สมมติว่า$Y$เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องและ$X$เป็นตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$$

อย่างที่เรารู้$\Pr(Y=y) = 0$เพราะ$Y$เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และจากสิ่งนี้ฉันจึงอยากสรุปว่าความน่าจะเป็น$\Pr(X=x|Y=y)$นั้นไม่ได้ถูกกำหนด

อย่างไรก็ตามWikipedia อ้างว่าที่นี่มีการกำหนดไว้ดังนี้:

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$$

คำถาม:ความคิดใดที่วิกิพีเดียจัดการเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นนั้นได้อย่างไร?

---

ความพยายามของฉัน

นี่คือความพยายามของฉันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของ Wikipedia ในแง่ของข้อ จำกัด :

$$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$$

ตอนนี้$\Pr(X=x|Y=y)$ดูเหมือนจะถูกกำหนดให้เป็น$\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$ซึ่งตรงกับ วิกิพีเดียอ้างสิทธิ์

นั่นเป็นวิธีที่ Wikipedia ทำหรือไม่

แต่ฉันยังคงรู้สึกว่าฉันใช้แคลคูลัสที่นี่ในทางที่ผิด ดังนั้นฉันคิดว่า$\Pr(X=x|Y=y)$นั้นไม่ได้กำหนด แต่อยู่ในขอบเขตที่เราใกล้เคียงที่สุดที่จะกำหนด$\Pr(Y=y)$และ$\Pr(Y=y|X=x)$แต่ไม่ eyactly แล้ว$\Pr(X=x|Y=y)$ถูกกำหนด

แต่ส่วนใหญ่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับหลายสิ่งรวมถึงข้อ จำกัด ที่ฉันทำที่นั่นฉันรู้สึกว่าบางทีฉันอาจไม่เข้าใจความหมายของสิ่งที่ฉันทำ

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข , , , ถูกกำหนดอย่างเป็นทางการว่าเป็นคำตอบของสมการที่หมายถึงพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับการกระจายของYหนึ่งในโซลูชั่นเหล่านั้นได้รับการจัดทำโดยสูตร Bayes '(1763) ตามที่ระบุในWikipedia :$\mathbb{P}(X=x|Y=y)$$x\in\mathcal{X}$$y\in\mathcal{Y}$

$$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$$ $\sigma(\mathcal{Y})$$\sigma$$Y$ $$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$$ แม้ว่ารุ่นที่กำหนดโดยพลการบนชุดการวัดศูนย์ในก็ใช้ได้เช่นกัน$\sigma(\mathcal{Y})$

แนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเกี่ยวกับสมมติฐานที่แยกได้ซึ่งความน่าจะเป็นเท่ากับ 0 นั้นยอมรับไม่ได้ สำหรับเราสามารถได้รับการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับ [ละติจูด] บนวงกลมเมริเดียนเฉพาะเมื่อเราพิจารณาว่าวงกลมนี้เป็นองค์ประกอบของการสลายตัวของพื้นผิวทรงกลมทั้งหมดไปยังวงกลมเมริเดียนด้วยเสาที่กำหนด -  Andrei Kolmogorov

ดังที่ Borel-Kolmogorov บุคคลที่ผิดธรรมดาได้รับค่า อาจเกิดขึ้นการกระจายความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ไม่มีความหมายที่แม่นยำไม่เพียงเพราะเหตุการณ์มีค่าเป็นศูนย์ แต่เนื่องจากเหตุการณ์นี้สามารถตีความได้ว่าสามารถวัดได้กับช่วงที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ -algebras$y_0$$Y$$\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$$\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$$\sigma$

หมายเหตุ:นี่คือการแนะนำที่เป็นทางการยิ่งขึ้นนำมาจากการทบทวนทฤษฎีความน่าจะเป็นในบล็อกของเทอร์รี่เทา :

นิยาม 9 (สลายตัว) Letเป็นตัวแปรสุ่มที่มีช่วงRการสลายตัวของพื้นที่ตัวอย่างต้นแบบเกี่ยวกับเป็นเซตย่อย ของของการวัดเต็มใน (ดังนั้นเกือบจะแน่นอน) พร้อมกับมอบหมายความน่าจะเป็นวัดในพื้นที่ย่อยของ สำหรับแต่ละซึ่งสามารถวัดได้ในแง่ที่ว่าแผนที่$Y$$R$$(R', (\mu_y)_{y \in R'})$$\Omega$$Y$$R'$$R$$\mu_Y$$Y \in R'$${\bf P}(|Y=y)$$\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$$\Omega$$y \in R$$y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$สามารถวัดได้สำหรับทุกเหตุการณ์และสำหรับเหตุการณ์ดังกล่าวทั้งหมดที่เป็น (เกือบกำหนดแน่นอน) ตัวแปรสุ่มกำหนดให้เท่ากับเมื่อใดก็ตามที่ y$F$

$$\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$$ ${\bf P}(F|Y)$${\bf P}(F|Y=y)$$Y=y$

ด้วยการสลายตัวเราสามารถกำหนดเงื่อนไขให้กับเหตุการณ์ สำหรับโดยแทนที่ด้วย subspace (ด้วยการเหนี่ยวนำ -algebra) แต่แทนที่การวัดความน่าจะเป็นพื้นฐานกับy) เราสามารถกำหนดเงื่อนไข (ไม่มีเงื่อนไข) เหตุการณ์และตัวแปรสุ่มกับเหตุการณ์นี้เพื่อสร้างกิจกรรมที่มีเงื่อนไขและตัวแปรสุ่ม บนพื้นที่ที่มีเงื่อนไขทำให้เกิดความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข$Y=y$$y \in R'$$\Omega$$\Omega_y$$\sigma$${\bf P}$${\bf P}(|Y=y)$$F$$X$$(F|Y=y)$$(X|Y=y)$${\bf P}(F|Y=y)$(ซึ่งสอดคล้องกับสัญกรณ์ที่มีอยู่สำหรับนิพจน์นี้) และความคาดหวังตามเงื่อนไข (สมมติว่าการผสานรวมแบบสัมบูรณ์ในพื้นที่ปรับอากาศนี้) แล้วเราตั้งจะเป็น (เกือบกำหนดแน่นอน) ตัวแปรสุ่มกำหนดให้เท่ากับเมื่อใดก็ตามที่ y${\bf E}(X|Y=y)$${\bf E}(X|Y)$${\bf E}(X|Y=y)$$Y=y$

ฉันจะให้ภาพร่างว่าชิ้นส่วนสามารถประกอบเข้าด้วยกันได้อย่างไรเมื่อต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง$Y$$X$

ข้อต่อความหนาแน่นผสม:

$$f_{XY}(x,y)$$

ความหนาแน่นและความน่าจะเป็นเล็กน้อย:

$$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$$

$$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$$

ความหนาแน่นและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข:

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$$

กฎ Bayes:

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$$

แน่นอนวิธีที่ทันสมัยและเข้มงวดในการจัดการกับความน่าจะเป็นคือผ่านทฤษฎีการวัด สำหรับคำจำกัดความที่ชัดเจนให้ดูคำตอบของซีอาน

โปรดทราบว่าบทความ Wikipedia ใช้คำจำกัดความต่อไปนี้: นั่นคือมัน ถือว่าผลลัพธ์เป็นความหนาแน่นไม่ใช่ความน่าจะเป็นอย่างที่คุณมี ดังนั้นฉันจะบอกว่าคุณพูดถูกว่านั้นไม่ได้กำหนดไว้เมื่อต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องซึ่งเป็นเหตุผลที่เราพิจารณาความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมากกว่าในกรณีนี้แทน

$$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$$ $P(X=x|Y=y)$$X$$Y$$X$

แก้ไข: เนื่องจากความสับสนเกี่ยวกับสัญกรณ์ (ดูความคิดเห็น) ข้างต้นหมายถึงสถานการณ์ตรงข้ามกับสิ่งที่มนุษย์ถ้ำถาม