การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่โดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเดิมหลังจากการเปลี่ยนแปลงในชุดข้อมูล

ฉันมีอาร์เรย์ของ $n$ ค่าจริงซึ่งมีค่าเฉลี่ย $\mu_{old}$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma_{old}$ dหากองค์ประกอบของอาร์เรย์ $x_i$ ถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบอื่น $x_j$ ค่าเฉลี่ยใหม่จะเป็น

$\mu_{new}=\mu_{old}+\frac{x_j-x_i}{n}$

ข้อดีของวิธีนี้ก็คือจะต้องมีการคำนวณอย่างต่อเนื่องโดยไม่คำนึงถึงความคุ้มค่าของn $n$ จะมีวิธีการใดในการคำนวณ $\sigma_{new}$ ใช้ $\sigma_{old}$ เช่นการคำนวณของ $\mu_{new}$ ใช้ $\mu_{old}$ ?

standard-deviation online

— ผู้ใช้งาน
แหล่งที่มา

เป็นการบ้านหรือไม่? งานที่คล้ายกันมากถูกถามในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของเรา ...

— krlmlr

@ user946850: ไม่ไม่ใช่การบ้าน ฉันกำลังทำวิทยานิพนธ์ของฉันเกี่ยวกับวิวัฒนาการขั้นตอนวิธี ฉันต้องการใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัวชี้วัดความหลากหลายของประชากร เพียงมองหาโซลูชันที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น

— ผู้ใช้

SD เป็นสแควร์รูทของความแปรปรวนซึ่งเป็นเพียงค่าเฉลี่ยกำลังสอง (ปรับโดยค่าเฉลี่ยกำลังสองหลายค่าซึ่งคุณทราบวิธีอัปเดตแล้ว) ดังนั้นวิธีการเดียวกับที่ใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยการทำงานสามารถนำไปใช้โดยไม่ต้องมีการเปลี่ยนแปลงขั้นพื้นฐานใด ๆ ในการคำนวณค่าความแปรปรวนการทำงาน ในความเป็นจริงสถิติที่มีความซับซ้อนมากขึ้นสามารถคำนวณบนพื้นฐานออนไลน์โดยใช้ความคิดเดียวกัน: ดูกระทู้ที่stats.stackexchange.com/questions/6920และstats.stackexchange.com/questions/23481ยกตัวอย่างเช่น

— whuber

@whuber: สิ่งนี้ถูกกล่าวถึงในบทความ Wikipedia สำหรับ Varianceแต่ยังมีบันทึกเกี่ยวกับการยกเลิกหายนะ (หรือการสูญเสียความสำคัญ) ที่อาจเกิดขึ้น นี่เป็นเรื่องที่พูดเกินจริงหรือเป็นปัญหาที่แท้จริงสำหรับความแปรปรวนที่ดำเนินอยู่หรือไม่

— krlmlr

นั่นเป็นคำถามที่ดี หากคุณสะสมความแปรปรวนอย่างไร้เดียงสาโดยไม่ต้องทำให้พวกเขาอยู่ตรงกลางก่อนคุณสามารถมีปัญหา ปัญหาเกิดขึ้นเมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่ แต่ความแปรปรวนมีน้อย เช่นพิจารณาชุดการวัดความเร็วแสงที่แม่นยำในหน่วย m / s เช่นเดียวกับใน 299792458.145, 299792457.883, 299792457.998, ... : ความแปรปรวนของพวกมันซึ่งมีค่าประมาณ 0.01 มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับกำลังสองซึ่งอยู่ที่ประมาณ

การคำนวณที่ไม่ระมัดระวัง (แม้ในความแม่นยำสองเท่า) จะส่งผลให้เกิดความแปรปรวนเป็นศูนย์: เลขนัยสำคัญทั้งหมดจะหายไป

10^{17}

$10^{17}$

— whuber

คำตอบ:

ในบทความวิกิพีเดีย "อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าความแปรปรวน"แสดงให้เห็นถึงวิธีการคำนวณค่าความแปรปรวนถ้าองค์ประกอบมีการเพิ่มการสังเกตของคุณ (จำได้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือสแควร์รูทของความแปรปรวน) สมมติว่าคุณผนวกเข้ากับอาร์เรย์ของคุณจากนั้น $x_{n+1}$

σ_{n e w}^{2} = σ_{o l d}^{2} + (x_{n + 1} - μ_{n e w}) (x_{n + 1} - μ_{o l d}) .

$\sigma_{new}^2 = \sigma_{old}^2 + (x_{n+1} - \mu_{new})(x_{n+1} - \mu_{old}).$

แก้ไข : สูตรข้างต้นดูเหมือนจะผิดโปรดดูความคิดเห็น

ตอนนี้การแทนที่องค์ประกอบหมายถึงการเพิ่มการสังเกตและการลบองค์ประกอบอื่น ทั้งสองสามารถคำนวณด้วยสูตรข้างต้น อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าปัญหาของความมั่นคงเชิงตัวเลขอาจเกิดขึ้นได้ บทความที่ยกมาเสนอยังเสนอตัวแปรที่มีเสถียรภาพตัวเลข

เพื่อให้ได้สูตรด้วยตัวเองคำนวณโดยใช้นิยามของความแปรปรวนและตัวอย่างแทนตามสูตรที่คุณให้ตามความเหมาะสม นี้จะช่วยให้คุณในที่สุดและทำให้สูตรสำหรับรับและ $(n-1)(\sigma_{new}^2 - \sigma_{old}^2)$ $\mu_{new}$ $\sigma_{new}^2 - \sigma_{old}^2$ $\sigma_{new}$ $\sigma_{old}$ dในสัญกรณ์ของฉันฉันถือว่าคุณแทนที่องค์ประกอบด้วย : $\mu_{old}$ $x_n$ $x_n'$

\begin{array}{rcl} σ^{2} & = & (n - 1)^{- 1} \sum_{k} (x_{k} - μ)^{2} \\ (n - 1) (σ_{n e w}^{2} - σ_{o l d}^{2}) & = & \sum_{k = 1}^{n - 1} ((x_{k} - μ_{n e w})^{2} - (x_{k} - μ_{o l d})^{2}) \\ + ((x_{n}^{'} - μ_{n e w})^{2} - (x_{n} - μ_{o l d})^{2}) \\ = & \sum_{k = 1}^{n - 1} ((x_{k} - μ_{o l d} - n^{- 1} (x_{n}^{'} - x_{n}))^{2} - (x_{k} - μ_{o l d})^{2}) \\ + ((x_{n}^{'} - μ_{o l d} - n^{- 1} (x_{n}^{'} - x_{n}))^{2} - (x_{n} - μ_{o l d})^{2}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 &=& (n-1)^{-1} \sum_k (x_k - \mu)^2 \\ (n-1)(\sigma_{new}^2 - \sigma_{old}^2) &=& \sum_{k=1}^{n-1} ((x_k - \mu_{new})^2 - (x_k - \mu_{old})^2) \\ &&+\ ((x_n' - \mu_{new})^2 - (x_n - \mu_{old})^2) \\ &=& \sum_{k=1}^{n-1} ((x_k - \mu_{old} - n^{-1}(x_n'-x_n))^2 - (x_k - \mu_{old})^2) \\ &&+\ ((x_n' - \mu_{old} - n^{-1}(x_n'-x_n))^2 - (x_n - \mu_{old})^2) \\ \end{eqnarray*}\\$

The $x_k$ in the sum transform into something dependent of $\mu_{old}$ , but you'll have to work the equation a little bit more to derive a neat result. This should give you the general idea.

— krlmlr
แหล่งที่มา

the first formula you gave does not seem correct, well it means that if the

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ is smaller/larger then from both new and old mean, the variance always increases, which does not make any sense. It may increase or decrease depending on the distribution.

— Emmet B

@EmmetB: Yes, you're right -- this should probably be

σ_{n e w}^{2} = \frac{n - 1}{n} σ_{o l d}^{2} + \frac{1}{n} (x_{n + 1} - μ_{n e w}) (x_{n + 1} - μ_{o l d}) .

$\sigma_{new}^2 = \frac{n-1}{n} \sigma_{old}^2 + \frac{1}{n} (x_{n+1} - \mu_{new})(x_{n+1} - \mu_{old}).$ Unfortunately, this renders void my whole discussion from there, but I'm leaving it for historic purposes. Feel free to edit, though.

— krlmlr

Based on what i think i'm reading on the linked Wikipedia article you can maintain a "running" standard deviation:

real sum = 0;
int count = 0;
real S = 0;
real variance = 0;

real GetRunningStandardDeviation(ref sum, ref count, ref S, x)
{
   real oldMean;

   if (count >= 1)
   {
       real oldMean = sum / count;
       sum = sum + x;
       count = count + 1;
       real newMean = sum / count;

       S = S + (x-oldMean)*(x-newMean)
   }
   else
   {
       sum = x;
       count = 1;
       S = 0;         
   }

   //estimated Variance = (S / (k-1) )
   //estimated Standard Deviation = sqrt(variance)
   if (count > 1)
      return sqrt(S / (count-1) );
   else
      return 0;
}

Although in the article they don't maintain a separate running sum and count, but instead have the single mean. Since in thing i'm doing today i keep a count (for statistical purposes), it is more useful to calculate the means each time.

— Ian Boyd
แหล่งที่มา

Given original $\bar x$ , $s$ , and $n$ , as well as the change of a given element $x_n$ to $x_n'$ , I believe your new standard deviation $s'$ will be the square root of

s^{2} + \frac{1}{n - 1} (2 n Δ \bar{x} (x_{n} - \bar{x}) + n (n - 1) (Δ \bar{x})^{2}),

$s^2 + \frac{1}{n-1}\left(2n\Delta \bar x(x_n-\bar x) +n(n-1)(\Delta \bar x)^2\right),$ where

Δ \bar{x} = {\bar{x}}^{'} - \bar{x}

$\Delta \bar x = \bar x' - \bar x$ , with

{\bar{x}}^{'}

$\bar x'$ denoting the new mean.

Maybe there is a snazzier way of writing it?

I checked this against a small test case and it seemed to work.

— Whistling in the Dark
แหล่งที่มา

@john / whistling in the Dark: I liked your answer, it seems work properly in my small dataset. Is there any mathematical foundation/reference on it? Could you kindly help?

— Alok Chowdhury

The question was all @Whistling in the Dark, I just cleaned it up for the site. You should pose a new question referencing the question and answer here. And also you should upvote this answer if you feel that way.

— John