การแจกแจงเหนือรายการที่เรียงลำดับ

10

สมมติว่าเรามีรายการสั่งซื้อ

[a, b, c, ... x, y, z, ...]

ฉันกำลังมองหาตระกูลของการกระจายด้วยการสนับสนุนในรายการข้างต้นปกครองโดยพารามิเตอร์อัลฟาบางอย่างเพื่อที่:

สำหรับ alpha = 0 จะกำหนดความน่าจะเป็น1ให้กับรายการแรกด้านบนและ 0 สำหรับส่วนที่เหลือ aนั่นคือถ้าเราลิ้มลองจากรายการนี้ด้วยการเปลี่ยนเรามักจะได้รับ
เมื่ออัลฟาเพิ่มขึ้นเราจะกำหนดความน่าจะเป็นที่สูงขึ้นและสูงขึ้นให้กับส่วนที่เหลือของรายการโดยคำนึงถึงลำดับของรายการหลังจากการสลายตัวแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล
เมื่อ alpha = 1 เรากำหนดความน่าจะเป็นที่เท่ากันให้กับทุกรายการในรายการดังนั้นการสุ่มตัวอย่างจากรายการนั้นคล้ายกับการละเว้นการสั่งซื้อ

นี่คล้ายกับการกระจายทางเรขาคณิต แต่มีความแตกต่างที่น่าสังเกต:

การกระจายตัวทางเรขาคณิตถูกกำหนดเหนือจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ในกรณีของฉันด้านบนรายการมีขนาดคงที่
การแจกแจงเชิงเรขาคณิตไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับ alpha = 0

distributions sampling discrete-data

— Amelio Vazquez-Reina
แหล่งที่มา

1

คุณดูเหมือนจะอธิบายครอบครัวของการแจกแจงเชิงเรขาคณิตที่ถูกตัดทอน อย่างไรก็ตามมีหลายครอบครัวที่ไม่มีที่สิ้นสุดในเชิงคุณภาพเหมือนคำอธิบายของคุณ ประเด็นก็คืออธิบายว่าคุณต้องการใช้ครอบครัวแบบนี้เพื่ออะไร

— whuber

ขอบคุณ @whuber ใช่ฉันเข้าใจว่ามีการแจกแจงจำนวนมากที่เหมาะสมกับคำอธิบายนี้ มีสิ่งใดที่นึกขึ้นได้ไหม ฉันมีระบบที่เลือกองค์ประกอบแรกของรายการนี้ (คิดเป็นคะแนน) แต่ฉันต้องการสุ่มตัวเลือกนี้ (และตั้งค่าพารามิเตอร์การสุ่มแบบนี้) ฉันไม่ได้กำลังมองหา "ผุ" ประเภทใดประเภทหนึ่งโดยอ้างอิงจากอัลฟ่า ตราบใดที่ alpha = 0 หมายถึงไม่มีการสุ่มเช่นเลือกองค์ประกอบแรก 1 หมายถึง "เลือกองค์ประกอบใด ๆ " และอัลฟ่าระหว่าง 0 และ 1 หมายถึง "บางสิ่งบางอย่างในระหว่าง" อัลฟาทั้งสองมันจะดีพอ

— Amelio Vazquez-Reina

11

$r_i$ $i$ $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ $n$ $i$

p_{i} = \frac{α^{r_{i}}}{\sum_{k = 1}^{n} α^{r_{k}}}

$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$

$\alpha=0$ $0^0 = 1$ $\alpha < 1$ $\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$ $\alpha=1$ $n$

$\alpha=1$ $\alpha\rightarrow 0$

$\alpha=0.5$

p_{0} \approx 0.5005 p_{1} \approx 0.2502 p_{2} \approx 0.1251 p_{3} \approx 0.0626 p_{4} \approx 0.0313 p_{5} \approx 0.0156 p_{6} \approx 0.0078 p_{7} \approx 0.0039 p_{8} \approx 0.0020 p_{9} \approx 0.0010

$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$

$\alpha$

— josliber
แหล่งที่มา

ดี นี่เป็นวิธีที่ฉลาดกว่าที่ฉันเคยคาดหวัง

— Matthew Drury

@ Matewew นี่คือการแจกแจงเชิงเรขาคณิตที่ถูกตัดทอนซึ่งฉันอ้างถึงก่อนหน้านี้

— whuber

4

ฉันจะพยายามสร้างตัวอย่างจากหลักการแรก

ลองแบ่งสามกลุ่มเป็นหน่วยการสร้างของเรา:

P คือการแจกแจงการแจกแจงความน่าจะเป็นหนึ่งในองค์ประกอบแรกของรายการ
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $1$
U คือการกระจายแบบสม่ำเสมอเหนือรายการ

ตอนนี้เราต้องการนำตระกูลหนึ่งพารามิเตอร์ของการรวมกันเชิงบวกของการแจกแจงเหล่านี้

α (t) P + β (t) E + γ (t) U

$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$

$\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$ $t \in [0, 1]$ $\alpha(0) = 1$ $\gamma(1) = 1$

$(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$ $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ $t \in (0, 1)$

นี่คือตัวเลือกสำหรับเส้นโค้ง:

(1 - t (1 - t)) (1 - t, 0, t) + t (1 - t) (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$

$(1-t, 0, t)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$ $t \in (0, 1)$

— Matthew Drury
แหล่งที่มา