ตัวแปรสุ่มปกติแบบมาตรฐานสองตัวมีความเป็นอิสระเสมอหรือไม่?

ฉันเรียนรู้ว่าการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานไม่เหมือนใครเพราะค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนได้รับการแก้ไขที่ 0 และ 1 ตามลำดับ จากข้อเท็จจริงนี้ฉันสงสัยว่าตัวแปรสุ่มสองมาตรฐานใดต้องเป็นอิสระ

คำตอบคือไม่ ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐานดังนั้นY = - Xตามหลังสถิติเดียวกัน แต่XและYนั้นขึ้นอยู่กับอย่างชัดเจน$X$$Y=-X$$X$$Y$

ไม่ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่าเกาส์สองมาตรฐานใด ๆ เป็นอิสระ

นี่คือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย สมมติว่าและYเป็นตัวแปรปกติมาตรฐานอิสระสองตัว จากนั้นทั้งคู่$X$$Y$

เป็นตัวแปรปกติสองมาตรฐานที่ขึ้นอยู่กับ ดังนั้นตราบใดที่ตัวแปรอิสระสองตัวมีอยู่ต้องมีสองตัวแปรขึ้นอยู่กับคน

ตัวแปรที่สองเป็นเรื่องปกติเพราะการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรอิสระอิสระเป็นเรื่องปกติอีกครั้ง จะมีการให้ความแปรปรวนเท่ากับ1$\sqrt{2}$$1$

Intuitively, these are dependent because knowing the value of $X$ gives you additional information you can use to predict the value of the second variable. For example, if you know that $X = x$, then the conditional expectation of the second variable is

Here's a fairly wide answer:

Let $X,Y$ be jointly Gaussian random variables (i.e. for any $a,b$ real numbers, $a X + bY$ has a Gaussian distribution). Then, $X$ and $Y$ are independent if and only if $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$ (i.e. they are uncorrelated). See these notes, for example, for details.

How can you generate standard normal random variables which are not independent? Pick your favorite matrix of the form $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ such that $(\lambda-1)^2 - p^2$ has positive roots in $\lambda$. Then, apply the Cholesky decompositon to $\Sigma= R R^T$. Then, take two independent standard normal random variables $U,V$ and then the vector $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ has standard normal components, but the components are independent if and only if $p=0$.

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$.

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$.