หนึ่งในผู้อนุมัติโครงการออยเลอร์ปัญหา 213 (“ Flea Circus”) ได้อย่างไร?

ฉันต้องการแก้ปัญหาProject Euler 213แต่ไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นอย่างไรเพราะฉันเป็นคนธรรมดาในสาขาสถิติสังเกตว่าต้องมีคำตอบที่ถูกต้องดังนั้นวิธี Monte Carlo จะไม่ทำงาน คุณช่วยแนะนำหัวข้อสถิติให้ฉันอ่านได้ไหม? โปรดอย่าโพสต์วิธีแก้ปัญหาที่นี่

หมัดละครสัตว์

สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 30 × 30 ประกอบด้วย 900 หมัดหมัดแรกหนึ่งหมัดต่อตาราง เมื่อระฆังดังขึ้นหมัดแต่ละตัวจะกระโดดไปที่สี่เหลี่ยมที่อยู่ติดกันโดยการสุ่ม (โดยปกติจะมีความเป็นไปได้ 4 อย่างยกเว้นหมัดที่อยู่บนขอบของตารางหรือที่มุม)

จำนวนที่คาดว่าจะเป็นสี่เหลี่ยมที่ว่างหลังจาก 50 ระฆังคืออะไร? ให้คำตอบของคุณถูกปัดเศษเป็นทศนิยมหกตำแหน่ง

คุณถูก; Monte Carlo ทำไม่ได้ (ในการจำลองที่ไร้เดียงสา - นั่นคือสิ่งที่ทำซ้ำสถานการณ์ปัญหาโดยไม่มีการทำให้เรียบง่าย - การวนซ้ำแต่ละครั้งจะเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวของหมัด 900 ครั้งการประมาณคร่าวๆของสัดส่วนของเซลล์ว่างคือซึ่งหมายถึงความแปรปรวนของ Monte - ประมาณการ Carlo หลังจากNซ้ำเช่นประมาณ1 / N 1 / e ( 1 - 1 / e ) = 0.2325 … /$1/e$$N$$1/N 1/e (1 - 1/e) = 0.2325\ldots /N$. ในการปักคำตอบของตำแหน่งทศนิยมหกตำแหน่งคุณจะต้องประมาณไว้ภายใน 5.E-7 และเพื่อให้ได้ความมั่นใจ 95 +% (พูด) คุณจะต้องลดความแม่นยำลงเหลือ 2.5E-7 . การแก้ให้N>4E12โดยประมาณ นั่นจะเป็นหมัดที่อยู่รอบ ๆ 3.6E15 ซึ่งแต่ละตัวจะใช้ CPU หลายตัว ด้วย CPU ที่ทันสมัยหนึ่งตัวคุณจะต้องใช้คอมพิวเตอร์ (มีประสิทธิภาพสูง) เต็มปี และฉันคิดว่าไม่ถูกต้องและ overoptimistically คำตอบที่ได้รับเป็นสัดส่วนแทนที่จะนับ: เป็นจำนวนมันจะต้องมีตัวเลขสำคัญอีกสามร่างการคำนวณเพิ่มขึ้นหนึ่งล้านพับ ... คุณรอนานไหม?)$\sqrt(0.2325/N) \lt 2.5E-7$$N > 4E12$

เท่าที่โซลูชันการวิเคราะห์ดำเนินต่อไปจะมีการทำให้เข้าใจง่ายบางอย่าง (สิ่งเหล่านี้สามารถใช้เพื่อคำนวณการคำนวณ Monte Carlo ได้เช่นกัน) จำนวนเซลล์ว่างที่คาดไว้คือผลรวมของความน่าจะเป็นของความว่างเปล่าของทุกเซลล์ ในการค้นหาสิ่งนี้คุณสามารถคำนวณการแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนการเข้าพักของแต่ละเซลล์ การแจกแจงเหล่านั้นได้มาจากการสรุปผลรวม (อิสระ!) จากหมัดแต่ละอัน สิ่งนี้จะช่วยลดปัญหาของคุณในการค้นหาจำนวนเส้นทางที่มีความยาว 50 ตามตาราง 30 ถึง 30 ระหว่างคู่ของเซลล์ที่ระบุในตารางนั้น (อันแรกคือต้นกำเนิดของหมัดและอีกเซลล์หนึ่งเป็นเซลล์ที่คุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของ การเข้าพักของหมัด)

คุณไม่สามารถย้ำผ่านความน่าจะเป็นของการยึดครองของเซลล์สำหรับหมัดแต่ละอัน นั่นคือหมัด k เริ่มต้นในเซลล์ (i (k), j (k)) ด้วยความน่าจะเป็น 1 หลังจากทำซ้ำ 1 ครั้งเขามีโอกาส 1/4 ในแต่ละเซลล์ที่อยู่ติดกัน 4 แห่ง (สมมติว่าเขาไม่ได้อยู่บนขอบหรือใน มุมหนึ่ง) จากนั้นการทำซ้ำครั้งต่อไปแต่ละไตรมาสจะได้รับ "ป้าย" ตามลำดับ หลังจาก 50 การวนซ้ำคุณจะมีเมทริกซ์ของความน่าจะเป็นอาชีพสำหรับหมัด ทำซ้ำทั้งหมด 900 หมัด (ถ้าคุณใช้ประโยชน์จากสมมาตรนี้จะลดลงเกือบ 8 เท่า) และเพิ่มความน่าจะเป็น (คุณไม่จำเป็นต้องจัดเก็บทั้งหมดในครั้งเดียวเพียงเมทริกซ์ของหมัดในปัจจุบัน (hmm ยกเว้นว่าคุณเป็น ฉลาดมากคุณอาจต้องการเมทริกซ์การทำงานเพิ่มเติม) และผลรวมของเมทริกซ์ปัจจุบัน) ดูเหมือนว่าฉันจะมีวิธีมากมายในการเร่งความเร็วที่นี่และที่นั่น

สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับการจำลองเลย อย่างไรก็ตามมันเกี่ยวข้องกับการคำนวณค่อนข้างมาก มันไม่ควรยากที่จะคำนวณขนาดของการจำลองที่ต้องการเพื่อให้ได้คำตอบที่ดีกว่าความแม่นยำ 6 dp ที่มีความน่าจะเป็นสูงและหาวิธีที่จะเร็วขึ้น ฉันคาดหวังว่าวิธีการนี้จะเอาชนะการจำลองโดยมีกำไรเพิ่ม

ในขณะที่ฉันไม่ได้คัดค้านการปฏิบัติที่เป็นไปไม่ได้ (หรือไม่สามารถปฏิบัติได้) ของการแก้ปัญหา Monte Carlo ของปัญหานี้ด้วยความแม่นยำของทศนิยม 6 ตำแหน่งที่ชี้โดยwhuberแต่ฉันคิดว่าการแก้ไขด้วยความแม่นยำหกหลักนั้นสามารถทำได้

อย่างแรกต่อไปนี้Glen_bอนุภาคสามารถแลกเปลี่ยนได้ในระบอบการปกครองนิ่งดังนั้นมันจึงเพียงพอ (ตามความพอเพียง ) ในการตรวจสอบการครอบครองของเซลล์ต่างๆเช่นนี้ถือเป็นกระบวนการมาร์คอฟเช่นกัน การกระจายการครอบครองในขั้นตอนถัดไปเป็นที่เรียบร้อยแล้วกำหนดโดยอัตราการเข้าพักในเวลาปัจจุบันที การเขียนเมทริกซ์การเปลี่ยน Kนั้นใช้การไม่ได้แน่นอน แต่การจำลองการเปลี่ยนแปลงนั้นเป็นเรื่องง่าย$t+1$$t$$K$

ประการที่สองตามที่ระบุไว้โดยshabbychefหนึ่งสามารถทำตามขั้นตอนการเข้าพักในคี่ (หรือแม้กระทั่ง) สี่เหลี่ยม 450 ซึ่งยังคงอยู่ในสี่เหลี่ยมแปลกเมื่อพิจารณาเท่านั้นแม้แต่ครั้งคือยืดมาร์คอฟเมทริกซ์ 2$K^2$

ประการที่สามปัญหาเดิมจะพิจารณาความถี่ของศูนย์ occupancies หลังจาก50เปลี่ยนมาร์คอฟ ระบุว่าจุดเริ่มต้นมีค่าสูงมากสำหรับการกระจายความน่านิ่งของห่วงโซ่มาร์คอฟ( X ( T ) ) และได้รับที่มุ่งเน้นไปที่ค่าเฉลี่ยเดียวในเซลล์ทุก $\hat{p}_0$$50$$(\mathbf{X}^{(t)})$เราสามารถพิจารณาได้ว่าการรับรู้ของ chain(X(t))ในเวลา

เห็นได้ชัดว่าการกระจายนิ่งให้โดยตรงจำนวนที่คาดหวังของเซลล์ว่างเปล่าเป็น เท่ากับ166.1069 ,

pot=rep(c(rep(c(0,1),15),rep(c(1,0),15)),15)*c(2,
    rep(3,28),2,rep(c(3,rep(4,28),3),28),2,rep(3,28),2)
pot=pot/sum(pot)
sum((1-pot)^450)-450
[1] 166.1069

ซึ่งค่อนข้างใกล้เคียงกับ Monte Carlo ประมาณ [จากการจำลอง10⁸ซึ่งใช้เวลา 14 ชั่วโมงในเครื่องของฉัน] แต่ไม่ใกล้พอสำหรับ 6 ทศนิยม$166.11$

ดังที่แสดงความเห็นโดยwhuberการประเมินจะต้องคูณด้วย 2 เพื่อตอบคำถามอย่างถูกต้องดังนั้นค่าสุดท้ายของ 332.2137

วิธีการวิเคราะห์อาจน่าเบื่อและฉันไม่ได้คิดผ่านความสลับซับซ้อน แต่นี่เป็นวิธีที่คุณอาจต้องพิจารณา เนื่องจากคุณสนใจจำนวนเซลล์ที่คาดว่าว่างเปล่าหลังจาก 50 วงคุณต้องกำหนดห่วงโซ่มาร์คอฟเหนือ "ไม่มีหมัดในเซลล์" มากกว่าตำแหน่งหมัด (ดูที่ Glen_b'sคำตอบซึ่งจำลองตำแหน่งของ หมัดเป็นห่วงโซ่มาร์คอฟตามที่แอนดี้ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นต่อคำตอบนั้นวิธีการนั้นอาจไม่ได้ในสิ่งที่คุณต้องการ)

โดยเฉพาะให้:

$n_{ij}(t)$$i$$j$ J

จากนั้นห่วงโซ่มาร์คอฟเริ่มต้นด้วยสถานะต่อไปนี้:

$n_{ij}(0) =1$$i$$j$ทั้งหมด

เนื่องจากหมัดย้ายไปยังหนึ่งในสี่ของเซลล์ที่อยู่ติดกันสถานะของเซลล์จะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับจำนวนหมัดที่อยู่ในเซลล์เป้าหมายและจำนวนหมัดที่อยู่ในเซลล์ที่อยู่ติดกันสี่แห่งและความน่าจะเป็นที่พวกมันจะย้ายไปที่เซลล์นั้น เมื่อใช้การสังเกตนี้คุณสามารถเขียนความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนสถานะสำหรับแต่ละเซลล์เป็นฟังก์ชันของสถานะของเซลล์นั้นและสถานะของเซลล์ที่อยู่ติดกัน

หากคุณต้องการฉันสามารถขยายคำตอบต่อไปได้ แต่สิ่งนี้พร้อมกับคำแนะนำเบื้องต้นเกี่ยวกับโซ่มาร์คอฟควรให้คุณเริ่มต้น

หากคุณกำลังจะไปเส้นทางที่เป็นตัวเลขการสังเกตอย่างง่าย: ปัญหาดูเหมือนจะมีความเท่าเทียมกันสีแดงสีดำ (หมัดบนสี่เหลี่ยมสีแดงมักจะย้ายไปที่สี่เหลี่ยมสีดำและในทางกลับกัน) วิธีนี้จะช่วยลดขนาดปัญหาของคุณลงครึ่งหนึ่ง (เพียงพิจารณาสองครั้งในแต่ละครั้งและดูหมัดในสี่เหลี่ยมสีแดงเท่านั้น)

ฉันสงสัยว่าความรู้เกี่ยวกับลูกโซ่มาร์คอฟแบบแยกเวลาอาจพิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์