การใช้ offset ในรูปแบบทวินามเพื่ออธิบายจำนวนผู้ป่วยที่เพิ่มขึ้น

คำถามสองข้อที่เกี่ยวข้องจากฉัน ฉันมีกรอบข้อมูลซึ่งมีจำนวนผู้ป่วยในหนึ่งคอลัมน์ (ช่วงผู้ป่วย 10 - 17 คน) และ 0s และ 1s แสดงว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นในวันนั้นหรือไม่ ฉันใช้รูปแบบทวินามเพื่อลดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับจำนวนผู้ป่วย อย่างไรก็ตามฉันต้องการที่จะปรับให้เข้ากับความจริงที่ว่าเมื่อมีผู้ป่วยมากขึ้นจะมีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เพราะจำนวนเวลาผู้ป่วยทั้งหมดในวอร์ดนั้นสูงขึ้นในวันนั้น

ดังนั้นฉันใช้รูปแบบทวินามแบบออฟเซ็ตเช่นนี้ (รหัส R):

glm(Incident~Numbers, offset=Numbers, family=binomial, data=threatdata)

คำถามของฉันคือ:

1. มันโอเคที่จะมีตัวแปรที่เหมือนกันในการทำนายและใน offset หรือไม่? ฉันต้องการแยกความน่าจะเป็นของยาชูกำลังที่เพิ่มขึ้นและดูว่ามีอะไรเหลืออยู่บ้างหรือไม่ มันสมเหตุสมผลสำหรับฉัน แต่ฉันก็ค่อนข้างระมัดระวังในกรณีที่ฉันผิด

2. มีการระบุออฟเซ็ตอย่างถูกต้องหรือไม่? ฉันรู้ว่าในรูปแบบปัวซองมันจะอ่าน

   offset=log(Numbers)
   

ฉันไม่ทราบว่ามีสิ่งที่เทียบเท่าที่นี่และฉันไม่สามารถหาการชดเชยทวินามใด ๆ กับ Google (ปัญหาหลักคือการที่ฉันได้รับทวินามลบซึ่งแน่นอนว่าไม่ดี)

หากคุณสนใจในความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจาก N วันของผู้ป่วยในวอร์ดคุณต้องการแบบจำลองเช่น:

mod1 <- glm(incident ~ 1, offset=patients.on.ward, family=binomial)

การชดเชยแสดงถึงการทดลองincidentเป็น 0 หรือ 1 และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นค่าคงที่ (ไม่ต่างกันในแนวโน้มที่จะสร้างเหตุการณ์) และผู้ป่วยไม่ได้มีปฏิสัมพันธ์กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น (ไม่มีการแพร่กระจาย) อีกทางหนึ่งถ้าโอกาสของเหตุการณ์เล็ก ๆ น้อย ๆ ซึ่งเป็นของคุณ (หรือคุณได้นับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยไม่ต้องพูดถึงเรา) คุณอาจจะชอบสูตรปัวซอง

log.patients.on.ward <- log(patients.on.ward)
mod2 <- glm(incident ~ 1, offset=log.patients.on.ward, family=poisson)

โดยใช้สมมติฐานเดียวกัน การชดเชยถูกบันทึกไว้เนื่องจากจำนวนผู้ป่วยในหอผู้ป่วยมีผลต่อสัดส่วน / การคูณ

ขยายตัวในรุ่นที่สองบางทีคุณอาจจะคิดว่ามีมากขึ้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเกินกว่าจะคาดอย่างอื่นเพียงเพราะจำนวนผู้ป่วยที่เพิ่มขึ้น นั่นคือบางทีผู้ป่วยอาจโต้ตอบหรือมีลักษณะต่างกัน ดังนั้นคุณลอง

mod3 <- glm(incident ~ 1 + log.patients.on.ward, family=poisson)

หากค่าสัมประสิทธิ์การเปิดlog.patients.on.wardมีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจาก 1 ซึ่งได้รับการแก้ไขmod2แล้วบางสิ่งอาจผิดปกติกับสมมติฐานของคุณที่ไม่มีความหลากหลายและไม่มีการแพร่กระจาย และในขณะที่คุณไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองอย่างนี้ (หรืออย่างใดอย่างหนึ่งกับตัวแปรที่หายไปอื่น ๆ ) แต่ตอนนี้คุณมีการประเมินว่าจำนวนผู้ป่วยในวอร์ดเพิ่มขึ้นมากเพียงใด คาดหวังจากโอกาส ในพื้นที่ของพารามิเตอร์มันมีช่วงเวลาที่ได้มาจาก1-coef(mod3)[2]confint

หรือคุณสามารถทำงานกับปริมาณบันทึกและค่าสัมประสิทธิ์โดยตรง หากคุณต้องการทำนายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้จำนวนผู้ป่วยในวอร์ดโมเดลนี้จะเป็นวิธีที่ง่าย

คำถาม

1. คุณมีตัวแปรตามในการชดเชยของคุณหรือไม่? ฟังดูเป็นความคิดที่แย่มากสำหรับฉัน แต่ฉันไม่เห็นว่าคุณต้องทำ

2. ชดเชยในรูปแบบการถดถอยปัวซองสำหรับเป็นที่แน่นอนexposure log(exposure)บางทีการใช้offsetแบบจำลองสมการถดถอยแบบทวินามแบบสับสนของR อาจเป็นวิธีการระบุจำนวนการทดลอง มันสามารถถูกแทนที่ด้วยตัวแปรตามที่กำหนดเป็นcbind(incidents, patients.on.ward-incidents)และไม่มีออฟเซ็ต ลองคิดดู: ในรุ่น Poisson มันจะเข้าทางด้านขวามือด้านหลังฟังก์ชั่นลิงค์ล็อกและในโมเดล Binomial มันจะเข้าทางด้านซ้ายมือหน้าฟังก์ชั่นลิงค์ logit

ออฟเซ็ตในการถดถอยของปัวซอง

เริ่มต้นด้วยการดูว่าทำไมเราใช้อ็อฟเซ็ตในการถดถอยแบบปัวซอง บ่อยครั้งที่เราต้องการเนื่องจากสิ่งนี้เพื่อควบคุมการเปิดรับแสง ให้อัตราพื้นฐานต่อหน่วยของการเปิดรับและทีจะมีเวลาการเปิดรับแสงในหน่วยเดียวกัน จำนวนที่คาดหวังของเหตุการณ์ที่จะλ × T$\lambda$$t$$\lambda \times t$

ในโมเดล GLM เรากำลังสร้างโมเดลค่าที่คาดไว้โดยใช้ฟังก์ชันลิงก์นั่นคือ$g$

$$g(\lambda t_i) = \log(\lambda t_i) = \beta_0 + \beta_1x_{1,i} + \dots$$

ที่คือระยะเวลาการเปิดรับแสงสำหรับบุคคล$t_i$และ x ฉันคุ้มค่าตัวแปรร่วมสำหรับบุคคลฉัน จุดไข่ปลาเพียงระบุเงื่อนไขการถดถอยเพิ่มเติมที่เราอาจต้องการเพิ่ม$i$$x_i$$i$

เราสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้านบน

$$\log(\lambda) = \log(t_i) + \beta_0 +\beta_1x_{1,i} + \dots$$

เป็นเพียงการ "ชดเชย" เพิ่มไปยังถดถอยปัวซองมันเป็นไม่ได้เป็นผลิตภัณฑ์ใด ๆ ของพารามิเตอร์แบบที่เราจะได้รับการประเมิน$\log(t_i)$

การถดถอยแบบทวินาม

ในการถดถอยแบบทวินามซึ่งโดยทั่วไปจะใช้ลิงค์ logit นั่นคือ:

$$g(p_i) = \textrm{logit}(p_i) = log\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right) = \beta_0 +\beta_1x_{1,i}+\dots$$

คุณจะเห็นว่ามันยากที่จะหาโมเดลสำหรับที่จะสร้างอ็อฟเซ็ตคงที่$p_i$

ตัวอย่างเช่นถ้า$p_i$คือความน่าจะเป็นที่หนึ่งใด ๆของผู้ป่วยในวันที่มีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น มันจะเป็นหน้าที่ของผู้ป่วยแต่ละรายที่มีอยู่ในวันนั้น ดังที่ jboman ระบุว่าเป็นการง่ายกว่าที่จะได้รับคำชมที่ไม่มีเหตุการณ์มากกว่าที่จะกำหนดความน่าจะเป็นโดยตรงสำหรับเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ $i$

ให้จะเป็นน่าจะเป็นของผู้ป่วยเจมีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในวันที่ฉัน น่าจะเป็นของผู้ป่วยที่ไม่มีมีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในวันที่ฉันจะΠ N ฉัน J = 1 ( 1 - P * ฉัน, เจ )ที่ไม่มีฉันคือจำนวนของผู้ป่วยในวันที่ฉัน ความน่าจะเป็นของผู้ป่วยอย่างน้อยหนึ่งรายที่มีเหตุการณ์จะเป็นไปได้, p i = 1 - N ฉัน ∏$p_{i,j}^*$$j$$i$$i$$\prod_{j=1}^{N_i}(1-p^*_{i,j})$$N_i$$i$

$$p_i = 1-\prod_{j=1}^{N_i}(1-p^*_{i,j}).$$

$$p_i = 1-(q^*)^{N_i},$$ $q^*= 1-p^*$$p^*$

$p_i$$g(p_i)$$\log\left((q^*)^{-N} -1 \right)$

ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้การชดเชยในกรณีนี้

$p$

คำตอบนี้มีสองส่วนคำตอบแรกตรงกับคำถามและคำอธิบายที่สองเกี่ยวกับแบบจำลองที่คุณเสนอ

ส่วนแรกเกี่ยวข้องกับการใช้งานของNumbersการชดเชยพร้อมกับมันบน rhs ของสมการ ผลของการทำเช่นนี้จะเป็นการลบ 1 จากค่าสัมประสิทธิ์โดยประมาณNumbersซึ่งจะเป็นการย้อนกลับผลกระทบของการชดเชยและจะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ ตัวอย่างต่อไปนี้ซึ่งมีการลบเอาต์พุตที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปสองสามบรรทัดแสดงให้เห็นสิ่งนี้:

library(MASS)
Numbers <- rpois(100,12)
p <- 1 / (1 + exp(0.25*Numbers))
y <- rbinom(100, Numbers, p)
Incident <- pmin(y, 1) 

> summary(glm(Incident~Numbers, family="binomial"))

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.3121  -1.0246  -0.8731   1.2512   1.7465  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
(Intercept)  0.99299    0.80624   1.232   0.2181  
Numbers     -0.11364    0.06585  -1.726   0.0844 . <= COEFFICIENT WITH NO OFFSET TERM
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 135.37  on 99  degrees of freedom
Residual deviance: 132.24  on 98  degrees of freedom
AIC: 136.24

> summary(glm(Incident~Numbers, offset=Numbers, family="binomial"))

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.3121  -1.0246  -0.8731   1.2512   1.7465  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  0.99299    0.80624   1.232    0.218    
Numbers     -1.11364    0.06585 -16.911   <2e-16 *** <= COEFFICIENT WITH OFFSET TERM
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 342.48  on 99  degrees of freedom
Residual deviance: 132.24  on 98  degrees of freedom
AIC: 136.24

โปรดทราบว่าทุกอย่างเหมือนกันยกเว้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวเลขและค่าเบี่ยงเบนความว่างเปล่า (และค่าสถิติเนื่องจากยังคงทดสอบกับ 0 แทนที่จะเป็น -1)

ส่วนที่สองเกี่ยวข้องกับโมเดลที่คุณกำลังสร้าง เนื่องจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะถูกบันทึกไว้ไม่เป็นจำนวนของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละวัน แต่ไม่ว่าจะมีมีเหตุการณ์ใด ๆ ในวันที่น่าจะเป็นของการสังเกต 1 ในวันที่$t$ คือ $1-(1-p_t)^{N_t}$ที่ไหน $N_t$ คือจำนวนผู้ป่วยต่อวัน $t$ และ $p_t$ เป็นความน่าจะเป็นต่อผู้ป่วยของเหตุการณ์ในวันที่ $t$. ฟังก์ชั่นการเชื่อมโยงปกติ logit จะพารามิเตอร์นี้เป็น$\log(1-(1-p_t)^{N_t})/N_t\log(1-p_t)$. สิ่งนี้บ่งชี้ว่าความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นของการสังเกต 1 ในแต่ละวัน$t$ และ $N_t$อาจไม่ได้รูปแบบที่ดีโดยฟังก์ชั่นเชิงเส้นในระดับ logit (นี่อาจเป็นกรณีต่อไปเนื่องจากบางคนคาดว่า "ธรณีประตู" คร่าวๆด้านล่างซึ่งคุณภาพการดูแลผู้ป่วยตกลง แต่เหนือกว่าคุณภาพการดูแลผู้ป่วยลดลงอย่างรวดเร็ว) การกลับคำจำกัดความของความน่าจะเป็นเพื่อย้าย$N_t$ ในตัวส่วนแทนตัวเศษยังคงทำให้คุณมีเลขชี้กำลังที่น่าอึดอัดใจนั้นอยู่ในบันทึก

บางคนอาจสงสัยว่าความน่าจะเป็นต่อผู้ป่วยจะแตกต่างกันไปตามผู้ป่วยซึ่งจะนำไปสู่รูปแบบเชิงลำดับขั้นที่ซับซ้อนมากขึ้น แต่ฉันจะไม่เข้าไปที่นี่

ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามเมื่อพิจารณาจากจำนวนผู้ป่วยที่คุณสังเกตเห็นนี้และในช่วงที่ จำกัด แทนที่จะใช้แบบจำลองที่มีลักษณะเป็นเส้นตรงตามมาตราส่วน logit มันอาจเป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช่พารามิเตอร์เกี่ยวกับความสัมพันธ์และกลุ่มจำนวนผู้ป่วยเป็นสามหรือ สี่กลุ่มตัวอย่างเช่น 10-11, 12-13, 14-15 และ 16-17 สร้างตัวแปรจำลองสำหรับกลุ่มเหล่านั้นจากนั้นเรียกใช้การถดถอยโลจิสติกด้วยตัวแปรจำลองที่ด้านขวา สิ่งนี้จะช่วยให้สามารถจับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ดีขึ้นเช่น "ระบบมีผู้ป่วยมากถึง 16 คนและเหตุการณ์ต่างๆเริ่มทวีความรุนแรงมากขึ้น" หากคุณมีผู้ป่วยในวงกว้างมากขึ้นฉันขอแนะนำตัวแบบเสริมทั่วไปเช่น 'gam' จากแพ็คเกจ 'mgcv'

ดูเหมือนจะง่ายที่สุดในการระบุล็อกลิงค์และคงออฟเซ็ตเหมือนกับรุ่นปัวซอง