เป็นวิธีการที่ , พิกัดเชิงขั้วกระจายเมื่อและเมื่อ ?

ให้คาร์ทีเซียนพิกัดของจุดสุ่มจะเลือกเซนต์(-10,10)$x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

ดังนั้นรัศมีจะไม่กระจายอย่างสม่ำเสมอเป็นโดยนัย 's รูปแบบไฟล์ PDF$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

อย่างไรก็ตามฉันคาดว่าเกือบจะเหมือนกันยกเว้นสิ่งประดิษฐ์เนื่องจากมีของเหลือ 4 ชิ้นที่ขอบ:$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่คำนวณ grafically ของและ : $\theta$$\rho$

ตอนนี้ถ้าฉันปล่อยให้ถูกแจกจ่าย stจากนั้นดูเหมือนกระจายอย่างสม่ำเสมอ:x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

ทำไมไม่เหมือนกันเมื่อและเป็นชุดเมื่อ ?$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

รหัส Matlab ที่ฉันใช้:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

การแทนที่บรรทัดที่ 3: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);ด้วยr = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;จะเปลี่ยนการแจกแจงจากปกติเป็นสม่ำเสมอ$(x,y)$

คุณกำลังหมายถึงการเปลี่ยนแปลงจากคู่ของ variates อิสระเพื่อเป็นตัวแทนขั้วโลก( R , θ ) (รัศมีและมุม) แล้วมองไปที่การกระจายส่วนเพิ่มของθ$(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

ฉันจะให้คำอธิบายที่เข้าใจง่าย (แม้ว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของความหนาแน่นจะเป็นสิ่งที่ฉันอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ)

โปรดทราบว่าหากคุณปรับสเกลตัวแปรสองตัวคือ X และ Y ตามมาตราส่วนทั่วไปบางตัว (เช่นไปจาก U (-1,1) ถึง U (-10,10) หรือจาก N (0,1) ถึง N (0,20) ในตัวแปรทั้งสองในเวลาเดียวกัน) ที่ทำให้การกระจายตัวของมุมไม่แตกต่างกัน (มันมีผลต่อระดับการกระจายของรัศมีเท่านั้น) ลองพิจารณากรณีของหน่วย

ก่อนอื่นให้พิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นกับตัวเครื่องแบบ โปรดทราบว่าการแจกแจงนั้นมีความสม่ำเสมอเหนือหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังนั้นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในภูมิภาคที่อยู่ภายในจะเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของภูมิภาค โดยเฉพาะการดูที่ความหนาแน่นที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของมุม, d θใกล้แนวนอน (ภาพมุมใกล้θ = 0 ) และในแนวทแยง (มุมใกล้θ = π / 4 ):$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

เห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบความน่าจะเป็น (เช่นพื้นที่) ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของมุม ( d θ ) มีขนาดใหญ่ขึ้นเมื่อมุมนั้นอยู่ใกล้หนึ่งในแนวทแยงมุม พิจารณาการจารึกวงกลมภายในสี่เหลี่ยม พื้นที่ที่ถูกทอดด้วยมุมเล็ก ๆ ที่กำหนดไว้ในวงกลมนั้นคงที่จากนั้นส่วนนอกวงกลมจะเติบโตขึ้นเมื่อเราเข้าใกล้เส้นทแยงมุมโดยที่จุดสูงสุด$df_\theta$$d\theta$

นี่เป็นการอธิบายรูปแบบที่คุณเห็นในแบบจำลองทั้งหมด

อันที่จริงเราเห็นว่าความหนาแน่นต้องเป็นสัดส่วนกับความยาวของส่วนจากกึ่งกลางของจัตุรัสถึงขอบ ตรีโกณมิติอย่างง่ายเพียงพอที่จะได้รับความหนาแน่นจากตรงนั้นและจากนั้นก็หาค่าคงที่ที่ต้องการได้ง่ายเพื่อให้ความหนาแน่นรวมกับ 1

[แก้ไข: เพิ่มบิตถัดไปนี้เพื่อหารือเกี่ยวกับรัศมีเนื่องจากคำถามเปลี่ยนไปตั้งแต่คำตอบเดิมของฉัน]

โปรดทราบว่าถ้าเรามีการกระจายแบบสม่ำเสมอทั่ววงกลมหน่วย (เช่นอันที่เราจารึกไว้ในจตุรัสก่อนหน้านี้) ความหนาแน่นของรัศมีที่จะเป็นสัดส่วนกับรัศมี (พิจารณาพื้นที่ขององค์ประกอบวงแหวนขนาดเล็กที่มีความกว้างที่รัศมีr - คือระหว่างrและr + d r - มีพื้นที่สัดส่วนกับr ) จากนั้นในขณะที่เราผ่านนอกวงกลมภูมิภาควงแหวนใหม่ที่มีขนาดใหญ่รัศมีเพียง แต่ได้รับเงินสมทบจากความหนาแน่นมีส่วนร่วมในตารางเพื่อให้ความหนาแน่นลดลง (สมัยก่อนอย่างรวดเร็วจากนั้นช้ากว่า) ระหว่าง1และ$dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$ . (อีกครั้งแนวคิดทางเรขาคณิตที่เรียบง่ายพอเพียงที่จะได้รับรูปแบบการทำงานของความหนาแน่นถ้าจำเป็น)$\sqrt 2$

---

ในทางตรงกันข้ามถ้าการกระจายข้อต่อเป็นแบบสมมาตรแบบหมุนเกี่ยวกับต้นกำเนิดแล้วองค์ประกอบความน่าจะเป็นในบางมุมไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุม (นี่คือหลักการซ้ำซาก!) การกระจายตัวแบบไบวาเรียของสอง Gaussians มาตรฐานอิสระนั้นสมมาตรแบบหมุนได้เกี่ยวกับต้นกำเนิด:

(รหัสสำหรับภาพนี้ใช้รหัสของ Elan Cohen ที่นี่แต่มีทางเลือกที่ดี ที่นี่และบางสิ่งระหว่างสองสิ่งที่นี่ )

ดังนั้นปริมาณที่มีอยู่ในบางมุมจะเหมือนกันสำหรับทุกθดังนั้นความหนาแน่นที่เกี่ยวข้องกับมุมที่เป็นชุดบน[ 0 , 2 π )$d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[โดยทั่วไปแล้วเคล็ดลับเชิงขั้วจะใช้สำหรับการรวมความหนาแน่นปกติเหนือเส้นจริงสามารถนำมาใช้ในการหาว่าความหนาแน่นของรัศมีกำลังสองนั้นเป็นเลขชี้กำลังเป็นลบและจากนั้นความหนาแน่นของรัศมีนั้นง่ายต่อการจำแนก ฟังก์ชั่นการกระจาย]

ฉันจะตอบคำถามเกี่ยวกับกรณีปกติที่นำไปสู่การแจกแจงแบบเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าและYเป็นอิสระและกระจายตามปกติรูปทรงของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคงที่คือวงกลมในระนาบx - y รัศมีR = $X$$Y$$x-y$มีการกระจาย Rayleigh สำหรับการอภิปรายที่ดีของบทความวิกิพีเดียเรื่องการแจกแจง Rayleigh$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

ตอนนี้ให้เราดูตัวแปรสุ่มและYโดยใช้พิกัดเชิงขั้ว$X$$Y$

, Y = R บาป( θ ) ทราบว่า X 2 + Y 2 = R 2 ถ้า θเป็นชุดที่ ( 0 , 2 π )และ rมีการแจกแจงแบบ Rayleigh Xและ Yจะเป็นบรรทัดฐานอิสระแต่ละค่าด้วย 0หมายถึงและความแปรปรวนทั่วไป การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หลักฐานของการสนทนาคือสิ่งที่ฉันคิดว่า OP ต้องการเป็นคำตอบสำหรับส่วนที่สองของคำถาม$X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

นี่คือภาพร่างหลักฐาน เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ากระจายN ( 0 , 1 )และYกระจายN ( 0 , 1 )และเป็นอิสระจากกัน$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

แล้วความหนาแน่นร่วม ] ใช้การเปลี่ยนแปลงพิกัดขั้วโลกที่จะได้รับกรัม( R , θ ) ตั้งแต่x = R บาป( θ )และY = r cos ( θ ) ดังนั้น$f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$และθ=arctan(x/Y) คำนวณจาโคเบียนของการเปลี่ยนแปลงและทำให้การเปลี่ยนตัวผู้เล่นที่เหมาะสมลงในF(x,Y) เป็นผลกรัม(R,θ)จะเป็นRประสบการณ์[(-R2)/(2π)]สำหรับR≥0และ0≤θ$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$ π นี้แสดงให้เห็นว่า Rและทีมีความเป็นอิสระกับ Rที่มีการกระจายเรย์ลีและทีมีความหนาแน่นอย่างต่อเนื่อง 1 / ( 2 π )$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$$1/(2 \pi)$

$\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$$1 \over 4$$0$$1 \over 4$

ภูมิภาคที่น่าสนใจสำหรับคำถามของเราคือภาคสีแดงในภาพวาดนี้:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$$ (we neglect higher powers of $d\theta$ and use $\sin d \theta= d\theta$).

Thus the density of $\theta$ is

$${1\over 8 \cos^2 \theta}$$ for $\theta$ in $\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$, and is $\pi\over 2$ periodic.

Verification:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )