เหตุใดการเปลี่ยนแปลงบันทึกธรรมชาติจึงเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ เกี่ยวกับบันทึกที่ทำเช่นนี้คืออะไร?

43

ใครสามารถอธิบายได้ว่าคุณสมบัติของบันทึกสร้างขึ้นได้อย่างไรเพื่อให้คุณสามารถบันทึกการถดถอยเชิงเส้นโดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ถูกตีความเป็นการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
แหล่งที่มา

9

l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ และคือ 1 บวกการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

การแยกสมการที่สัมพันธ์กับ X1 ฉันคิดว่าทำให้เราอยู่ในการติดตามการตอบคำถามได้ดีกว่าการพิจารณาการแสดงออกทางอนุกรม

— ชาร์ลส์

45

สำหรับและใกล้กันการเปลี่ยนแปลงร้อยละใกล้เคียงกับความแตกต่างล็อกx_1 $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

เหตุใดเปอร์เซ็นต์จึงเปลี่ยนเป็นค่าประมาณความแตกต่างของบันทึก

แนวคิดจากแคลคูลัสคือคุณสามารถประมาณฟังก์ชันที่ราบรื่นด้วยเส้น ประมาณเชิงเส้นเป็นเพียงสองคำแรกของเทย์เลอร์ซีรีส์ ลำดับแรกการขยายตัวของเทย์เลอร์ประมาณมอบให้โดย: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$

ทางด้านขวามือลดความซับซ้อนเป็นดังนี้:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

ดังนั้นสำหรับในเขต 1, เราสามารถประมาณกับสายด้านล่างเป็นกราฟของและ1 $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

ตัวอย่าง:1.02-1 $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

ตอนนี้พิจารณาสองตัวแปรและดังกล่าวว่า1 ดังนั้นความแตกต่างของบันทึกประมาณเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลง : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงคือการประมาณความแตกต่างของการบันทึกเชิงเส้น!

ทำไมความแตกต่างของบันทึก?

บ่อยครั้งเมื่อคุณคิดในแง่ของการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์การประพันธ์แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สะอาดกว่าคือการคิดในแง่ของความแตกต่างของบันทึก เมื่อคุณคูณคำหลายคำด้วยกันบ่อยครั้งมันจะสะดวกกว่าในการทำงานในบันทึกและแทนที่จะเพิ่มคำด้วยกัน

สมมติว่าความมั่งคั่งของเรา ณ เวลาที่ถูกมอบให้โดย: จากนั้นมันอาจจะสะดวกกว่าในการเขียน: ที่{t-1} $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงและความแตกต่างของบันทึกไม่เหมือนกันที่ไหน

สำหรับการเปลี่ยนแปลงร้อยละขนาดใหญ่แตกต่างเข้าสู่ระบบไม่ได้เป็นสิ่งเดียวกับการเปลี่ยนแปลงร้อยละเพราะใกล้เคียงกับเส้นโค้งกับสายได้รับแย่ลงต่อไปที่คุณได้รับจาก 1 ตัวอย่างเช่น: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

บันทึกในกรณีนี้แตกต่างกันอย่างไร

วิธีหนึ่งที่จะคิดเกี่ยวกับมันก็คือความแตกต่างในบันทึกของ. 47 นั้นเทียบเท่ากับการสะสมของความแตกต่างของบันทึก. 47 ที่แตกต่างกัน 47 ซึ่งประมาณ 47 1% เปลี่ยนแปลงทั้งหมดรวมกัน

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

จากนั้นยกกำลังสองทั้งสองให้ได้รับ:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

ความแตกต่างของบันทึก. 47 นั้นเทียบเท่ากับการเพิ่มขึ้น 1% ที่แตกต่างกัน 47 อย่างหรือดีกว่านั้นที่แตกต่างกัน 470 การเพิ่ม. 1% ที่แตกต่างกัน 1% ฯลฯ ...

คำตอบหลายข้อที่นี่ทำให้ความคิดนี้ชัดเจนยิ่งขึ้น

— Matthew Gunn
แหล่งที่มา

+1 ด้วยความหวังความต่อเนื่องตามแผนของคำตอบนี้จะกล่าวถึงเงื่อนไขที่การประมาณหยุดลง

— whuber

4

+1 ในการเพิ่มจุดย่อย 1.6 ถึง 1 คือการลดลง 37.5%, 1 ถึง 1.6 คือการเพิ่มขึ้น 60% ความแตกต่างของบันทึก 0.47 ขึ้นอยู่กับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงและอยู่ระหว่าง 0.375 ถึง 0.6 เมื่อเราไม่ทราบหรือไม่สนใจทิศทางของการเปลี่ยนแปลงความแตกต่างของบันทึกอาจเป็นทางเลือกหนึ่งในการหาค่าเฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงสองเปอร์เซ็นต์แม้ว่าการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์จะมีขนาดใหญ่ก็ตาม

— พอล

9

นี่คือรุ่นสำหรับหุ่น ...

เรามีโมเดล - เส้นตรงที่เรียบง่ายผ่าน data cloud - และเรารู้ว่าเมื่อเราประมาณค่าสัมประสิทธิ์จะเพิ่มในค่าก่อนหน้าของจะ ส่งผลให้เกิดการเพิ่มขึ้นของในค่าของจากเป็น \ แต่หน่วยสามารถมีความหมายในค่าสัมบูรณ์ $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยนแบบจำลองเป็น (ค่าสัมประสิทธิ์ใหม่) ตอนนี้สำหรับการเพิ่มหน่วยเดียวกันในเรามีการเปลี่ยนแปลง $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

หากต้องการดูผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์เราสามารถยกกำลัง : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ เป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์และจาก ,การเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

กุญแจสำคัญในการตอบคำถามคือเพื่อดูว่าสำหรับค่าขนาดเล็กของซึ่งเท่ากับการใช้เงื่อนไขสองข้อแรกของการขยายตัวของเทย์เลอร์ที่ Matthew ใช้ แต่คราวนี้ ( ชุด Maclaurin ) ประเมินที่ศูนย์เพราะเรากำลังทำงานกับเลขชี้กำลังแทนที่จะเป็นลอการิทึม: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

หรือกับเป็นตัวแปร : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

ดังนั้นรอบศูนย์ (เราประเมินการขยายพหุนามที่ศูนย์เมื่อเราทำซีรีย์เทย์เลอร์) สายตา $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— Antoni Parellada
แหล่งที่มา

คำตอบของคุณค่อนข้างชัดเจน: เราต้องการสัมประสิทธิ์ขนาดเล็กเพื่อให้สามารถตีความความแตกต่างของบันทึกเป็นเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลง แต่คำตอบของ @aksakal แสดงว่าเราต้องการการเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น (เช่นlim Δx --> 0) คุณกรุณาอธิบายว่าทั้งสองมีความเท่าเทียมกันได้อย่างไร

— towi_parallelism

7

สมมติว่าคุณมีแบบจำลอง ลองหาอนุพันธ์ของบันทึก:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

ตอนนี้คุณสามารถเห็นได้ว่าความชันตอนนี้เป็นความชันของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของ : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

หากคุณไม่มีการแปลงบันทึกคุณจะได้รับความชันของการเปลี่ยนแปลงที่แน่นอนของ : $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

ผมไม่ได้มาแทนที่กับจะเน้นว่างานนี้มีขนาดเล็กการเปลี่ยนแปลง $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Aksakal
แหล่งที่มา

4

มีคำอธิบายที่ยอดเยี่ยมมากมายในคำตอบปัจจุบัน แต่นี่เป็นอีกคำอธิบายหนึ่งในแง่ของการวิเคราะห์ทางการเงินของดอกเบี้ยคงค้างจากการลงทุนครั้งแรก สมมติว่าคุณมีจำนวนหน่วยเริ่มต้นหนึ่งหน่วยที่คิดดอกเบี้ยในอัตรา (ระบุ)ต่อปีโดยมีดอกเบี้ย"ทบต้น"ตลอดระยะเวลาในปี ในตอนท้ายของหนึ่งปีมูลค่าการลงทุนเริ่มต้นของหนึ่งหน่วยคือ: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

บ่อยครั้งที่ความสนใจนี้เพิ่มมากขึ้นคือ "ทบต้น" ยิ่งคุณได้รับเงินลงทุนเริ่มแรกมากขึ้น (เนื่องจากการทบต้นหมายความว่าคุณได้รับดอกเบี้ยจากดอกเบี้ย) การ จำกัด เป็นเราจะได้รับ "ดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง" ซึ่งทำให้: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

การลอการิทึมของทั้งสองฝ่ายให้ซึ่งหมายความว่าลอการิทึมของอัตราส่วนของการลงทุนขั้นสุดท้ายต่อการลงทุนเริ่มต้นคืออัตราดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง จากผลลัพธ์นี้เราจะเห็นว่าความแตกต่างลอการิทึมในผลลัพธ์อนุกรมเวลาสามารถตีความได้ว่าเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง (การตีความนี้เป็นคำตอบที่ถูกต้องโดยaksakalแต่การทำงานในปัจจุบันให้คุณอีกวิธีในการดู) $r = \ln I(\infty)$

— Reinstate Monica
แหล่งที่มา