ประจักษ์ CDF vs CDF

ฉันกำลังเรียนรู้เกี่ยวกับฟังก์ชั่นการกระจายการสะสม Empirical แต่ฉันก็ยังไม่เข้าใจ

1. เหตุใดจึงเรียกว่า 'Empirical'

2. Empirical CDF และ CDF ต่างกันหรือไม่?

ให้$X$เป็นตัวแปรสุ่ม

• ฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสม$F(x)$ให้$P(X \leq x)$ )
• ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเชิงประจักษ์ฟังก์ชัน$G(x)$ให้$P(X \leq x)$ตามการสังเกตในตัวอย่างของคุณ

ความแตกต่างคือการวัดความน่าจะเป็นที่ใช้ สำหรับ CDF เชิงประจักษ์คุณใช้การวัดความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยการนับความถี่ในตัวอย่างเชิงประจักษ์

ตัวอย่างง่ายๆ (พลิกเหรียญ):

ให้$X$เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงถึงผลการพลิกเหรียญครั้งเดียวโดยที่$X=1$หมายถึงหัวและ$X=0$หมายถึงก้อย

CDF สำหรับเหรียญยุติธรรมมอบให้โดย:

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{1}{2} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

หากคุณพลิก 2 หัวและ 1 หาง CDF เชิงประจักษ์จะเป็น:

$$G(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{2}{3} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

CDF เชิงประจักษ์จะสะท้อนให้เห็นว่าในตัวอย่างของคุณ$2/3$ของพลิกของคุณเป็นหัวหน้า

ตัวอย่างอื่น ( $F$คือ CDF สำหรับการแจกแจงแบบปกติ):

ให้$X$เป็นตัวแปรสุ่มกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ย$0$และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน1$1$

CDF มอบให้โดย:

$$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}$$

$x_1 < x_2 < x_3$

$$G(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } y < x_1\\ \frac{1}{3} & \text{for } x_1 \leq y < x_2 \\\frac{2}{3} & \text{for } x_2 \leq y < x_3 \\1 & \text{for } x_3 \leq y \end{array} \right.$$

ด้วยจำนวน IID ที่เพียงพอ (และเงื่อนไขปกติบางอย่างน่าพอใจ) CDF เชิงประจักษ์จะมาบรรจบกับ CDF พื้นฐานของประชากร

Empirical CDF และ CDF ต่างกันหรือไม่?

ใช่มันแตกต่างกัน cdf เชิงประจักษ์เป็น cdf ที่เหมาะสม แต่ cdf เชิงประจักษ์มักจะไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะไม่ได้ดึงออกมาจากการกระจายโดยสิ้นเชิงในขณะที่ cdf ของการกระจายสามารถเป็นสิ่งอื่นนอกเหนือจากที่ไม่ต่อเนื่อง

หากคุณปฏิบัติกับตัวอย่างราวกับว่ามันเป็นประชากรของค่าแต่ละคนน่าจะเท่ากัน (เช่นความน่าจะเป็นที่ 1 / n ในการสังเกตแต่ละครั้ง) จากนั้น cdf ของการแจกแจงนั้นจะเป็น ECDF ของข้อมูล

ทำไมถึงเรียกว่า 'Empirical'

มันคือการประมาณของประชากร cdf จากตัวอย่าง; โดยเฉพาะถ้าคุณปฏิบัติต่อสัดส่วนของตัวอย่างในแต่ละค่าข้อมูลที่แตกต่างกันและถือว่าเป็นความน่าจะเป็นในประชากรคุณจะได้รับ ECDF

ประจักษ์มีความหมายบางอย่างเช่น "โดยการสังเกตมากกว่าทฤษฎี" และนั่นคือสิ่งที่มันหมายถึงในกรณีนี้ ... ใช้การสังเกตเพื่อกำหนดฟังก์ชั่นการกระจาย

เชิงประจักษ์ CDF สร้างขึ้นจากชุดข้อมูลจริง (ในพล็อตด้านล่างฉันใช้ 100 ตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน) CDF เป็นโครงสร้างทางทฤษฎี - เป็นสิ่งที่คุณจะเห็นว่าคุณสามารถใช้ตัวอย่างจำนวนมากได้ไม่ จำกัด

เชิงประจักษ์ CDF มักจะใกล้เคียงกับ CDF ค่อนข้างดีโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่

เชิงประจักษ์เป็นสิ่งที่คุณสร้างจากข้อมูลและการสังเกต ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องการทราบเกี่ยวกับการกระจายความสูงของคนในประเทศ คุณเริ่มต้นด้วยการวัดคนและสร้างฮิสโตแกรมที่สามารถประมาณค่าการแจกแจง จากนั้นคุณคำนวณ CDF เชิงประจักษ์

หากคุณกำลังใช้การแจกแจงเชิงสถิติ (สูตรกำหนดขึ้นมาที่ให้ผลลัพธ์เดียวกันกับพารามิเตอร์เดียวกัน) คุณสามารถคำนวณ CDF ได้

$N(\mu=1.75\ \text{m},\sigma=0.1\ \text{m})$

ตามที่Dictionary.comคำจำกัดความของ "เชิงประจักษ์" รวมถึง:

มาจากหรือชี้นำโดยประสบการณ์หรือการทดลอง

ดังนั้น Empirical CDF จึงเป็น CDF ที่คุณได้รับจากข้อมูลของคุณ สิ่งนี้ตรงกันข้ามกับทฤษฎี CDF (มักเรียกว่า "CDF") ซึ่งได้มาจากแบบจำลองทางสถิติหรือความน่าจะเป็นเช่นการแจกแจงแบบปกติ