วิธีการดำเนินการแปลงภาพอัตราส่วนภาพสามมิติ

ฉันมีข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมการเคลื่อนไหว (เวลาที่ใช้ในการนอนหลับอยู่ประจำที่และทำกิจกรรมทางกาย) ซึ่งมีจำนวนถึง 24 (เช่นในชั่วโมงต่อวัน) ฉันต้องการสร้างตัวแปรที่ใช้เวลาสัมพัทธ์ที่ใช้ในพฤติกรรมเหล่านี้ - ฉันได้รับแจ้งว่าการเปลี่ยนแปลงอัตราส่วนการบันทึกภาพสามมิติจะทำให้สิ่งนี้สำเร็จ

ดูเหมือนว่าฉันควรใช้ฟังก์ชั่น ilr ใน R แต่ไม่สามารถหาตัวอย่างที่แท้จริงด้วยรหัสได้ ฉันจะเริ่มที่ไหน

ตัวแปรที่ฉันมีคือเวลานอนหลับเวลานั่งนิ่งเฉลี่ยกิจกรรมออกกำลังกายเบา ๆ โดยเฉลี่ยกิจกรรมออกกำลังกายปานกลางปานกลางและออกกำลังกายแข็งแรงโดยเฉลี่ย รายงานการนอนหลับด้วยตนเองในขณะที่คนอื่น ๆ เป็นค่าเฉลี่ยจากวันที่ถูกต้องของข้อมูล accelerometer ดังนั้นสำหรับตัวแปรเหล่านี้เคสจะไม่รวมเท่ากับ 24

ฉันเดาว่าฉันทำงานใน SAS แต่ดูเหมือนว่า R จะใช้งานได้ง่ายกว่าสำหรับส่วนนี้ ดังนั้นการนำเข้าข้อมูลก่อนโดยมีเพียงตัวแปรที่น่าสนใจ จากนั้นใช้ฟังก์ชั่น acomp () จากนั้นฉันไม่สามารถหาไวยากรณ์สำหรับฟังก์ชัน ilr () ได้ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชมมาก

การแปลง ILR (Isometric Log-Ratio) ใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลองค์ประกอบ การสังเกตใด ๆ คือชุดของค่าบวกที่รวมเข้ากับความสามัคคีเช่นสัดส่วนของสารเคมีในส่วนผสมหรือสัดส่วนของเวลาทั้งหมดที่ใช้ไปในกิจกรรมต่าง ๆ sum-to-unity ไม่เปลี่ยนแปลงหมายความว่าแม้ว่าอาจมีองค์ประกอบ$k\ge 2$สำหรับการสังเกตแต่ละครั้ง แต่ก็มีเพียงค่า$k-1$เป็นอิสระตามหน้าที่ (เรขาคณิตการสังเกตอยู่บน$k-1$มิติมิติใน$k$มิติปริภูมิแบบยุคลิด$\mathbb{R}^k$. ธรรมชาติอย่างง่าย ๆ นี้มีให้เห็นในรูปสามเหลี่ยมของแผนการกระจายของข้อมูลจำลองที่แสดงด้านล่าง)

โดยทั่วไปแล้วการแจกแจงของส่วนประกอบจะกลายเป็น "nicer" เมื่อมีการแปลงไฟล์บันทึก การแปลงนี้สามารถปรับขนาดได้โดยการหารค่าทั้งหมดในการสังเกตด้วยค่าเฉลี่ยเรขาคณิตก่อนบันทึก (เท่ากับบันทึกของข้อมูลในการสังเกตใด ๆ จะถูกจัดกึ่งกลางโดยการลบค่าเฉลี่ย) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อการแปลง "อัตรากึ่งกลางบันทึก" หรือ CLR ค่าผลลัพธ์ยังคงอยู่ภายในไฮเปอร์เพลนใน$\mathbb{R}^k$เนื่องจากการขยายทำให้การรวมของบันทึกเป็นศูนย์ ILR ประกอบด้วยการเลือกพื้นฐานแบบดั้งเดิมใด ๆ สำหรับไฮเปอร์เพลนนี้: พิกัด$k-1$ของการสังเกตแต่ละครั้งที่เปลี่ยนรูปกลายเป็นข้อมูลใหม่ เท่าไฮเปอร์เพลหมุน (หรือสะท้อน) ให้ตรงกับเครื่องบินหายไปกับ$k^\text{th}$ประสานงานและเป็นหนึ่งในการใช้งานครั้งแรก$k-1$พิกัด (เพราะการหมุนและการสะท้อนรักษาระยะห่างพวกเขาจะisometriesดังนั้นชื่อของขั้นตอนนี้.)

Tsagris, Preston และ Wood กล่าวว่า "ตัวเลือกมาตรฐานของ [เมทริกซ์การหมุน] $H$คือเมทริกซ์ย่อยของ Helmert ที่ได้จากการเอาแถวแรกออกจากเมทริกซ์ Helmert"

เมทริกซ์คำสั่ง Helmert ของ$k$ถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่เรียบง่าย (ดูตัวอย่าง Harville p. 86) แถวแรกของมันคือ$1$วินาที แถวถัดไปเป็นหนึ่งในที่ง่ายที่สุดที่สามารถทำฉากกับแถวแรกคือ$(1, -1, 0, \ldots, 0)$ ) แถว$j$เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดที่มีมุมฉากกับแถวก่อนหน้าทั้งหมด: รายการแรกของ$j-1$คือ$1$วินาที, ซึ่งรับประกันได้ว่าเป็นมุมฉากกับแถว$2, 3, \ldots, j-1$และของ$j^\text{th}$รายการถูกตั้งไว้ที่$1-j$ที่จะทำให้มันตั้งฉากกับแถวแรก (นั่นคือรายการที่จะต้องรวมศูนย์) แถวทั้งหมดจะถูกลดขนาดเป็นความยาวหน่วย

ที่นี่เพื่อแสดงให้เห็นถึงรูปแบบเป็นเมทริกซ์เฮลเมอร์$4\times 4$ก่อนที่จะลดแถว:

(แก้ไขเพิ่มสิงหาคม 2017) แง่มุมที่ดีอย่างหนึ่งของ "ความแตกต่าง" เหล่านี้ (ซึ่งอ่านทีละแถว) คือความสามารถในการตีความ แถวแรกถูกลบทิ้งเหลือ$k-1$แถวที่เหลือเพื่อแสดงข้อมูล แถวที่สองเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างระหว่างตัวแปรที่สองและที่หนึ่ง แถวที่สามเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างระหว่างตัวแปรที่สามและสองคนแรก โดยทั่วไปแถว$j$ ( $2\le j \le k$ ) สะท้อนความแตกต่างระหว่างตัวแปร$j$และสิ่งที่อยู่ข้างหน้าตัวแปร$1, 2, \ldots, j-1$. สิ่งนี้ทำให้ตัวแปรแรก$j=1$เป็น "ฐาน" สำหรับความต่างทั้งหมด ฉันพบว่าการตีความเหล่านี้มีประโยชน์เมื่อติดตาม ILR โดยการวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก (PCA): ช่วยให้การตีความการโหลดอย่างน้อยคร่าว ๆ ในแง่ของการเปรียบเทียบระหว่างตัวแปรดั้งเดิม ฉันได้แทรกบรรทัดลงในการRใช้งานilrด้านล่างซึ่งให้ชื่อตัวแปรที่เหมาะสมกับเอาต์พุตเพื่อช่วยในการตีความนี้ (สิ้นสุดการแก้ไข)

เนื่องจากRมีฟังก์ชั่นcontr.helmertในการสร้างเมทริกซ์ดังกล่าว (แม้ว่าจะไม่มีการปรับสเกลและด้วยแถวและคอลัมน์ที่ถูกทำให้เป็นโมฆะและถ่ายโอน) คุณไม่จำเป็นต้องเขียนโค้ด (ง่าย) เพื่อทำเช่นนั้น เมื่อใช้สิ่งนี้ฉันได้ใช้ ILR (ดูด้านล่าง) ในการออกกำลังกายและทดสอบฉันสร้างการดึงอิสระ$1000$ครั้งจากการแจกแจง Dirichlet (ด้วยพารามิเตอร์$1,2,3,4$ ) และวางแผนตารางเมทริกซ์สแคตเตอร์ นี่$k=4$ 4

จุดทั้งหมดอยู่ใกล้กับมุมซ้ายล่างและเติมแพตช์สามเหลี่ยมของพื้นที่การพล็อตตามลักษณะของข้อมูลประกอบ

ILR ของพวกเขามีเพียงสามตัวแปร, พล็อตเป็นเมทริกซ์กระจายอีกครั้ง:

สิ่งนี้จะดูดีกว่า: scatterplots ได้รับรูปร่าง "รูปวงรีเมฆ" ที่มีลักษณะเฉพาะมากขึ้นตอบสนองต่อการวิเคราะห์อันดับสองได้ดีขึ้นเช่นการถดถอยเชิงเส้นและ PCA

Tsagris และคณะ พูดคุยเรื่อง CLR โดยใช้การแปลง Box-Cox ซึ่งสรุปลอการิทึม (บันทึกคือการแปลง Box-Cox พร้อมพารามิเตอร์$0$ ) มันมีประโยชน์เพราะตามที่ผู้เขียน (ถูกต้อง IMHO) ให้เหตุผลในหลาย ๆ แอปพลิเคชันข้อมูลที่ควรจะกำหนดการเปลี่ยนแปลงของพวกเขา ข้อมูลเหล่านี้ Dirichlet พารามิเตอร์ของ$1/2$ (ซึ่งเป็นครึ่งทางระหว่างไม่มีการเปลี่ยนแปลงและการเปลี่ยนแปลงเข้าสู่ระบบ) ผลงานที่สวยงาม:

$1/2$

การวางนัยทั่วไปนี้ใช้งานในilrฟังก์ชั่นด้านล่าง คำสั่งในการสร้างตัวแปร "Z" เหล่านี้เป็นเพียงแค่

z <- ilr(x, 1/2)

ข้อดีอย่างหนึ่งของการแปลง Box-Cox คือการบังคับใช้กับการสังเกตที่มีค่าศูนย์จริง: มันยังคงถูกกำหนดหากพารามิเตอร์นั้นเป็นค่าบวก

อ้างอิง

Michail T. Tsagris ไซมอนเพรสตันและแอนดรู TA ไม้, การเปลี่ยนแปลงอำนาจข้อมูลที่ใช้สำหรับข้อมูล compositional arXiv: 1106.1451v2 [stat.ME] 16 มิถุนายน 2554

เดวิดเอ Harville, เมทริกซ์พีชคณิตจากมุมมองของนักสถิติ Springer Science & Business Media, 27 มิ.ย. 2551

นี่คือRรหัส

#
# ILR (Isometric log-ratio) transformation.
# `x` is an `n` by `k` matrix of positive observations with k >= 2.
#
ilr <- function(x, p=0) {
  y <- log(x)
  if (p != 0) y <- (exp(p * y) - 1) / p       # Box-Cox transformation
  y <- y - rowMeans(y, na.rm=TRUE)            # Recentered values
  k <- dim(y)[2]
  H <- contr.helmert(k)                       # Dimensions k by k-1
  H <- t(H) / sqrt((2:k)*(2:k-1))             # Dimensions k-1 by k
  if(!is.null(colnames(x)))                   # (Helps with interpreting output)
    colnames(z) <- paste0(colnames(x)[-1], ".ILR")
  return(y %*% t(H))                          # Rotated/reflected values
}
#
# Specify a Dirichlet(alpha) distribution for testing.
#
alpha <- c(1,2,3,4)
#
# Simulate and plot compositional data.
#
n <- 1000
k <- length(alpha)
x <- matrix(rgamma(n*k, alpha), nrow=n, byrow=TRUE)
x <- x / rowSums(x)
colnames(x) <- paste0("X.", 1:k)
pairs(x, pch=19, col="#00000040", cex=0.6)
#
# Obtain the ILR.
#
y <- ilr(x)
colnames(y) <- paste0("Y.", 1:(k-1))
#
# Plot the ILR.
#
pairs(y, pch=19, col="#00000040", cex=0.6)

สำหรับกรณีการใช้งานของคุณมันก็โอเคที่จะลดขนาดทุกอย่างลง ความจริงที่ว่าตัวเลขไม่ได้เพิ่มขึ้นอย่างแน่นอนถึง 24 จะเพิ่มเสียงรบกวนเล็กน้อยให้กับข้อมูล แต่มันก็ไม่ควรทำให้เรื่องยุ่งเหยิง

$\mathbb{R}^{D-1}$$D$

รายละเอียดทางเทคนิคทั้งหมดนอกเหนือจากนั้นสิ่งสำคัญคือต้องทราบวิธีการตีความข้อมูลที่ถูกแปลง ILR อย่างถูกต้อง ในที่สุดการแปลง ILR เพียงหมายถึงอัตราส่วนการบันทึกของกลุ่ม แต่มันกำหนดด้วยความเคารพต่อลำดับชั้นที่กำหนดไว้ล่วงหน้า หากคุณกำหนดลำดับชั้นดังนี้

ตัวแปรที่แปลงแต่ละตัวสามารถคำนวณได้ดังนี้

$b_i = \sqrt{\frac{rs}{r + s}}\ln \frac{g(R_i)}{g(S_i)}$

$i$$R_i$$i$$S_i$$i$$g(...)$หมายถึงค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ตัวแปรที่แปลงเหล่านี้รู้จักกันในนามของยอดคงเหลือ

ดังนั้นคำถามต่อไปคือคุณจะกำหนดลำดับชั้นของตัวแปรได้อย่างไร สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับคุณ แต่ถ้าคุณมีตัวแปรสามตัวมีการผสมกันไม่มากเกินไป ตัวอย่างเช่นคุณสามารถกำหนดลำดับชั้นได้

                        /-A
            /(A|B)-----|
-(AB|C)----|            \-B
           |
            \-C

ABC(A|B)$A$ $B$$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{A}{B}$$(AB|C)$$A$$B$$C$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \ln \frac{AB}{C}$ยอดเงินต้น

แต่กลับไปที่คำถามเดิมของคุณคุณจะใช้ข้อมูลนี้เพื่อทำการแปลงค่าจริงได้อย่างไร?

หากคุณใช้ R ฉันจะเช็คเอาต์แพคเกจการแต่งเพลง

ในการใช้แพ็คเกจนั้นคุณจะต้องเข้าใจวิธีสร้างพาร์ทิชันไบนารีตามลำดับ (SBP) ซึ่งเป็นวิธีที่คุณกำหนดลำดับชั้น สำหรับลำดับชั้นที่กำหนดไว้ข้างต้นคุณสามารถแสดง SBP ด้วยเมทริกซ์ต่อไปนี้

        A  B  C
(A|B)   1 -1  0
(AB|C)  1  1 -1

โดยที่ค่าบวกแสดงถึงตัวแปรในตัวเศษค่าลบแสดงถึงตัวแปรในส่วนและศูนย์แสดงถึงการขาดของตัวแปรนั้นในยอดคงเหลือ คุณสามารถสร้างพื้นฐาน orthonormal โดยใช้balanceBaseจาก SBP ที่คุณกำหนดไว้
เมื่อคุณมีสิ่งนี้แล้วคุณควรจะสามารถส่งผ่านตารางสัดส่วนของคุณพร้อมกับพื้นฐานที่คุณคำนวณข้างต้น

ฉันจะตรวจสอบข้อมูลอ้างอิงนี้สำหรับคำจำกัดความดั้งเดิมของยอดคงเหลือ

โพสต์ดังกล่าวข้างต้นตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการสร้างพื้นฐาน ILR และได้รับยอดคงเหลือ ILR ของคุณ หากต้องการเพิ่มสิ่งนี้ทางเลือกของที่พื้นฐานสามารถบรรเทาการแปลผลของคุณ

คุณอาจสนใจในพาร์ติชั่นพาร์ติชั่นต่อไปนี้:

(1) (นอน, อยู่ประจำ | physical_activity) (2) (นอน | อยู่ประจำ)

เนื่องจากคุณมีองค์ประกอบสามส่วนในการจัดองค์ประกอบของคุณคุณจะได้รับยอดคงเหลือ ILR สองรายการเพื่อทำการวิเคราะห์ โดยการตั้งค่าพาร์ติชันดังกล่าวข้างต้นคุณสามารถรับยอดคงเหลือที่สอดคล้องกับ "ใช้งานอยู่หรือไม่" (1) และ "รูปแบบที่ไม่มีการใช้งาน" (2)

หากคุณวิเคราะห์ยอดคงเหลือ ILR แต่ละรายการตัวอย่างเช่นดำเนินการถดถอยกับช่วงเวลาของวันหรือช่วงเวลาของปีเพื่อดูว่ามีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ หรือไม่คุณสามารถตีความผลลัพธ์ในแง่ของการเปลี่ยนแปลงใน "การใช้งานหรือไม่" และการเปลี่ยนแปลงใน "รูปแบบที่ไม่มีการใช้งาน"

ในทางกลับกันถ้าคุณจะใช้เทคนิคเช่น PCA ซึ่งได้รับพื้นฐานใหม่ในพื้นที่ ILR ผลลัพธ์ของคุณจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพาร์ติชันของคุณ นี่เป็นเพราะข้อมูลของคุณมีอยู่ใน CLR-space, ระนาบ D-1 orthogonal ต่อหนึ่งเวกเตอร์, และยอดคงเหลือ ILR เป็นตัวเลือกที่แตกต่างกันของแกนยูนิต - นอร์มเพื่ออธิบายตำแหน่งของข้อมูลบนระนาบ CLR