ตัวอย่างที่มีค่ามัธยฐานอยู่นอก [โหมดหมายถึง]

นี้บทความอยู่เหนือลีกของฉัน แต่มันพูดเกี่ยวกับหัวข้อที่ฉันสนใจในความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยโหมดและค่ามัธยฐาน มันบอกว่า :

เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบ unimodal คือ "ปกติ" ระหว่างค่าเฉลี่ยและโหมด อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่เป็นความจริงเสมอไป ...

คำถามของฉัน : ใครสามารถให้ตัวอย่างของการกระจาย unimodal (ง่ายอย่างง่าย ๆ ) อย่างต่อเนื่องที่ค่ามัธยฐานอยู่นอกช่วง [โหมดหมายถึง]? mode < mean < medianยกตัวอย่างเช่นการกระจายเช่น

=== แก้ไข =======

มีคำตอบที่ดีจาก Glen_b และ Francis แต่ฉันรู้ว่าสิ่งที่ฉันสนใจจริงๆคือตัวอย่างที่โหมด <หมายถึง <มัธยฐานหรือมัธยฐาน <เฉลี่ย <โหมด (นั่นคือค่ามัธยฐานทั้งสองอยู่นอก [โหมดหมายถึง] และมัธยฐานคือ "ในด้านเดียวกัน" เป็นค่าเฉลี่ยของโหมด (เช่นทั้งเหนือและใต้โหมด) ฉันยอมรับคำตอบที่นี่เปิดคำถามใหม่หรืออาจมีคนแนะนำวิธีแก้ปัญหาที่นี่โดยตรง

แน่นอนว่ามันไม่ใช่เรื่องยากที่จะหาตัวอย่าง - แม้แต่คนที่ไม่มีรูปแบบต่อเนื่อง - โดยที่ค่ามัธยฐานไม่ได้อยู่ระหว่างค่าเฉลี่ยและโหมด

1. พิจารณา iid จากการแจกแจงรูปสามเหลี่ยมของแบบฟอร์มf T ( t ) = 2 ( 1 - t ) 1 0 < t < $T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   ตอนนี้ให้เป็น 60-40 ส่วนผสมของและ-4T_2T 1 - 4 T $X$$T_1$$-4T_2$

   ความหนาแน่นของมีลักษณะดังนี้:$X$

   

   ค่าเฉลี่ยอยู่ต่ำกว่า 0 โหมดอยู่ที่ 0 แต่ค่ามัธยฐานอยู่เหนือ 0 การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของสิ่งนี้จะให้ตัวอย่างที่แม้แต่ความหนาแน่น (แทนที่จะเป็นแค่ cdf) นั้นต่อเนื่อง แต่ความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่ง - มาตรการคือ เดียวกัน (แก้ไข: ดู 3. ด้านล่าง)

2. โดยทั่วไปให้ใส่สัดส่วน (ด้วย ) ของความน่าจะเป็นทั้งหมดในสามเหลี่ยมมุมฉากและสัดส่วนลงในสามเหลี่ยมมุมฉากซ้าย (แทนที่ 0.6 และ 0.4 เรามีมาก่อน) นอกจากนี้ให้ปรับมาตราส่วนในครึ่งซ้ายมากกว่า (ด้วย ):0 < p < 1 ( 1 - p ) - β - 4 β > $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   ตอนนี้สมมติว่าค่ามัธยฐานจะอยู่ในช่วงเวลาที่ครอบคลุมด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอดังนั้นค่ามัธยฐานจะเกินโหมด (ซึ่งจะอยู่ที่เสมอ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมัธยฐานจะอยู่ที่{} 0p>$p>\frac12$$0$ 1-1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   ค่าเฉลี่ยจะอยู่ที่ 3$(p - \beta(1-p))/3$

   ถ้าค่าเฉลี่ยจะต่ำกว่าโหมดและถ้าค่าเฉลี่ยจะอยู่เหนือโหมดβ < p / ( 1 - p $\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   ในทางกลับกันเราต้องการเพื่อให้ค่าเฉลี่ยต่ำกว่าค่ามัธยฐาน$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   พิจารณา ; สิ่งนี้ทำให้ค่ามัธยฐานเหนือโหมด$p=0.7$

   จากนั้นจะตอบสนองดังนั้นค่าเฉลี่ยอยู่เหนือโหมดβ < p / ( 1 - p $\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   ค่ามัธยฐานเป็นจริงที่ในขณะที่ค่าเฉลี่ยอยู่ที่0.0333 ดังนั้นสำหรับและเรามีโหมด <mean <มัธยฐาน 0.7 - 2 ( 0.3 $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$p=0.7β=$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   (NB เพื่อความสอดคล้องกับสัญกรณ์ของฉันตัวแปรในแกน x สำหรับทั้งสองแปลงควรเป็นแทนที่จะเป็นtแต่ฉันจะไม่ย้อนกลับไปแก้ไขมัน)$x$$t$

3. นี่คือตัวอย่างที่ความหนาแน่นของตัวเองต่อเนื่อง มันขึ้นอยู่กับวิธีการใน 1 และ 2 ข้างต้น แต่ด้วย "กระโดด" แทนที่ด้วยความลาดชันสูง (และจากนั้นความหนาแน่นทั้งหมดพลิกประมาณ 0 เพราะฉันต้องการตัวอย่างที่ดูเอียงขวา)

   

   $T_1$$-3T_2$$5T_3$

   ดังที่เราเห็นในแผนภาพข้างต้นค่าเฉลี่ยอยู่ตรงกลางตามที่ร้องขอ

4. $[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าขนาดเล็กของพารามิเตอร์รูปร่าง Weibull การกระจายนั้นเอียงขวาและเรามีสถานการณ์ปกติของค่ามัธยฐานระหว่างโหมดและค่าเฉลี่ยในขณะที่ค่าขนาดใหญ่ของพารามิเตอร์รูปร่าง Weibull การกระจายจะเอียงซ้าย และเรามีสถานการณ์ "ค่ามัธยฐานกลาง" อีกครั้ง (แต่ตอนนี้มีโหมดทางด้านขวามากกว่าค่าเฉลี่ย) ในระหว่างกรณีเหล่านี้เป็นพื้นที่เล็ก ๆ ที่ค่ามัธยฐานอยู่นอกช่วงเวลาเฉลี่ยโหมดและในช่วงกลางของค่าเฉลี่ยและโหมดข้าม:

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   การเลือกค่าที่สะดวกสบายสำหรับพารามิเตอร์รูปร่างในช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมาย (1) และ (2) ด้านบน - ค่าที่ช่องว่างระหว่างตำแหน่งสถิติมีค่าเท่ากันเราจะได้รับ:

   

   แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นไปตามข้อกำหนด แต่น่าเสียดายที่พารามิเตอร์ตำแหน่งทั้งสามอยู่ใกล้กันมากจนเราไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างได้ (พวกเขาทั้งหมดตกอยู่ในพิกเซลเดียวกัน) ซึ่งค่อนข้างน่าผิดหวังเล็กน้อย - กรณีสำหรับตัวอย่างก่อนหน้าของฉันมีมากกว่า แยกออกจากกัน. (อย่างไรก็ตามมันแนะนำสถานการณ์ให้ตรวจสอบกับดิสทริบิวชันอื่น ๆ ซึ่งบางอันอาจให้ผลลัพธ์ที่ชัดเจนมากขึ้น

ตัวอย่างต่อไปนี้จะนำมาจากจอร์แดน Stoyanov ของcounterexamples ในความน่าจะเป็น

$c$$\lambda$$X$

รับการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ rate a และ density a exp (-ax) เป็น 0 <= x <infinity โหมดอยู่ที่ศูนย์ แน่นอนค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานมากกว่า 0 cdf คือ 1-exp (-ax) ดังนั้นสำหรับค่ามัธยฐานแก้สำหรับ exp (-ax) = 0.5 สำหรับ x จากนั้น -ax = ln (0.5) หรือ x = -ln (0.5) / a สำหรับค่าเฉลี่ยของการรวมขวาน exp (-ax) จาก 0 ถึงอินฟินิตี้ รับ a = 1 และเรามีค่ามัธยฐาน = -ln (0.5) = ln (2) และ mean = 1

ดังนั้นโหมด <ค่ามัธยฐาน <หมายถึง