อะไรคือเหตุผลในการตัดสินใจเชิงทฤษฎีสำหรับขั้นตอนช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือแบบเบย์?

(เพื่อดูว่าทำไมฉันถึงเขียนสิ่งนี้ให้ตรวจสอบความคิดเห็นด้านล่างคำตอบของคำถามนี้ )

ข้อผิดพลาดประเภท III และทฤษฎีการตัดสินใจเชิงสถิติ

การให้คำตอบที่ถูกต้องกับคำถามที่ผิดนั้นบางครั้งเรียกว่าข้อผิดพลาด Type III ทฤษฎีการตัดสินใจเชิงสถิติเป็นรูปแบบของการตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน มันมีกรอบแนวคิดที่สามารถช่วยหนึ่งหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดประเภทที่สาม องค์ประกอบสำคัญของกรอบที่เรียกว่าฟังก์ชั่นการสูญเสีย มันต้องใช้สองข้อโต้แย้ง: ครั้งแรกคือ (ส่วนย่อยที่เกี่ยวข้องของ) สถานะที่แท้จริงของโลก (เช่นในปัญหาการประมาณค่าพารามิเตอร์ค่าพารามิเตอร์จริง ); ที่สองคือองค์ประกอบในชุดของการกระทำที่เป็นไปได้ (เช่นในปัญหาการประมาณค่าพารามิเตอร์การประมาณθ$\theta$$\hat{\theta})$. เอาท์พุทแบบจำลองการสูญเสียที่เกี่ยวข้องกับทุกการกระทำที่เป็นไปได้เกี่ยวกับทุกสถานะที่แท้จริงที่เป็นไปได้ของโลก ตัวอย่างเช่นในปัญหาการประมาณค่าพารามิเตอร์ฟังก์ชันการสูญเสียที่รู้จักกันดีคือ:

• การสูญเสียข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์$L(\theta, \hat{\theta}) = |\theta - \hat{\theta}|$
• การสูญเสียข้อผิดพลาดกำลังสอง$L(\theta, \hat{\theta}) = (\theta - \hat{\theta})^2$
• การสูญเสีย LINEX ของHal Varian$L(\theta, \hat{\theta}; k) = \exp(k(\theta - \hat{\theta})) - k(\theta - \hat{\theta}) - 1,\text{ } k \ne0$

ตรวจสอบคำตอบเพื่อค้นหาคำถาม

มีกรณีหนึ่งที่อาจพยายามทำให้เกิดข้อผิดพลาดประเภท III ที่สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยมุ่งเน้นไปที่การสร้างฟังก์ชั่นการสูญเสียที่ถูกต้องและดำเนินการผ่านวิธีการตัดสินใจเชิงทฤษฎีที่เหลือ นั่นไม่ใช่บทสรุปของฉัน - นักสถิติมีเครื่องมือและเทคนิคมากมายที่ทำงานได้ดีแม้ว่าจะไม่ได้มาจากวิธีการดังกล่าวก็ตาม แต่ผลลัพธ์สุดท้ายนั้นสำหรับฉันก็คือนักสถิติส่วนใหญ่ไม่รู้จักและไม่สนใจทฤษฎีการตัดสินใจเชิงสถิติและฉันคิดว่าพวกเขาขาดหายไป สำหรับนักสถิติเหล่านั้นฉันจะยืนยันว่าเหตุผลที่พวกเขาอาจพบว่าทฤษฎีการตัดสินใจเชิงสถิติมีคุณค่าในแง่ของการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด Type III นั้นเป็นเพราะมันมีกรอบที่จะถามขั้นตอนการวิเคราะห์ข้อมูลใด ๆ ที่เสนอ:ฟังก์ชั่นการสูญเสีย (ถ้ามี) ขั้นตอนใดที่จัดการได้อย่างเหมาะสมที่สุด? นั่นคือในสถานการณ์การตัดสินใจอะไรจริง ๆ แล้วมันให้คำตอบที่ดีที่สุด?

หลังคาดว่าจะสูญเสีย

จากมุมมองของเบย์ฟังก์ชั่นการสูญเสียคือสิ่งที่เราต้องการ เราสวยมากสามารถข้ามส่วนที่เหลือของทฤษฎีการตัดสินใจ - เกือบโดยนิยามสิ่งที่ดีที่สุดที่จะทำคือการลดหลังคาดว่าการสูญเสีย, ที่อยู่, พบการกระทำที่ช่วยลดเป็น)~ L ( ) = ∫ Θ L ( θ , ) P ( θ | D ) d $a$$\tilde{L}(a) = \int_{\Theta}L(\theta, a)p(\theta|D)d\theta$

(และเป็นมุมมองที่ไม่ใช่เบส์ดีก็เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีการตัดสินใจ frequentist - เฉพาะ Wald ของสินค้าชั้นทฤษฎีบท - ว่าการดำเนินการที่ดีที่สุดเสมอจะได้รับการลดคชกรรมหลังคาดว่าการสูญเสียที่เกี่ยวกับบางส่วน (อาจจะไม่เหมาะสม) ก่อนหน้าความยากลำบากของผลลัพธ์นี้คือทฤษฎีบทการดำรงอยู่ไม่ได้ให้คำแนะนำเกี่ยวกับสิ่งที่เคยใช้มาก่อน แต่มัน จำกัด ขอบเขตของขั้นตอนการทำงานที่เราสามารถ "สลับกลับ" ได้อย่างมีประสิทธิภาพเพื่อค้นหาว่าคำถามแบบไหน โดยเฉพาะอย่างยิ่งขั้นตอนแรกในการย้อนกลับขั้นตอนที่ไม่ใช่แบบเบย์คือการคิดว่าขั้นตอนแบบเบย์แบบใด (ถ้ามี) ทำซ้ำหรือใกล้เคียงที่สุด

สวัสดี Cyan คุณรู้ไหมว่านี่เป็นเว็บไซต์ถาม - ตอบใช่ไหม

ซึ่งนำฉันมาสู่คำถามเชิงสถิติ ในสถิติแบบเบย์เมื่อให้การประมาณช่วงเวลาสำหรับพารามิเตอร์ univariate ขั้นตอนที่น่าเชื่อถือทั่วไปสองขั้นตอนคือช่วงเวลาที่เชื่อถือได้เชิงควอนตัมและช่วงความน่าเชื่อถือหลังหนาแน่นสูงสุด ฟังก์ชั่นการสูญเสียคืออะไรที่อยู่เบื้องหลังขั้นตอนเหล่านี้?

ในการประมาณค่าช่วงเวลาแบบไม่แปรชุดของการกระทำที่เป็นไปได้คือชุดของคู่ที่สั่งซื้อซึ่งระบุจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา ขอให้องค์ประกอบของชุดที่จะแสดงโดยข$(a, b),\text{ } a \le b$

ช่วงความหนาแน่นหลังสูงสุด

$f(\theta)$

$L_{HPD}(\theta, (a, b); k) = I(\theta \notin [a, b]) + k(b – a), \text{} 0 < k \le max_{\theta} f(\theta)$ ,

ที่เป็นฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ สิ่งนี้ทำให้เกิดการสูญเสียด้านหลัง$I(\cdot)$

$\tilde{L}_{HPD}((a, b); k) = 1 - \Pr(a \le \theta \le b|D) + k(b – a)$ก)

การตั้งค่าให้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ a ท้องถิ่นที่เหมาะสมที่สุดในการตกแต่งภายในของพื้นที่พารามิเตอร์: - ตรงตามกฎสำหรับช่วง HPD ตามที่คาดไว้$\frac{\partial}{\partial a}\tilde{L}_{HPD} = \frac{\partial}{\partial b}\tilde{L}_{HPD} = 0$$f(a) = f(b) = k$

รูปแบบของให้ข้อมูลเชิงลึกว่าทำไมช่วงเวลาของ HPD จึงไม่แปรผันกับการแปลงแบบ monotone ที่เพิ่มขึ้นของพารามิเตอร์ ช่วง -space HPD เปลี่ยนเป็นช่องว่างจะแตกต่างจากช่วงเวลา -space HPD เพราะช่วงเวลาทั้งสองสอดคล้องกับฟังก์ชั่นการสูญเสียที่แตกต่างกัน: ช่วงเวลา -space HPD สอดคล้องกับ ความยาวเปลี่ยนโทษ(ก))$\tilde{L}_{HPD}((a, b); k)$$g(\theta)$$\theta$$g(\theta)$$g(\theta)$$g(\theta)$$k(g(b) – g(a))$

ช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือตาม Quantile

พิจารณาการประเมินจุดด้วยฟังก์ชันการสูญเสีย

$L_q(\theta, \hat{\theta};p) = p(\hat{\theta} - \theta)I(\theta < \hat{\theta}) + (1-p)(\theta - \hat{\theta})I(\theta \ge \hat{\theta}), \text{ } 0 \le p \le 1$1

การสูญเสียหลังคาดว่าจะเป็น

$\tilde{L}_q(\hat{\theta};p)=p(\hat{\theta}-\text{E}(\theta|\theta < \hat{\theta}, D)) + (1 - p)(\text{E}(\theta | \theta \ge \hat{\theta}, D)-\hat{\theta})$theta})

การตั้งค่าให้ผลสมการโดยปริยาย$\frac{d}{d\hat{\theta}}\tilde{L}_q=0$

$\Pr(\theta < \hat{\theta}|D) = p$ ,

นั่นคือที่ดีที่สุดคือ % quantile ของการแจกแจงหลังตามที่คาดไว้ (100หน้า$\hat{\theta}$$(100p)$

ดังนั้นเพื่อให้ได้ค่าประมาณตามช่วงควอนตัลฟังก์ชันการสูญเสียคือ

$L_{qCI}(\theta, (a,b); p_L, p_U) = L_q(\theta, a;p_L) + L_q(\theta, b;p_U)$p_U)

ช่วงเวลาที่มีขนาดเล็กที่สุด

ทางเลือกหนึ่งที่ชัดเจนของฟังก์ชั่นการสูญเสียสำหรับการเลือกช่วงเวลา (ทั้งแบบเบย์และแบบประจำ) คือการใช้ขนาดของช่วงเวลาตามที่วัดได้ในรูปของการแจกแจงส่วนเพิ่ม ดังนั้นเริ่มต้นด้วยคุณสมบัติที่ต้องการหรือฟังก์ชันการสูญเสียและหาช่วงเวลาที่เหมาะสมที่สุด สิ่งนี้มีแนวโน้มที่จะไม่ทำตามที่เป็นตัวอย่างจากคำถามปัจจุบันแม้ว่ามันจะเป็นไปได้ สำหรับชุดที่น่าเชื่อถือแบบเบย์สิ่งนี้สอดคล้องกับการลดความน่าจะเป็นก่อนหน้าของช่วงเวลาหรือเพื่อเพิ่มความเชื่อมั่นสูงสุดเช่นตามที่ระบุไว้ในอีแวนส์ (2016) ขนาดอาจใช้เพื่อเลือกชุดความมั่นใจที่พบบ่อย (Schafer 2009) ทั้งสองวิธีมีความสัมพันธ์กันและสามารถนำไปปฏิบัติได้อย่างง่ายดายผ่านกฎการตัดสินใจที่รวมการตัดสินใจด้วยข้อมูลสำคัญร่วมกัน (Bartels 2017)

Bartels, C. , 2017 การใช้ความรู้เดิมในการทดสอบเป็นประจำ figshare https://doi.org/10.6084/m9.figshare.4819597.v3

Evans, M. , 2016. การวัดหลักฐานทางสถิติโดยใช้ความเชื่อสัมพัทธ์ วารสารเทคโนโลยีชีวภาพการคำนวณและโครงสร้าง, 14, pp.91-96

Schafer, CM และ Stark, PB, 2009 สร้างพื้นที่ความมั่นใจในขนาดที่เหมาะสม วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน, 104 (487), pp.1080-1089