ทำไม OLS ประมาณค่าสัมประสิทธิ์ AR (1) เอนเอียง?

ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าทำไม OLS จึงให้ตัวประมาณค่าแบบอคติของกระบวนการ AR (1) พิจารณา ในรูปแบบนี้มีการละเมิด exogeneity ที่เข้มงวดเช่นและมีความสัมพันธ์กัน แต่และไม่มีความสัมพันธ์กัน แต่ถ้าสิ่งนี้เป็นจริงแล้วเหตุใดความเรียบง่ายที่ตามมาจึงไม่เกิดขึ้น

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

ตามที่กล่าวถึงในความคิดเห็นความเป็นกลางเป็นคุณสมบัติตัวอย่าง จำกัด และถ้ามันถือมันจะแสดงเป็น

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(โดยที่ค่าที่คาดไว้เป็นช่วงเวลาแรกของการกระจายตัวอย่าง จำกัด )

ในขณะที่ความสอดคล้องเป็นคุณสมบัติเชิงแสดงความ

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

OP แสดงให้เห็นว่าถึงแม้ว่า OLS ในบริบทนี้จะมีอคติ แต่ก็ยังคงสอดคล้องกัน

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

ไม่มีข้อโต้แย้งที่นี่

@Alcos อธิบายอย่างชัดเจนว่าทำไมการพิมพ์ที่ดีและไม่เป็นกลางจึงไม่เหมือนกัน สำหรับเหตุผลพื้นฐานที่ว่าทำไมตัวประมาณไม่ไม่เอนเอียงโปรดจำไว้ว่าความเป็นกลางของตัวประมาณต้องการเงื่อนไขข้อผิดพลาดทั้งหมดนั้นหมายถึงเป็นอิสระจากค่าถดถอยทั้งหมด$E(\epsilon|X)=0$.

ในกรณีปัจจุบันเมทริกซ์การถดถอยประกอบด้วยค่า $y_1,\ldots,y_{T-1}$เพื่อให้ - ดูความคิดเห็นของ mpiktas - เงื่อนไขแปลเป็น $E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$ เพื่อทุกสิ่ง $s=2,\ldots,T$.

ที่นี่เรามี

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ แม้ภายใต้สมมติฐาน $E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ เรามีสิ่งนั้น $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ แต่, $y_t$ ยังเป็น regressor สำหรับค่าในอนาคตในโมเดล AR ain เช่น $y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$.

ขยายคำตอบที่ดีสองข้อ เขียนตัวประมาณ OLS:

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

สำหรับความเป็นกลางเราต้องการ

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

แต่สำหรับสิ่งที่เราต้องการ $E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$ แต่ละ $t$. สำหรับรุ่น AR (1) สิ่งนี้ล้มเหลวอย่างชัดเจนตั้งแต่$\varepsilon_t$ เกี่ยวข้องกับค่าในอนาคต $y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$.