ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสมนั้นต่อเนื่องใช่ไหม?

ฉันได้เรียนรู้ในหลักสูตรความน่าจะเป็นที่ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มนั้นต่อเนื่องกัน เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ว่า? $F$ $X$

probability

— Blathamani
แหล่งที่มา

เพื่อพิสูจน์ความต่อเนื่องที่ถูกต้องของฟังก์ชันการกระจายคุณต้องใช้ความต่อเนื่องจากด้านบนของซึ่งคุณอาจพิสูจน์ในหลักสูตรความน่าจะเป็นหนึ่ง $P$

บทแทรก หากลำดับเหตุการณ์ลดลงในแง่ที่สำหรับทุก ๆแล้วซึ่งในA_n $\{A_n\}_{n\geq 1}$ $A_n\supset A_{n+1}$ $n\geq 1$ $P(A_n)\downarrow P(A)$ $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

ลองใช้เล็มม่า ฟังก์ชั่นการกระจายที่เหมาะสมอย่างต่อเนื่องบางจุดและถ้าหากทุกลำดับลดลงของจำนวนจริงเช่นว่าเรามีก) $F$ $a$ $\{x_n\}_{n\geq 1}$ $x_n\downarrow a$ $F(x_n)\downarrow F(a)$

กำหนดเหตุการณ์สำหรับ1 เราจะพิสูจน์ว่า $A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$ $n\geq 1$

⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} = {ω : X (ω) \leq a} .

$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$

ในทิศทางเดียวถ้าทุกตั้งแต่เรามี $X(\omega)\leq x_n$ $n\geq 1$ $x_n\downarrow a$ $X(\omega)\leq a$

ในทิศทางอื่น ๆ ถ้าเนื่องจากสำหรับแต่ละเรามีสำหรับทุก1 $X(\omega)\leq a$ $a\leq x_n$ $n\geq 1$ $X(\omega)\leq x_n$ $n\geq 1$

เมื่อใช้เล็มม่าผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:

F (x_{n}) = P {X \leq x_{n}} = P (A_{n}) ↓ P (\cap_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = P {X \leq a} = F (a) .

$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$

— เซน
แหล่งที่มา