ทฤษฎีขีด จำกัด กลางสำหรับรากที่สองของผลรวมของตัวแปรสุ่ม iid

ทึ่งกับคำถามที่ math.stackexchangeและตรวจสอบมันสังเกตุฉันสงสัยเกี่ยวกับคำสั่งต่อไปนี้ในรากที่สองของจำนวนสุ่มตัวแปร iid

สมมติว่า$X_1, X_2, \ldots, X_n$เป็นตัวแปรสุ่ม IID ด้วยแน่นอนไม่ใช่ศูนย์หมายถึงและความแปรปรวนและx_i ทฤษฎีขีด จำกัด กลางบอกว่าเมื่อเพิ่มขึ้นσ 2 Y = n Σฉัน= 1 X ฉันY - n $\mu$$\sigma^2$$\displaystyle Y=\sum_{i=1}^n X_i$$\displaystyle \dfrac{Y - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$$n$

ถ้าฉันสามารถพูดได้เช่นเมื่อเพิ่มขึ้น?Z - $Z=\sqrt{|Y|}$$\displaystyle \dfrac{Z - \sqrt{n |\mu|-\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}{\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$$n$

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคือ Bernoulli ที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจากนั้นคือทวินามและฉันสามารถจำลองสิ่งนี้ใน R พูดด้วย :$X_i$$p$$p(1-p)$$Y$$p=\frac13$

set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))

ซึ่งให้ประมาณค่าเฉลี่ยความหวังและความแปรปรวนสำหรับ$Z$

> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667

และพล็อต QQ ซึ่งมีลักษณะใกล้เคียงกับเกาส์เซียน

qqnorm(Z)

การบรรจบกับเกาส์เซียนถือเป็นปรากฏการณ์ทั่วไป

$X_1,X_2,X_3,...$$\mu\gt 0$$\sigma^2$$Y_n=\sum_{i=1}^n X_i$$\alpha$$P(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha)\to\Phi(\alpha)$$n\to\infty$$\Phi$

$$P\Big(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha+\frac{\alpha^2 \sigma^2}{4\mu\sigma\sqrt n}\Big)\to\Phi(\alpha)$$ $$P\Big(Y_n\leq (\frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu})^2\Big)\to\Phi(\alpha)$$

$\mu\gt 0$$P(Y_n\lt 0)\to 0$

$$P\Big(\sqrt{|Y_n|}\leq \frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu}\Big)\to\Phi(\alpha)$$ $\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$$n\to\infty$

$\sqrt{n\mu}$$E[\sqrt{|Y_n|}]$$n$$E[\sqrt{Y_n}]=\sqrt{E[Y_n]-\text{Var}(\sqrt{Y_n})}$$E[Y_n]=n\mu$$\text{Var}(\sqrt{Y_n})\approx \frac{\sigma^2}{4\mu}$$E[\sqrt{|Y_n|}]\approx\sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

$$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$$ $\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}-\sqrt{n\mu}\to 0$$n\to\infty$