นี่เป็นวิธีที่ง่ายกว่า (และอาจจะเป็นวิธีที่ง่ายกว่า):
คิดแปรปรวนเป็นผลิตภัณฑ์ภายในมากกว่าพื้นที่เวกเตอร์นามธรรม จากนั้นรายการในสัมพันธ์เมทริกซ์ที่มีสำหรับเวกเตอร์v 1 , V 2 , วี 3ที่วงเล็บมุม⟨ วีผม , วีเจ ⟩หมายถึงมุมระหว่างวีฉันและวีเจcos⟨ โวลต์ผม, vJ⟩โวลต์1โวลต์2โวลต์3⟨ โวลต์ผม, vJ⟩โวลต์ผมโวลต์J
ไม่ยากที่จะจินตนาการว่าถูกล้อมรอบด้วย| ⟨ v 1 , v 2 ⟩ ± ⟨ v 1 , v 3 ⟩ | . ผูกพันในโคไซน์มัน ( γ ) จึงcos [ ⟨ วี 1 , V 2 ⟩ ± ⟨ วี 1 , V 3 ⟩ ] ตรีโกณมิติพื้นฐานจากนั้นให้แกมมา∈ [ 0.6 ×⟨ โวลต์2, v3⟩| ⟨โวลต์1, v2⟩ ± ⟨ v1, v3⟩ |γcos[ ⟨ v1, v2⟩ ± ⟨ v1, v3⟩ ] ]γ∈ [ 0.6 × 0.8 - 0.6 × 0.8 , 0.6 × 0.8 + 0.6 × 0.8 ] = [ 0 , 0.96 ]
แก้ไข:หมายเหตุว่าในบรรทัดสุดท้ายมันcos ⟨ วี 1 , V 2 ⟩ cos ⟨ วี 1 , V 3 ⟩ ∓ บาป⟨ วี 1 , V 3 ⟩ บาป⟨ วี 1 , โวลต์ 2 ⟩ - การปรากฏตัวครั้งที่สองของ 0.6 และ 0.8 เกิดขึ้นโดยบังเอิญขอบคุณ0.6 2 + 0.8 2 = 10.6 × 0.8 ∓ 0.6 × 0.8cos⟨ โวลต์1, v2⟩ cos⟨ โวลต์1, v3⟩ ∓ บาป⟨ โวลต์1, v3⟩ บาป⟨ โวลต์1, v2⟩0.62+0.82=1.