ข้อผิดพลาดของคอมพิวเตอร์มาตรฐานในการประมาณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

สมมติว่าและจะวาดแต่ละIIDจากการกระจายบางกับอิสระจากx_iเป็นบวกอย่างเคร่งครัด คุณสังเกตเห็นทั้งหมดแต่ไม่ใช่ ; มากกว่าที่คุณสังเกตw_i ฉันสนใจที่จะประมาณจากข้อมูลนี้ เห็นได้ชัดว่าตัวประมาณ นั้นไม่เอนเอียงและสามารถคำนวณได้เมื่อมีข้อมูลอยู่ในมือ $w_1,w_2,\ldots,w_n$ $x_1,x_2,...,x_n$ $w_i$ $x_i$ $w_i$ $w_i$ $x_i$ $\sum_i x_i w_i$ $\operatorname{E}\left[x\right]$

\bar{x} = \frac{\sum_{i} w_{i} x_{i}}{\sum_{i} w_{i}}

$\bar{x} = \frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i}$

ฉันจะคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานของตัวประมาณนี้ได้อย่างไร สำหรับกรณีย่อยที่ $x_i$ ใช้เฉพาะค่า 0 และ 1 ฉันลองใช้

s e \approx \frac{\sqrt{\bar{x} (1 - \bar{x}) \sum_{i} w_{i}^{2}}}{\sum_{i} w_{i}},

$se \approx \frac{\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x})\sum_i w_i^2}}{\sum_i w_i},$ โดยทั่วไปไม่สนใจความแปรปรวนใน

w_{i}

$w_i$ แต่พบว่าสิ่งนี้ทำงานได้ไม่ดีสำหรับขนาดตัวอย่างที่เล็กกว่าประมาณ 250 (และอาจขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของ

w_{i}

$w_i$ ) ดูเหมือนว่าฉันอาจไม่มีข้อมูลเพียงพอที่จะ คำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐาน 'ดีกว่า'

standard-error weighted-mean

— shabbychef
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ฉันวิ่งเข้าไปในปัญหาเดียวกันเมื่อเร็ว ๆ นี้ ต่อไปนี้เป็นสิ่งที่ฉันพบ:

ซึ่งแตกต่างจากตัวอย่างแบบสุ่มอย่างง่ายที่มีน้ำหนักเท่ากันไม่มีคำจำกัดความที่เป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก วันนี้มันจะตรงไปข้างหน้าเพื่อทำ bootstrap และรับการกระจายเชิงประจักษ์ของค่าเฉลี่ยและขึ้นอยู่กับที่ประมาณการข้อผิดพลาดมาตรฐาน

ถ้าหากใครต้องการใช้สูตรในการประมาณค่านี้

อ้างอิงหลักคือกระดาษนี้โดยโดนัลด์เอฟ Gatz และลูเทอร์สมิ ธ ที่ประมาณ 3 ตามสูตรจะถูกเมื่อเทียบกับผลการบูต การประมาณค่าผลลัพธ์ bootstrap ที่ดีที่สุดมาจาก Cochran (1977):

$(SEM_w)^2={\dfrac{n}{(n-1)(\sum {P_i})^2}}[\sum (P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)^2-2 \bar{X}_w \sum (P_i-\bar{P})(P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)+\bar{X}^2_w \sum (P_i-\bar{P})^2]$

ต่อไปนี้เป็นรหัส R ที่สอดคล้องกันที่มาจากกระทู้ R รายการนี้

weighted.var.se <- function(x, w, na.rm=FALSE)
#  Computes the variance of a weighted mean following Cochran 1977 definition
{
  if (na.rm) { w <- w[i <- !is.na(x)]; x <- x[i] }
  n = length(w)
  xWbar = weighted.mean(x,w,na.rm=na.rm)
  wbar = mean(w)
  out = n/((n-1)*sum(w)^2)*(sum((w*x-wbar*xWbar)^2)-2*xWbar*sum((w-wbar)*(w*x-wbar*xWbar))+xWbar^2*sum((w-wbar)^2))
  return(out)
}

หวังว่านี่จะช่วยได้!

— หมิงเค
แหล่งที่มา

P_{i} X_{i}

$P_iX_i$

\sum_{i} P_{i} X_{i}

$\sum_i P_iX_i$

w_{i}

$w_i$

n

$n$

@ Ming-ChihKao สูตร cochran นี้น่าสนใจ แต่ถ้าคุณสร้างช่วงความมั่นใจออกเมื่อข้อมูลไม่ปกติไม่มีการตีความที่สอดคล้องกันถูกต้องหรือไม่ คุณจะจัดการค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่ไม่ปกติหมายความว่าช่วงความมั่นใจอย่างไร quantile ถ่วงน้ำหนัก?

— 3022875

ฉันคิดว่ามีข้อผิดพลาดกับฟังก์ชั่น หากคุณแทนw=rep(1, length(x))แล้วเป็นเรื่องเกี่ยวกับweighted.var.se(rnorm(50), rep(1, 50)) 0.014ผมคิดว่าสูตรที่ขาดหายไปsum(w^2)ในเศษตั้งแต่เมื่อความแปรปรวนคือP=1 1/(n*(n-1)) * sum((x-xbar)^2)ฉันไม่สามารถตรวจสอบบทความที่อ้างถึงได้เนื่องจากอยู่ด้านหลัง paywall แต่ฉันคิดว่าการแก้ไขนั้น ผิดปกติพอวิกิพีเดีย (แตกต่างกัน) วิธีการแก้ปัญหาจะกลายเป็นคนเลวเมื่อน้ำหนักเท่ากันทั้งหมด: en.wikipedia.org/wiki/...

— Max Candocia

เหล่านี้อาจทำงานได้ดีขึ้นโดยทั่วไป: analyticalgroup.com/download/WEIGHTED_MEAN.pdf

— แม็กซ์ Candocia

$w_i$

\frac{\sum w_{i}^{2} V a r (X)}{(\sum w_{i})^{2}} = V a r (X) \frac{\sum w_{i}^{2}}{(\sum w_{i})^{2}} .

$\frac{\sum w_i^2 Var(X)}{(\sum w_i)^2} = Var(X) \frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}.$

w_{i}

$w_i$

V a r (X) E (\frac{\sum w_{i}^{2}}{(\sum w_{i})^{2}})

$Var(X) \mathbb{E}\left(\frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}\right)$

X_{i}

$X_i$

V a r (X)

$Var(X)$

— แขก
แหล่งที่มา

x_{i}

$x_i$

x

$x$

\bar{x} (1 - \bar{x})

$\bar{x}(1-\bar{x})$