เพิ่มหางสองเท่าในการทดสอบการเปลี่ยนรูปสองตัวอย่าง

สมมติว่าเรามีสองตัวอย่างและเราต้องการตรวจสอบว่าพวกมันถูกดึงมาจากการกระจายตัวเดียวกันหรือไม่ตัวอย่าง A, B ที่ประกอบไปด้วยจำนวนเต็มบางส่วนบอกว่า

ถ้าเราทดสอบสิ่งนี้โดยใช้การทดสอบการเปลี่ยนรูปสองตัวอย่างโดยเฉพาะโดยดูที่การเรียงสับเปลี่ยนที่ความแตกต่างในค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างนั้นรุนแรงมากเท่าความแตกต่างที่สังเกต: มีเหตุผลใดที่คิดว่าเราสามารถคำนวณค่า p- สองด้านได้ ให้ความสำคัญกับการมองที่หางเดียวและเพิ่มความน่าจะเป็นเป็นสองเท่า?

นี่คือสิ่งที่ดูเหมือนจะพูดในบันทึกการบรรยายของฉัน แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมเราจึงสามารถสันนิษฐานได้ว่าก้อยนั้นมีความสมมาตร คำอธิบายไม่ได้เตรียมพร้อม

การกระจายการเปลี่ยนแปลงของสถิติการทดสอบของคุณไม่รับประกันว่าจะสมมาตรดังนั้นคุณจึงไม่สามารถทำเช่นนั้นได้ คุณเพิ่มทั้งสองหางแทน ในกรณีของคุณจากตัวอย่างอิสระสองตัวอย่างสมมติฐานว่างคือพารามิเตอร์ตำแหน่งสองตัวนั้นเท่ากัน สมมติว่าการกระจายอย่างต่อเนื่องและการแพร่กระจายอย่างเท่าเทียมกันในทั้งสองกลุ่มเรามีการแลกเปลี่ยนภายใต้สมมติฐานว่าง สถิติการทดสอบคือความแตกต่างของค่าเฉลี่ยโดยภายใต้ค่า null$T$$E(T) = 0$

ค่าสำหรับในกลุ่มตัวอย่างเดิมคือและค่านิยมสำหรับพีชคณิตดาว} ย่อมาจาก "number of" something เช่นคือจำนวนสถิติการทดสอบการเปลี่ยนแปลง จากนั้นสำหรับสมมติฐานสองด้านคือโดยที่$T$$T_{\text{emp}}$$T^{\star}$$\sharp(\cdot)$$\sharp(T^{\star})$$p$$p_{\text{ts}} = p_{\text{left}} + p_{\text{right}}$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

(สมมติว่าเรามีการกระจายการเปลี่ยนแปลงที่สมบูรณ์) ลองเปรียบเทียบทั้งสองวิธีสำหรับกรณีของสองตัวอย่างอิสระเมื่อเราสามารถคำนวณการแจกแจงการเปลี่ยนรูปที่แน่นอน (สมบูรณ์)

set.seed(1234)
Nj   <- c(9, 8)                      # group sizes
DVa  <- rnorm(Nj[1], 5, 20)^2        # data group 1
DVb  <- rnorm(Nj[2], 10, 20)^2       # data group 2
DVab <- c(DVa, DVb)                  # data from both groups
IV   <- factor(rep(c("A", "B"), Nj)) # grouping factor
idx  <- seq(along=DVab)              # all indices
idxA <- combn(idx, Nj[1])            # all possible first groups

# function to calculate test statistic for a given permutation x
getDM <- function(x) { mean(DVab[x]) - mean(DVab[!(idx %in% x)]) }
resDM <- apply(idxA, 2, getDM)       # test statistic for all permutations
diffM <- mean(DVa) - mean(DVb)       # empirical stest statistic

ตอนนี้คำนวณค่า value และตรวจสอบโซลูชันที่เสนอกับการใช้งานในแพ็คเกจของ R สังเกตว่าดังนั้นมันเป็นเรื่องสำคัญที่ทางคุณคำนวณ{TS}$p$coin$p_{\text{left}} \neq p_{\text{right}}$$p_{ts}$

> (pL <- sum(resDM <= min(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # left p-value
[1] 0.1755245

> (pR <- sum(resDM >= max(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # right p-value
[1] 0.1585356

> 2*pL        # doubling left p-value
[1] 0.351049

> 2*pR        # doubling right p-value
[1] 0.3170712

> pL+pR       # two-sided p-value
[1] 0.3340601

> sum(abs(resDM) >= abs(diffM)) / length(resDM)  # two-sided p-value (more concise)
[1] 0.3340601

# validate with coin implementation
> library(coin)              # for oneway_test()    
> oneway_test(DVab ~ IV, alternative="two.sided", distribution="exact")
Exact 2-Sample Permutation Test
data:  DVab by IV (A, B) 
Z = 1.0551, p-value = 0.3341
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 

ป.ล. สำหรับกรณี Monte-Carlo ที่เราสุ่มตัวอย่างจากการกระจายการเปลี่ยนแปลงเท่านั้นค่า value จะถูกกำหนดดังนี้:$p$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) + 1}{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) +1 }{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{ts}} = \frac{\sharp(\text{abs}(T^{\star}) \, >= \, \text{abs}(T_{\text{emp}})) \, + \, 1 }{\sharp(T^{\star}) + 1}$

เหตุผลในการเพิ่มกรณีการเปลี่ยนแปลงที่รุนแรงมากขึ้นอย่างสังหรณ์ใจคือเราต้องนับตัวอย่างเชิงประจักษ์ด้วย มิฉะนั้นการเปลี่ยนแปลงอาจเป็น 0 ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในกรณีต่อเนื่อง (ดูที่นี่หมายเหตุ: ข้อความบางข้อความแนะนำการแก้ไขนี้บางคนไม่ได้)$p$