ความน่าจะเป็นในการวาดสี่ชนิดคืออะไรเมื่อดึงไพ่ 20 ใบจากสำรับ 52 ใบ

เมื่อวานนี้เพื่อนบ้านของฉันและฉันเล่นเกมไพ่และมีคนโผล่คำถามนี้ เราพยายามที่จะแก้ปัญหา แต่เราไม่สามารถเข้าใจได้ เช้านี้ฉันตื่นขึ้นมาและฉันก็ยังสงสัยว่าจะแก้มันอย่างไร คุณช่วยฉันหน่อยได้ไหม?

มีทั้งหมด 13 ชนิดดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาสำหรับชนิดเดียวแล้วไปข้างหน้าจากที่นั่น

คำถามคือความน่าจะเป็นที่จะวาด 4 ความสำเร็จ (เช่นราชา) ใน 20 ตัวอย่างจากการกระจายตัวเดียวกัน 4 ความสำเร็จ (ราชา) และ 48 ความล้มเหลวโดยไม่มีการแทนที่คืออะไร?

การแจกแจง hypergeometric (วิกิพีเดีย) ให้คำตอบสำหรับคำถามนี้และมันคือ 1.8%

หากเพื่อนคนหนึ่งวางเดิมพันเพื่อรับ 4 กษัตริย์และอีกหนึ่งการเดิมพันเพื่อรับสี่ราชินีทั้งคู่มีโอกาส 1.8% ที่จะชนะ เราจำเป็นต้องทราบว่าการเดิมพันสองรายการซ้อนทับกันเท่าใดเพื่อบอกว่าความน่าจะเป็นนั้นเป็นอย่างน้อยหนึ่งในการชนะ

การทับซ้อนของการชนะทั้งคู่นั้นคล้ายกับคำถามแรกคือความน่าจะเป็นของการดึง 8 ความสำเร็จ (ราชาและราชินี) ใน 20 ตัวอย่างจากการกระจาย 8 ความสำเร็จ (ราชาและราชินี) และ 44 ความล้มเหลวโดยไม่มีการแทนที่คืออะไร?

คำตอบนั้นเป็นไฮเพอโรเมตริกอีกครั้งและจากการคำนวณของฉันคือ 0.017%

ดังนั้นความน่าจะเป็นอย่างน้อยหนึ่งในสองเพื่อนที่ชนะคือ 1.8% + 1.8% - 0.017% = 3.6%

ในการให้เหตุผลต่อไปนี้ส่วนที่ง่ายคือการสรุปความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละชนิด (13 * 1.8% = 23.4%) และส่วนที่ยากคือการหาว่าสถานการณ์ทั้ง 13 นี้ซ้อนกันมากเพียงใด

ความน่าจะเป็นที่จะได้ 4 กษัตริย์หรือ 4 ควีนหรือ 4 เอซคือผลรวมของการได้รับสี่ -a-kind ลบด้วยการทับซ้อนกัน การทับซ้อนประกอบด้วยการได้รับ 4 กษัตริย์และ 4 ควีน (แต่ไม่ใช่ 4 เอซ), รับ 4 กษัตริย์และ 4 เอซ (แต่ไม่ใช่ 4 ควีน), ได้รับ 4 ควีนและ 4 เอซ (แต่ไม่ใช่ 4 กษัตริย์) และการได้รับ 4 กษัตริย์และ 4 ควีน และ 4 เอซ

นี่คือสิ่งที่ทำให้ผมลำบากเกินไปสำหรับฉันที่จะดำเนินการต่อ แต่ด้วยวิธีนี้ด้วยสูตร hypergeometric บนวิกิพีเดียคุณสามารถไปข้างหน้าและเขียนมันออกมาทั้งหมด

บางทีใครบางคนสามารถช่วยเราลดปัญหาได้หรือไม่

$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

0≤k≤$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$สำหรับ$0\leq k\leq5.$

โดยหลักการการแยกแบบรวมความน่าจะเป็นของการวาดภาพอย่างน้อยหนึ่งในสี่ของชนิดจึงเท่ากับ

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

สามารถคำนวณเป็นตัวเลขได้ประมาณ$0.2197706.$

ผลรวมข้างต้นมีรูปแบบถ้าเราลบเทอมหลังจากนั้น เนื่องจากข้อกำหนดสำหรับเท่ากับศูนย์ ฉันสงสัยว่ามีวิธีในการลดความซับซ้อนของผลรวมนั้นk=05<k≤$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$