ใครบางคนสามารถเสนอตัวอย่างของการแจกแจงแบบ unimodal ที่มีความเบ้ของศูนย์ แต่ที่ไม่สมมาตร?

ในเดือนพฤษภาคม 2553 ผู้ใช้วิกิพีเดีย Mcorazao เพิ่มประโยคหนึ่งในบทความความเบ้ว่า "ค่าศูนย์ระบุว่าค่านั้นมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันทั้งสองด้านของค่าเฉลี่ยซึ่งโดยทั่วไปแล้ว อย่างไรก็ตามหน้าวิกิไม่มีตัวอย่างจริงของการแจกแจงที่ทำลายกฎนี้ Googling "ตัวอย่างการแจกแจงแบบอสมมาตรที่มีความเบ้เป็นศูนย์" ยังไม่มีตัวอย่างจริงอย่างน้อยในผลลัพธ์ 20 รายการแรก

การใช้คำจำกัดความที่คำนวณความเอียงโดย$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$และสูตร R

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

ฉันสามารถสร้างการกระจายตัวเล็ก ๆ ตามอำเภอใจเพื่อทำให้ความเบ้ต่ำ ตัวอย่างเช่นการกระจาย

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

อัตราผลตอบแทนเอียงของ5} แต่นี่คือตัวอย่างเล็ก ๆ และยิ่งกว่านั้นความเบี่ยงเบนจากสมมาตรก็ไม่ใหญ่ ดังนั้นเป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างการกระจายตัวที่ใหญ่ขึ้นด้วยจุดสูงสุดที่มีความไม่สมดุลสูง แต่ก็ยังมีความเบ้ของศูนย์เกือบอยู่หรือ$-5.64947\cdot10^{-5}$

พิจารณาการแจกแจงแบบแยก สิ่งหนึ่งที่ได้รับการสนับสนุนโดยค่าx 1 , x 2 , … , x kถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นลบp 1 , p 2 , … , p kขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ (a) รวมเป็น 1 และ (b) สัมประสิทธิ์ความเบ้เท่ากับ 0 (ซึ่งเทียบเท่ากับช่วงเวลากลางที่สามที่เป็นศูนย์) นั่นจะทำให้อิสระในการk - 2องศา (ในแง่การแก้สมการไม่ใช่เชิงสถิติ!) เราหวังว่าจะสามารถหาวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นแบบ unimodal$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

เพื่อให้การค้นหาตัวอย่างง่ายขึ้นฉันจึงค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาบนเวกเตอร์สมมาตรขนาดเล็กด้วยโหมดเฉพาะที่0 , ค่าเฉลี่ยศูนย์และความเบ้ศูนย์ . วิธีแก้ปัญหาอย่างหนึ่งคือ( p 1 , … , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ 75,600$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

คุณสามารถเห็นว่ามันไม่สมมาตร

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาแบบอสมมาตรที่ชัดเจนยิ่งขึ้นด้วย (ซึ่งไม่สมมาตร) และ p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าเกิดอะไรขึ้น:เนื่องจากค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าลบมีส่วนร่วม( - 3 ) 3 = - 27และ18 × ( - 1 ) 3 = - 18ถึงวินาทีที่สามในขณะที่ค่าบวกมีส่วนร่วม4 × 2 3 = 32และ13 × 1 3 = 13 , สร้างสมดุลในการลบ เราสามารถกระจายแบบสมมาตรประมาณ0เช่นx$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$กับ P = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 , และเปลี่ยนมวลเล็ก ๆ น้อย ๆ จาก + 1เพื่อ + 2 , มวลเล็ก ๆ น้อย ๆ จาก + 1ลงไป - 1และจำนวนเล็กน้อยของมวล ลงไปที่ - 3 , รักษาค่าเฉลี่ยที่ 0และความเบ้ที่$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$เช่นกันในขณะที่สร้างความไม่สมดุล วิธีการเดียวกันนี้จะทำงานเพื่อรักษาค่าเฉลี่ยศูนย์และความเบ้ของการกระจายอย่างต่อเนื่องในขณะที่ทำให้ไม่สมมาตร หากเราไม่ก้าวร้าวมากเกินไปกับการขยับของมวลมันก็จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

---

แก้ไข: การแจกแจงแบบต่อเนื่อง

เนื่องจากปัญหายังคงมีอยู่เราจะยกตัวอย่างที่ชัดเจนด้วยการแจกแจงแบบต่อเนื่อง Peter Flom มีความคิดที่ดี: ดูส่วนผสมของบรรทัดฐาน ส่วนผสมของสองบรรทัดฐานจะไม่ทำ: เมื่อความเบ้ของมันหายไปมันจะสมมาตร กรณีที่ง่ายที่สุดถัดไปคือการผสมผสานของสามบรรทัดฐาน

การผสมผสานของสามบรรทัดฐานหลังจากเลือกตำแหน่งและสเกลได้อย่างเหมาะสมแล้วขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จริงหกตัวดังนั้นจึงควรมีความยืดหยุ่นมากกว่าเพียงพอในการสร้างวิธีแก้ปัญหาแบบไม่สมดุลและไม่เป็นศูนย์ ในการค้นหาบางอย่างเราจำเป็นต้องรู้วิธีคำนวณความเบ้ของส่วนผสมของบรรทัดฐาน ในกลุ่มคนเหล่านี้เราจะค้นหาสิ่งที่ไร้รูปแบบ (เป็นไปได้ว่าไม่มีเลย)

ตอนนี้โดยทั่วไปช่วงเวลา (ไม่ใช่ - กลาง) ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานคือศูนย์เมื่อrเป็นคี่และอย่างอื่นเท่ากับ2 r / 2 Γ ( 1 - $r^\text{th}$$r$π เมื่อเราลดการแจกแจงปกติแบบมาตรฐานให้มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$ที่ช่วงเวลาจะถูกคูณด้วยσ R เมื่อเราเปลี่ยนการกระจายใด ๆ โดยμใหม่R THช่วงเวลาที่สามารถแสดงออกในแง่ของช่วงเวลาและรวมถึงR ช่วงเวลาของการผสมผสานของการแจกแจง (นั่นคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพวกเขา) เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเดียวกันของแต่ละช่วงเวลา ในที่สุดความเบ้จะเป็นศูนย์อย่างแน่นอนเมื่อช่วงเวลากลางที่สามเป็นศูนย์และนี่คือการคำนวณอย่างง่ายดายในแง่ของช่วงเวลาสามช่วงแรก$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

สิ่งนี้ทำให้เรามีการโจมตีเชิงพีชคณิตในปัญหา ทางออกหนึ่งที่ผมพบว่าเป็นส่วนผสมที่เท่ากันของสามปกติกับพารามิเตอร์เท่ากับ( 0 , 1 ) , ( 1 / 2 , 1 )และ( 0 , $(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$) เท่ากับค่าเฉลี่ย(0+1/2+0)/3=1/6 ภาพนี้แสดง pdf เป็นสีน้ำเงินและ pdf ของการกระจายพลิกเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเป็นสีแดง แสดงให้เห็นว่าพวกเขาแตกต่างกันพวกเขาทั้งสองไม่สมมาตร (โหมดประมาณ0.0519216, ไม่เท่ากันกับค่าเฉลี่ยของ1/6.) พวกเขาทั้งสองมีศูนย์เบ้โดยการก่อสร้าง$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

พล็อตระบุว่าสิ่งเหล่านี้เป็น unimodal (คุณสามารถตรวจสอบได้โดยใช้แคลคูลัสเพื่อหาค่าสูงสุดในพื้นที่)

นี่คือสิ่งหนึ่งที่ฉันพบได้ที่https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#ซึ่งฉันพบว่ามันดีและทำซ้ำใน R: Burr หรือการแจกแจง Dagum พร้อมพารามิเตอร์รูปร่างและc = 18.1484 :$k=0.0629$$c=18.1484$

$$g(x) = ckx^{-(c+1)}[1+x^{-c}]^{-(k+1)}$$

มันมีค่าเฉลี่ย 0.5387 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.2907 ความเบ้ 0.0000 และ kurtosis 2.0000 แหล่งที่มาเรียกมันว่า "การกระจายช้าง":

การทำสำเนาของฉันใน R ถูกสร้างขึ้นด้วย

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

ดังที่เอาต์พุตนี้แสดงความเบ้ไม่เป็นศูนย์ถึงสี่หลักสำหรับค่าพารามิเตอร์ นี่คือเครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพเล็กน้อยสำหรับและc :$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

ยอมให้

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

พิจารณาการกระจายตัวในครึ่งบวกของเส้นจริงซึ่งเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจาก 0 ถึงโหมดและจากนั้นจะชี้แจงไปทางขวาของโหมด แต่จะต่อเนื่องที่โหมด

สิ่งนี้อาจเรียกได้ว่าการแจกแจงแบบสามเหลี่ยม - เอ็กซ์โพเนนเชียล (แม้ว่ามันจะดูเหมือนครีบฉลามก็ตาม)

$\theta$$\lambda$เป็นพารามิเตอร์ rate ของเลขชี้กำลัง

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$นำเสนอตัวอย่างที่เกือบจะถึงจุดไขว้ที่นี่

เธรดการแจกแจงแบบไม่ปกติที่มีความเบ้เป็นศูนย์และไม่มีความโด่งเกินศูนย์? มีตัวอย่างที่ไม่สมมาตรรวมถึงตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่องขนาดเล็กและอีกตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่อง:

การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องแบบ Unimodal - หรือตัวอย่างเท่ากัน - ที่มีความเบ้เป็นศูนย์นั้นค่อนข้างง่ายในการสร้างขนาดใหญ่หรือเล็ก

นี่คือตัวอย่างซึ่งคุณสามารถใช้เป็นตัวอย่างหรือ (โดยการหารความถี่ดิบด้วย 3000) เป็น pmf (ค่า 'x' คือค่าที่ใช้มา 'n' คือจำนวนครั้งที่ค่าเกิดขึ้นในตัวอย่าง ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

ตัวอย่างนี้สร้างขึ้นจากการแจกแจงแบบ 3 จุด:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$และ∑$\sum_i n_ix_i^3 =0$ซึ่งในทางกลับกันหมายถึงการผสมระหว่างตัวเลือกต่างๆของ $c$ไม่มีความเบ้ (คุณไม่สามารถทำอะไรเล็กไปกว่าการกระจายข้ามจุดสามจุดที่มีความไม่สมมาตรและช่วงเวลากลางที่สามศูนย์คอลเลกชันของชิ้นง่าย ๆ เพียงไม่กี่จุดเช่นสิ่งเหล่านี้ทำบล็อกที่เรียบร้อยจากโครงสร้างที่ใหญ่กว่า)

มีทุกอย่างที่ "อะตอม" อื่นสามารถสร้างได้ แต่ตัวอย่างนี้ใช้เพียงชนิดนี้เท่านั้น สำหรับการรวมกันของอะตอมบางอย่างเช่นสิ่งเหล่านี้จะถูกเพิ่มค่าที่วางแบบสมมาตรเพื่อเติมเต็มหลุมที่เหลืออยู่และรับประกันความเป็น unimodality โดยไม่ทำลายโครงสร้างของค่าเฉลี่ยและช่วงเวลาที่สาม

$[1]$Brizzi, M. (2006),
"แบบจำลองเอียงรวมคุณสมบัติรูปสามเหลี่ยมและเลขชี้กำลัง: การแจกแจงแบบสองหน้าและคุณสมบัติทางสถิติ"
วารสารสถิติออสเตรีย , 35 : 4, p455–462
http: //www.stat.tugraz ที่ / AJS / ausg064 /

$[2]$von Hippel, PT (2005),
"Mean, Median และ Skew: การแก้ไขกฎของตำราเรียน"
วารสารสถิติการศึกษาเล่มที่ 13, หมายเลข 2,
http://ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html

แน่ใจ ลองสิ่งนี้:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(คุณทำสิ่งที่ยากมาแล้ว!)

สำหรับความเบ้ที่เป็นศูนย์เราต้องการ

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = 0$$ หรือเทียบเท่า $$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \leq \mu \Big] + \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \gt \mu \Big] = 0.$$

ตอนนี้สำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่กำหนดให้เลือกการแจกแจงสองแบบใด ๆ $Y$ และ $Z$ มีศูนย์มวลอยู่ทางด้านขวาของ $\mu$ และ

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Y-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Z-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$$ และกำหนด $X$ เพื่อให้ตรงกับ $Y$ ถ้าซ้ายของ $\mu$ และ $(\mu - Z)$มิฉะนั้น. (ไม่ทราบสัญกรณ์ที่แน่นอนสำหรับสิ่งนี้ทุกคนต้องการความช่วยเหลือหรือไม่)

การกระจายผลจะเป็น unimodal ถ้า PDF ของ $Y$ และ $Z$ กำลังเพิ่มขึ้นทางด้านซ้ายของ $\mu$ (นอกจากจะเป็นศูนย์ทางด้านขวาของ $\mu$)

การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องต่อไปนี้ไม่สมมาตรและมีความเบ้เป็นโมฆะ: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6 ฉันพบมันในกระดาษของ Doric et al., Qual Quant (2009) 43: 481-493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9