สร้างคะแนนอย่างมีประสิทธิภาพระหว่างหน่วยวงกลมและหน่วยสี่เหลี่ยม

ฉันต้องการสร้างตัวอย่างจากขอบเขตสีฟ้าที่กำหนดไว้ที่นี่:

โซลูชันไร้เดียงสาคือใช้การสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธในหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ให้ประสิทธิภาพเพียง (~ 21.4%)$1-\pi/4$

มีวิธีที่ฉันสามารถตัวอย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น?

จะมีคะแนนสองล้านคะแนนต่อวินาทีหรือไม่

การกระจายนั้นสมมาตร: เราแค่หาผลการกระจายสำหรับหนึ่งในแปดของวงกลมเต็มแล้วคัดลอกมันไปรอบ ๆ octants อื่น ในพิกัดเชิงขั้ว , การแจกแจงแบบสะสมของมุมΘสำหรับตำแหน่งสุ่ม( X , Y )ที่ค่าθนั้นได้รับจากพื้นที่ระหว่างสามเหลี่ยม( $(r,\theta)$$\Theta$$(X,Y)$$\theta$และส่วนโค้งของวงกลมที่ขยายจาก$(0,0), (1,0), (1,\tan\theta)$เพื่อ ( cos θ , บาปθ ) ดังนั้นจึงเป็นสัดส่วนกับ$(1,0)$$(\cos\theta,\sin\theta)$

$$F_\Theta(\theta) = \Pr(\Theta \le \theta) \propto \frac{1}{2}\tan(\theta) - \frac{\theta}{2},$$

ความหนาแน่นของมันมาจากไหน

$$f_\Theta(\theta) = \frac{d}{d\theta} F_\Theta(\theta) \propto \tan^2(\theta).$$

เราอาจสุ่มตัวอย่างจากความหนาแน่นนี้โดยใช้วิธีการปฏิเสธ (ซึ่งมีประสิทธิภาพ )$8/\pi-2 \approx 54.6479\%$

ความหนาแน่นของเงื่อนไขของการประสานงานในแนวรัศมีเป็นสัดส่วนกับR d Rระหว่างR = 1และR = วินาที θ ที่สามารถเก็บตัวอย่างได้ด้วยการกลับกันอย่างง่ายของ CDF$R$$rdr$$r=1$$r=\sec\theta$

หากเราสร้างตัวอย่างอิสระให้แปลงกลับเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน( x i , y i )ตัวอย่าง octant นี้ เนื่องจากตัวอย่างมีความเป็นอิสระการสลับพิกัดแบบสุ่มจะสร้างตัวอย่างแบบสุ่มที่เป็นอิสระจากจตุภาคแรกตามที่ต้องการ (การสลับแบบสุ่มต้องสร้างตัวแปร Binomial เพียงตัวเดียวเพื่อกำหนดจำนวนการรับรู้ที่จะแลกเปลี่ยน)$(r_i,\theta_i)$$(x_i,y_i)$

การตระหนักถึงแต่ละอย่างของต้องการค่าเฉลี่ย, ตัวแปรหนึ่งชุด (สำหรับR ) บวก1 / ( 8 π - 2 )คูณสองชุดเครื่องแบบ (สำหรับΘ ) และการคำนวณจำนวนเล็กน้อย (เร็ว) นั่นคือ4 / ( π - 4 ) ≈ 4.66ตัวแปรต่อจุด (ซึ่งแน่นอนว่ามีสองพิกัด) รายละเอียดทั้งหมดอยู่ในตัวอย่างโค้ดด้านล่าง ตัวเลขนี้คิดเป็น 10,000 จากคะแนนมากกว่าครึ่งล้านที่สร้างขึ้น$(X,Y)$$R$$1/(8\pi-2)$$\Theta$$4/(\pi-4) \approx 4.66$

นี่คือRรหัสที่สร้างการจำลองนี้และหมดเวลา

n.sim <- 1e6
x.time <- system.time({
  # Generate trial angles `theta`
  theta <- sqrt(runif(n.sim)) * pi/4
  # Rejection step.
  theta <- theta[runif(n.sim) * 4 * theta <= pi * tan(theta)^2]
  # Generate radial coordinates `r`.
  n <- length(theta)
  r <- sqrt(1 + runif(n) * tan(theta)^2)
  # Convert to Cartesian coordinates.
  # (The products will generate a full circle)
  x <- r * cos(theta) #* c(1,1,-1,-1)
  y <- r * sin(theta) #* c(1,-1,1,-1)
  # Swap approximately half the coordinates.
  k <- rbinom(1, n, 1/2)
  if (k > 0) {
    z <- y[1:k]
    y[1:k] <- x[1:k]
    x[1:k] <- z
  }
})
message(signif(x.time[3] * 1e6/n, 2), " seconds per million points.")
#
# Plot the result to confirm.
#
plot(c(0,1), c(0,1), type="n", bty="n", asp=1, xlab="x", ylab="y")
rect(-1, -1, 1, 1, col="White", border="#00000040")
m <- sample.int(n, min(n, 1e4))
points(x[m],y[m], pch=19, cex=1/2, col="#0000e010")

ฉันเสนอวิธีแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ซึ่งควรจะง่ายกว่ามีประสิทธิภาพมากกว่าและ / หรือคำนวณได้ถูกกว่า soution อื่น ๆ โดย @cardinal, @whuber และ @ stephan-kolassa

มันเกี่ยวข้องกับขั้นตอนง่าย ๆ ดังต่อไปนี้:

1) วาดตัวอย่างมาตรฐานสองตัวอย่าง:

$$u_1 \sim Unif(0,1)\\ u_2 \sim Unif(0,1).$$

2a) ใช้การแปลงแรงเฉือนต่อไปนี้กับจุด (คะแนนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขวาล่างจะสะท้อนกับสามเหลี่ยมซ้ายบนและจะเป็น "ไม่สะท้อน" ใน 2b): [ x y ] = [ 1 1 ] + $\min\{u_1,u_2\}, \max\{u_1,u_2\}$

$$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -1\\ \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 & 0\\ \end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} \min\{u_1,u_2\}\\ \max\{u_1,u_2\}\\ \end{bmatrix}.$$

2b) สลับและyถ้าคุณ1 > u $x$$y$$u_1 > u_2$ 2

3) ปฏิเสธตัวอย่างถ้าภายในวงกลมหน่วย (การยอมรับควรอยู่ที่ประมาณ 72%) เช่น:

$$x^2 + y^2 < 1.$$

สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังอัลกอริทึมนี้จะแสดงในรูป

ขั้นตอน 2a และ 2b สามารถรวมกันเป็นขั้นตอนเดียว:

2) ใช้การแปลงแรงเฉือนและสลับ

$$x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \min(u_1, u_2) - u_2\\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \min(u_1, u_2) - u_1$$

รหัสต่อไปนี้ใช้อัลกอริทึมด้านบน (และทดสอบโดยใช้รหัส @ Whuber)

n.sim <- 1e6
x.time <- system.time({
    # Draw two standard uniform samples
    u_1 <- runif(n.sim)
    u_2 <- runif(n.sim)
    # Apply shear transformation and swap
    tmp <- 1 + sqrt(2)/2 * pmin(u_1, u_2)
    x <- tmp - u_2
    y <- tmp - u_1
    # Reject if inside circle
    accept <- x^2 + y^2 > 1
    x <- x[accept]
    y <- y[accept]
    n <- length(x)
})
message(signif(x.time[3] * 1e6/n, 2), " seconds per million points.")
#
# Plot the result to confirm.
#
plot(c(0,1), c(0,1), type="n", bty="n", asp=1, xlab="x", ylab="y")
rect(-1, -1, 1, 1, col="White", border="#00000040")
m <- sample.int(n, min(n, 1e4))
points(x[m],y[m], pch=19, cex=1/2, col="#0000e010")

การทดสอบอย่างรวดเร็วบางอย่างให้ผลลัพธ์ต่อไปนี้

อัลกอริทึม/stats//a/258349 ดีที่สุด 3: 0.33 วินาทีต่อล้านคะแนน

อัลกอริทึมนี้ ดีที่สุด 3: 0.18 วินาทีต่อล้านคะแนน

ดีมีประสิทธิภาพมากขึ้นสามารถทำได้ แต่ผมหวังว่าคุณจะไม่ได้มองหาได้เร็วขึ้น

$x$$x$

$$f(x) = 1-\sqrt{1-x^2}.$$

Wolfram ช่วยให้คุณสามารถรวม :

$$\int_0^x f(y)dy = -\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+x-\frac{1}{2}\arcsin x.$$

$F$$\int_0^1 f(y)dy$ )

$x$$t$$0$$1$$x$เช่นนั้น$F(x)=t$. นั่นคือเราต้องคว่ำ CDF ( การสุ่มตัวอย่างการแปลงผกผัน ) สิ่งนี้สามารถทำได้ แต่ไม่ใช่เรื่องง่าย ไม่เร็ว

ในที่สุดได้รับ $x$เลือกสุ่ม $y$ ที่กระจายอย่างสม่ำเสมอระหว่าง $\sqrt{1-x^2}$ และ $1$.

ด้านล่างคือรหัส R โปรดทราบว่าฉันกำลังประเมิน CDF ล่วงหน้าที่กริดของ$x$ ค่าและแม้กระทั่งนี้ใช้เวลาไม่กี่นาที

คุณสามารถเพิ่มความเร็วในการผกผันของ CDF ได้เล็กน้อยหากคุณลงทุน จากนั้นอีกครั้งคิดเจ็บ ผมเองจะไปสำหรับการสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธซึ่งจะเร็วและไกลผิดพลาดได้ง่ายเว้นแต่ผมมีน้อยมากเหตุผลที่ดีที่จะไม่

epsilon <- 1e-6
xx <- seq(0,1,by=epsilon)
x.cdf <- function(x) x-(x*sqrt(1-x^2)+asin(x))/2
xx.cdf <- x.cdf(xx)/x.cdf(1)

nn <- 1e4
rr <- matrix(nrow=nn,ncol=2)
set.seed(1)
pb <- winProgressBar(max=nn)
for ( ii in 1:nn ) {
    setWinProgressBar(pb,ii,paste(ii,"of",nn))
    x <- max(xx[xx.cdf<runif(1)])
    y <- runif(1,sqrt(1-x^2),1)
    rr[ii,] <- c(x,y)
}
close(pb)

plot(rr,pch=19,cex=.3,xlab="",ylab="")