การกระจายข้อผิดพลาดรอบ ๆ ข้อมูลการเติบโตของโลจิสติกคืออะไร

ในระบบนิเวศน์เรามักใช้สมการการเติบโตโลจิสติกส์:

หรือ

ที่ไหน $K$ คือขีดความสามารถในการบรรทุก (ถึงความหนาแน่นสูงสุด) $N_0$ คือความหนาแน่นเริ่มต้น $r$ คืออัตราการเติบโต $t$ เป็นเวลาตั้งแต่เริ่มต้น

คุณค่าของ $N_t$ มีขอบบนที่อ่อนนุ่ม $(K)$ และขอบเขตที่ต่ำกว่า $(N_0)$มีขอบเขตล่างที่แข็งแกร่งที่ $0$.

นอกจากนี้ในบริบทเฉพาะของฉันการวัดของ $N_t$ จะทำโดยใช้ความหนาแน่นของแสงหรือการเรืองแสงซึ่งทั้งสองมีทฤษฎีสูงสุดและทำให้ขอบเขตที่แข็งแกร่ง

ข้อผิดพลาดรอบ ๆ $N_t$ ดังนั้นจึงอาจอธิบายได้ดีที่สุดโดยการแจกแจงแบบมีขอบเขต

ที่ค่าน้อย $N_t$การกระจายอาจมีความเบ้เป็นบวกอย่างมากขณะที่ค่าของ $N_t$เมื่อเข้าหา K การกระจายอาจมีความเบ้เชิงลบอย่างมาก การกระจายจึงอาจมีพารามิเตอร์รูปร่างที่สามารถเชื่อมโยงกับ$N_t$.

ความแปรปรวนอาจเพิ่มขึ้นด้วย $N_t$.

นี่คือตัวอย่างกราฟิก

กับ

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

ซึ่งสามารถผลิตใน r กับ

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• สิ่งที่จะเป็นการกระจายข้อผิดพลาดทางทฤษฎีรอบ ๆ $N_t$ (ในการพิจารณาทั้งรูปแบบและข้อมูลเชิงประจักษ์ที่ให้ไว้)?

• พารามิเตอร์ของการแจกแจงนี้สัมพันธ์กับค่าของวิธีการอย่างไร $N_t$ หรือเวลา (หากใช้พารามิเตอร์เป็นโหมดไม่สามารถเชื่อมโยงโดยตรงกับ $N_t$เช่น. logis ปกติ)?

• การกระจายนี้มีฟังก์ชันความหนาแน่นที่ใช้งานหรือไม่ $R$?

เส้นทางที่สำรวจจนถึงปัจจุบัน:

• สมมติว่าเป็นเรื่องธรรมดา $N_t$ นำไปสู่การประเมินโดยประมาณของ $K$)
• Logit การกระจายปกติรอบ ๆ $N_t/max$แต่ยากในพารามิเตอร์รูปร่างที่เหมาะสมอัลฟ่าและเบต้า
• การกระจายปกติรอบตรรกะของ $N_t/max$

ดังที่ Michael Chernick ชี้ให้เห็นว่าการกระจายเบต้าที่ปรับขนาดนั้นเหมาะสมที่สุดสำหรับเรื่องนี้ อย่างไรก็ตามสำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติทั้งหมดและคาดหวังว่าคุณจะไม่เคยรับโมเดลอย่างถูกต้องคุณจะดีกว่าเพียงสร้างแบบจำลองค่าเฉลี่ยผ่านการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นตามสมการการเติบโตโลจิสติกของคุณและรวมสิ่งนี้กับข้อผิดพลาดมาตรฐานที่แข็งแกร่งต่อ heteroskedasticity การนำสิ่งนี้ไปสู่บริบทความน่าจะเป็นสูงสุดจะสร้างความรู้สึกผิด ๆ ที่แม่นยำอย่างยิ่ง หากทฤษฎีนิเวศวิทยาจะก่อให้เกิดการกระจายคุณควรจะเหมาะสมกับการกระจาย หากทฤษฏีของคุณสร้างการทำนายค่าเฉลี่ยคุณควรยึดติดกับการตีความนี้และอย่าพยายามคิดอะไรมากไปกว่านี้เช่นการกระจายแบบเต็ม ๆ (ระบบของเส้นโค้งเพียร์สันนั้นแฟนซีแน่นอนเมื่อ 100 ปีก่อน แต่กระบวนการสุ่มไม่ปฏิบัติตามสมการเชิงอนุพันธ์เพื่อสร้างเส้นโค้งความหนาแน่นซึ่งเป็นแรงจูงใจของเขากับเส้นโค้งความหนาแน่นเหล่านี้ -$N_t$ตัวเอง - ฉันคิดว่าการกระจาย Poisson เป็นตัวอย่าง - และฉันไม่แน่ใจว่าเอฟเฟกต์นี้จะถูกจับโดยการกระจายเบต้า ในทางตรงกันข้ามมันจะถูกบีบอัดในขณะที่คุณดึงค่าเฉลี่ยไปสู่ขอบเขตบนทางทฤษฎีซึ่งคุณอาจต้องทำ หากอุปกรณ์การวัดของคุณมีขอบเขตสูงสุดของการวัดก็ไม่ได้หมายความว่ากระบวนการจริงของคุณจะต้องมีขอบเขตบน; ฉันอยากจะบอกว่าข้อผิดพลาดในการวัดที่อุปกรณ์ของคุณแนะนำนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งเนื่องจากกระบวนการนั้นมาถึงขอบเขตบนของการวัดที่แม่นยำ หากคุณสับสนการวัดด้วยกระบวนการที่อยู่ข้างใต้คุณควรรับรู้อย่างชัดเจน แต่ฉันคิดว่าคุณมีความสนใจในกระบวนการมากกว่าการอธิบายวิธีการทำงานของอุปกรณ์ของคุณ (กระบวนการนี้จะมีอีก 10 ปีจากนี้อุปกรณ์การวัดใหม่อาจพร้อมใช้งานดังนั้นงานของคุณจะล้าสมัย)

@whuber ถูกต้องว่าไม่มีความสัมพันธ์ที่จำเป็นของส่วนโครงสร้างของรุ่นนี้กับการกระจายของข้อผิดพลาด ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบสำหรับคำถามของคุณสำหรับการแจกแจงความผิดพลาดเชิงทฤษฎี

นี่ไม่ได้หมายความว่ามันไม่ใช่คำถามที่ดี - เพียงแค่คำตอบนั้นจะต้องเป็นเชิงประจักษ์

ดูเหมือนว่าคุณจะสมมติว่าการสุ่มนั้นเป็นการเติมแต่ง ฉันไม่เห็นเหตุผล (นอกเหนือจากความสะดวกในการคำนวณ) สำหรับกรณีนี้ เป็นอีกทางเลือกหนึ่งที่มีองค์ประกอบแบบสุ่มที่อื่นในโมเดลหรือไม่ ตัวอย่างเช่นดูสิ่งต่อไปนี้ที่มีการแนะนำการสุ่มในรูปแบบการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 1 ให้แปรปรวนสิ่งเดียวที่จะประเมิน ฉันไม่มีเหตุผลที่จะคิดว่านี่เป็นสิ่งที่ถูกต้องที่จะทำนอกเหนือจากที่ให้ผลลัพธ์ที่น่าเชื่อถือซึ่งดูเหมือนจะตรงกับสิ่งที่คุณต้องการเห็น ไม่ว่าจะเป็นจริงหรือไม่ที่จะใช้บางสิ่งเช่นนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการประเมินแบบจำลองที่ฉันไม่รู้

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))