดความสูงของตัวอย่างของนักเรียนระดับประถมแปดคนซึ่งอาจจะอนุมานพารามิเตอร์ประชากร (รวมถึงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน) เด็กชายหรือเด็กหญิงแต่ละคนจะเป็นการทดลองแบบสุ่มเหมือนการโยนเหรียญ อย่างไรก็ตามเมื่อเลือกหัวเรื่องแล้วการจับคู่ตามจริงกับตัวเลขเป็นนิ้วหรือเซนติเมตรจะไม่ถูกสุ่มแม้ว่าชื่อจะเป็น "ตัวแปรสุ่ม"

กลุ่มการทดลองดังกล่าวจะเป็นตัวอย่าง :

ในสถิติตัวอย่างแบบง่าย ๆ คือชุดย่อยของแต่ละบุคคล (ตัวอย่าง) ที่เลือกจากชุดที่ใหญ่กว่า (ประชากร) แต่ละคนได้รับการสุ่มเลือกโดยบังเอิญเช่นว่าแต่ละคนมีความเป็นไปได้ที่จะถูกเลือกในขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างและในแต่ละเซตย่อยของบุคคลที่มีความน่าจะเป็นเหมือนกันเลือกกลุ่มตัวอย่างอื่น ๆ ของบุคคล$k$$k$

ฉันคิดว่าใน OP มีตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติ (แม้ว่าคุณไม่ได้สะกดออกผมคิดว่าเป็นความตั้งใจ) และหนึ่งในแต่ละเป็นสำนึกของ ตัวแปรสุ่ม$\{X_1, X_2, X_3\}$$X_i$

นี่คือการโพสต์เหมือนกันบน Quoraและโพสต์ขนานที่ Math SE

นอกจากนี้ฉันขอแนะนำชุดบรรยายโดยศาสตราจารย์ Krishna Jagannathanจาก IIT เขาเป็นบัณฑิตของ MIT และมีซีรี่ส์ที่เข้าถึงได้ง่ายที่สุดเกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการแนะนำทฤษฎีการวัดอย่างนุ่มนวล ยอดเยี่ยม!

ในตัวอย่างของ OP แต่ละสุ่มกลุ่มตัวอย่างเป็นสังเกตเดียวกันตัวแปรสุ่มXตัวอย่างแบบสุ่มคือการสังเกตตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชั่นที่แมปพื้นที่ตัวอย่างกับจำนวนจริง $X_i$$X$