ทำไม P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)

ผมเข้าใจ$P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ ) เงื่อนไขคือจุดตัดของ A และ B หารด้วยพื้นที่ทั้งหมดของ B

แต่ทำไม$P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

คุณให้ปรีชาได้ไหม

ไม่ควรจะเป็น: $P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$ ?

ผลลัพธ์ความน่าจะเป็นใด ๆ ที่เป็นจริงสำหรับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขยังคงเป็นจริงหากทุกอย่างมีเงื่อนไขในบางเหตุการณ์

คุณรู้ว่าตามคำนิยาม และดังนั้นหากเราเงื่อนไขทุกอย่างบนCมีเกิดขึ้นที่เราได้รับที่ P(|(B∩C))=P((∩B)|C

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ ตรงตามสัญชาติญาณของคุณบอกคุณ แต่คุณสามารถตั้งค่าD=B∩C และเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของP(A∣(B∩C))=P(A∣D)เช่นเดียวกับใน(1)P(A∣(B∩C))=P(A∣D)=A $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ จากนั้นคูณและหารด้วยP(C))ทางด้านขวาของ(3)เพื่อเขียนผลลัพธ์สุดท้ายเป็น(2)เหมือนกับคำตอบของเทย์เลอร์ $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

สัญชาตญาณของฉันคือต่อไปนี้ ...

ปรับอากาศบน $C$ หมายความว่าเรากำลังพิจารณาเฉพาะกรณีเมื่อ $C$ได้รับ ทีนี้สมมติว่าฉันอยู่ในโลกที่$C$ จะได้รับเสมอ

พลับพลาของฉันไม่รู้อะไรเลยและไม่สามารถจินตนาการถึงโลกภายนอกได้ $C$. ด้วยเหตุผลบางอย่างนักคณิตศาสตร์ของเราแสดงถึงความน่าจะเป็น$X$ โดย $\hat{P}(X)$. พวกเขายังค้นพบกฎแล้ว

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

Now, you as an Earthling, know a world where $C$ is not part of the assumptions in everyday life. So, when you come to our planet you can immediately notice, that every our probability $\hat P(X)$ actually correspond to your $P(X|C)$.

You are immediately able to rewrite the RHS, following the upper discovery:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

But ... What is the LHS? Well, what is the probability of $A$ when $B$ is given when $C$ is (also) given? Precisely

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ hence the formula.