ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าการแปลงฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่องนั้นให้เส้นโค้งเดียวกับการถดถอยโดยใช้พื้นฐานของฟูริเยร์หรือไม่ ตัวอย่างเช่น,

library(fda)
Y=daily$tempav[,1] ## my data
length(Y) ## =365

## create Fourier basis and estimate the coefficients
mybasis=create.fourier.basis(c(0,365),365)  
basisMat=eval.basis(1:365,mybasis)
regcoef=coef(lm(Y~basisMat-1))

## using Fourier transform
fftcoef=fft(Y)

## compare
head(fftcoef)
head(regcoef)

FFT ให้จำนวนเชิงซ้อนในขณะที่การถดถอยให้จำนวนจริง

พวกเขาถ่ายทอดข้อมูลเดียวกันหรือไม่? มีแผนที่หนึ่งถึงหนึ่งระหว่างตัวเลขสองชุดหรือไม่

(ฉันจะขอบคุณถ้าคำตอบนั้นเขียนจากมุมมองของนักสถิติแทนที่จะเป็นมุมมองของวิศวกรวัสดุออนไลน์มากมายที่ฉันสามารถหาได้มีศัพท์แสงทางวิศวกรรมทั่วสถานที่ซึ่งทำให้ฉันพอใจน้อยลง)

พวกเขาเหมือนกัน นี่คือวิธี ...

ทำถดถอย

สมมติว่าคุณเหมาะสมกับรูปแบบ ที่T = 1 , ... , Nและn = ชั้น( N / 2 ) สิ่งนี้ไม่เหมาะสำหรับการถดถอยเชิงเส้นดังนั้นแทนที่จะใช้ตรีโกณมิติ ( cos ( a + b ) =

$$y_t = \sum_{j=1}^n A_j \cos(2 \pi t [j/N] + \phi_j)$$ $t=1,\ldots,N$$n = \text{floor}(N/2)$ ) และพอดีกับโมเดลที่เทียบเท่า: y t = n ∑ j = 1 β 1 , j cos ( 2 π t [ j / N ] ) + β 2 , เจบาป( 2 π T [ J / N ] $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ $$y_t = \sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \cos(2 \pi t [j/N]) + \beta_{2,j}\sin(2 \pi t [j/N]).$$ เล่นการถดถอยเชิงเส้นในทุกความถี่ฟูริเยร์ช่วยให้คุณพวง ( 2 n ) ของเบต้า: { βฉัน, J } , ฉัน= 1 , 2 สำหรับjใด ๆหากคุณต้องการคำนวณทั้งคู่ด้วยมือคุณสามารถใช้:$\{j/N : j = 1, \ldots, n \}$$2n$$\{\hat{\beta}_{i,j}\}$$i=1,2$$j$

และ β 2,J=Σ N T = 1ปีเสื้อบาป(2πT[J/N]

$$\hat{\beta}_{1,j} = \frac{\sum_{t=1}^N y_t \cos(2 \pi t [j/N])}{\sum_{t=1}^N \cos^2(2 \pi t [j/N])}$$ นี่คือสูตรการถดถอยมาตรฐาน $$\hat{\beta}_{2,j} = \frac{\sum_{t=1}^N y_t \sin(2 \pi t [j/N])}{\sum_{t=1}^N \sin^2(2 \pi t [j/N])}.$$

ทำการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

เมื่อคุณทำการแปลงฟูริเยร์คุณจะคำนวณสำหรับ :$j=1, \ldots, n$

$$\begin{align*} d(j/N) &= N^{-1/2}\sum_{t=1}^N y_t \exp[- 2 \pi i t [j/N]] \\ &= N^{-1/2}\left(\sum_{t=1}^N y_t\cos(2 \pi t [j/N]) - i \sum_{t=1}^N y_t\sin(2 \pi t [j/N])\right) . \end{align*}$$

$i$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$\cos(-x) = \cos(x)$$\sin(-x) = -\sin(x)$

$j$

$$|d(j/N)|^2 = N^{-1}\left(\sum_{t=1}^N y_t\cos(2 \pi t [j/N])\right)^2 + N^{-1}\left(\sum_{t=1}^N y_t\sin(2 \pi t [j/N])\right)^2.$$ ใน R การคำนวณเวกเตอร์นี้น่าจะI <- abs(fft(Y))^2/length(Y)แปลกเพราะคุณต้องขยายมัน

$$P(j/N) = \left(\frac{2}{N}\sum_{t=1}^N y_t \cos(2 \pi t [j/N]) \right)^2 + \left(\frac{2}{N}\sum_{t=1}^N y_t \sin(2 \pi t [j/N]) \right)^2.$$ $P(j/N) = \frac{4}{N}|d(j/N)|^2$P <- (4/length(Y))*I[(1:floor(length(Y)/2))]

การเชื่อมต่อระหว่างคนทั้งสอง

มันจะเปิดการเชื่อมต่อระหว่างการถดถอยและสองช่วงเวลาคือ:

$$P(j/N) = \hat{\beta}_{1,j}^2 + \hat{\beta}_{2,j}^2.$$ $j$$\sum_{t=1}^N \cos^2(2 \pi t [j/N]) = \sum_{t=1}^N \sin^2(2 \pi t [j/N]) = N/2$

ที่มา: https://www.amazon.com/Time-Analysis-Its-Applications-Statistics/dp/144197864X

พวกเขาเกี่ยวข้องอย่างยิ่ง ตัวอย่างของคุณไม่สามารถทำซ้ำได้เพราะคุณไม่ได้รวมข้อมูลของคุณดังนั้นฉันจะสร้างใหม่ ก่อนอื่นเรามาสร้างฟังก์ชั่นเป็นคาบ:

T <- 10
omega <- 2*pi/T
N <- 21
x <- seq(0, T, len = N)
sum_sines_cosines <- function(x, omega){
    sin(omega*x)+2*cos(2*omega*x)+3*sin(4*omega*x)+4*cos(4*omega*x)
}
Yper <- sum_sines_cosines(x, omega)
Yper[N]-Yper[1] # numerically 0

x2 <- seq(0, T, len = 1000)
Yper2 <- sum_sines_cosines(x2, omega)
plot(x2, Yper2, col = "red", type = "l", xlab = "x", ylab = "Y")
points(x, Yper)

$N = 2k+1$$N-2$$N-3=2(k-1)$$k\omega$$N=3$$k=1$. อย่างไรก็ตามถ้าคุณต้องการที่จะตรวจสอบอีกครั้งเพียงแค่เปลี่ยนN-2ไปNในตัวอย่างด้านล่างและดูที่สองคอลัมน์ล่าสุด: คุณจะเห็นว่าพวกเขากำลังไร้ประโยชน์จริง (และพวกเขาสร้างปัญหาพอดีเพราะเมทริกซ์ออกแบบคือตอนนี้เอกพจน์ )

# Fourier Regression with fda
library(fda)
mybasis <- create.fourier.basis(c(0,T),N-2)
basisMat <- eval.basis(x, mybasis)
FDA_regression <- lm(Yper ~ basisMat-1)
FDA_coef <-coef(FDA_regression)
barplot(FDA_coef)

fda${1,\sin{ \omega x},\cos{ \omega x},\dots}$$\frac{1}{\sqrt \pi}$${\frac{1}{\sqrt {2\pi}},\frac{\sin{ \omega x}}{\sqrt \pi},\frac{\cos{ \omega x}}{\sqrt \pi},\dots}$

# FDA basis has a weird scaling
max(abs(basisMat))
plot(mybasis)

คุณเห็นชัดเจนว่า:

1. $\frac{1}{\sqrt \pi}$
2. $N-2$

เพียงแค่ปรับสเกลพื้นฐานของฟูริเยร์ที่กำหนดโดยfdaเพื่อที่จะได้รับพื้นฐานของฟูริเยร์นำไปสู่สัมประสิทธิ์การถดถอยที่มีค่าที่คาดหวัง:

basisMat <- basisMat/max(abs(basisMat))
FDA_regression <- lm(Yper ~ basisMat-1)
FDA_coef <-coef(FDA_regression)
barplot(FDA_coef, names.arg = colnames(basisMat), main = "rescaled FDA coefficients")

ลองfftตอนนี้: โปรดทราบว่าเนื่องจากYperเป็นลำดับตามลำดับจุดสุดท้ายจึงไม่เพิ่มข้อมูลใด ๆ (DFT ของลำดับนั้นเป็นคาบเสมอ) ดังนั้นเราสามารถละทิ้งจุดสุดท้ายเมื่อคำนวณ FFT นอกจากนี้ FFT เป็นเพียงขั้นตอนวิธีการคำนวณที่รวดเร็วในการคำนวณ DFT และผิวเผินลำดับของจำนวนจริงหรือซับซ้อนมีความซับซ้อน ดังนั้นเราต้องการโมดูลัสของค่าสัมประสิทธิ์ FFT:

# FFT
fft_coef <- Mod(fft(Yper[1:(N-1)]))*2/(N-1)

$\frac{2}{N-1}$${1,\sin{ \omega x},\cos{ \omega x},\dots}$

fft_coef <- fft_coef[1:((N-1)/2)]
terms <- paste0("exp",seq(0,(N-1)/2-1))
barplot(fft_coef, names.arg = terms, main = "FFT coefficients")

$\exp{ni\omega x}$$i$$x_n\exp{ni\omega x}$$x_n$$a_n sin(n\omega x)+b_n cos(n\omega x)$$\exp{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$$|x_n|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$$5=\sqrt{3^3+4^2}$