t-test สำหรับข้อมูลที่จับคู่บางส่วนและไม่ได้คู่บางส่วน

นักวิจัยต้องการสร้างการวิเคราะห์รวมของชุดข้อมูลหลายชุด ในชุดข้อมูลบางชุดมีการสังเกตแบบคู่สำหรับการรักษา A และ B ในชุดข้อมูลอื่น ๆ มีข้อมูล A และ / หรือ B ที่ไม่ได้รับการจับคู่ ฉันกำลังมองหาข้อมูลอ้างอิงสำหรับการปรับตัวของการทดสอบ t-test หรือการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นสำหรับข้อมูลที่จับคู่บางส่วนเช่นนั้น ฉันยินดี (ตอนนี้) ที่จะยอมรับความเป็นมาตรฐานที่มีความแปรปรวนเท่ากันและประชากรมีความหมายสำหรับ A นั้นเท่ากันสำหรับการศึกษาแต่ละครั้ง (และเช่นเดียวกันสำหรับ B)

Guo และ Yuan แนะนำวิธีการทางเลือกที่เรียกว่าการทดสอบทีรวมกลุ่มที่ดีที่สุดอันเนื่องมาจาก Samawi และ Vogel ของการทดสอบการรวมกลุ่ม

ลิงก์ไปยังการอ้างอิง: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.865.734&rep=rep1&type=pdf

ยอดเยี่ยมอ่านด้วยหลายตัวเลือกสำหรับสถานการณ์นี้

ใหม่สำหรับการแสดงความคิดเห็นดังนั้นโปรดแจ้งให้เราทราบหากฉันต้องการเพิ่มอะไรอีก

ทีนี้ถ้าคุณรู้ความแปรปรวนของคู่ที่ไม่คู่กับคู่ (ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นข้อตกลงที่เล็กกว่า) น้ำหนักที่เหมาะสมสำหรับการประมาณความแตกต่างในกลุ่มที่สองหมายถึงว่าน้ำหนักจะแปรผกผันกับความแปรปรวนของแต่ละคน การประมาณความแตกต่างในวิธีการ

[แก้ไข: ปรากฎว่าเมื่อประมาณค่าความแปรปรวนสิ่งนี้เรียกว่าตัวประมาณ Graybill-Deal มีกระดาษอยู่สองสามเล่ม นี่คือหนึ่ง]

ความจำเป็นในการประมาณค่าความแปรปรวนทำให้เกิดความยากลำบาก (อัตราส่วนผลลัพธ์ของการประมาณค่าความแปรปรวนคือ F และฉันคิดว่าน้ำหนักที่ได้มีการแจกแจงแบบเบต้าและสถิติที่ได้นั้นซับซ้อนมาก) แต่เนื่องจากคุณกำลังพิจารณา bootstrapping นี่อาจเป็น น้อยกว่าความกังวล

ความเป็นไปได้ทางเลือกซึ่งอาจจะดีกว่าในบางแง่มุม (หรืออย่างน้อยก็มีความทนทานต่อการไม่ได้มาตรฐานเนื่องจากเรากำลังเล่นกับอัตราส่วนความแปรปรวน) ที่มีการสูญเสียประสิทธิภาพน้อยมากที่ปกติคือพื้นฐานของการกะ การทดสอบอันดับคู่และไม่ได้รับการจับคู่ - ในแต่ละกรณีการประเมินแบบ Hodges-Lehmann ในกรณีที่ไม่มีการจับคู่ขึ้นอยู่กับค่ามัธยฐานของความแตกต่างระหว่างคู่ตัวอย่างและในกรณีที่จับคู่ค่ามัธยฐานของความแตกต่างระหว่างคู่ อีกครั้งความแปรปรวนเชิงเส้นถ่วงน้ำหนักต่ำสุดของชุดค่าผสมเชิงเส้นของทั้งสองจะเป็นกับน้ำหนักเป็นสัดส่วนกับผกผันของความแปรปรวน ในกรณีนี้ฉันอาจจะเอนตัวไปที่การเปลี่ยนแปลง (/ การสุ่ม) แทนการบู๊ต - แต่ขึ้นอยู่กับว่าคุณใช้บูทสแตรปของคุณอย่างไรพวกเขาสามารถจบลงในที่เดียวกันได้

ไม่ว่าในกรณีใดคุณอาจต้องการเพิ่มความแปรปรวน / ลดอัตราส่วนความแปรปรวนของคุณ การเข้าไปอยู่ใน ballpark ที่ถูกต้องสำหรับน้ำหนักนั้นดี แต่คุณจะสูญเสียประสิทธิภาพที่น้อยมากตามปกติโดยทำให้แข็งแรงขึ้นเล็กน้อย ---

ความคิดเพิ่มเติมบางอย่างที่ฉันไม่ชัดเจนพอในหัวของฉันมาก่อน:

ปัญหานี้มีความคล้ายคลึงกันอย่างชัดเจนกับปัญหาของ Behrens-Fisher แต่ก็ยากกว่า

หากเรากำหนดน้ำหนักเราก็สามารถตีค่าประมาณของ Welch-Satterthwaite โครงสร้างของปัญหาเหมือนกัน

ปัญหาของเราคือเราต้องการเพิ่มประสิทธิภาพน้ำหนักซึ่งหมายความว่าน้ำหนักไม่ได้รับการแก้ไข - และแน่นอนมีแนวโน้มที่จะเพิ่มสถิติสูงสุด (อย่างน้อยประมาณเกือบทุกตัวอย่างขนาดใหญ่เนื่องจากน้ำหนักชุดใด ๆ เป็นปริมาณแบบสุ่มโดยประมาณเท่ากัน ตัวเศษและเรากำลังพยายามย่อส่วนซึ่งทั้งสองไม่เป็นอิสระ)

ฉันคาดว่านี่จะทำให้การประมาณไคสแควร์แย่ลงและจะส่งผลกระทบต่อ df ของการประมาณยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป

[หากปัญหานี้เกิดขึ้นได้ก็อาจกลายเป็นกฎง่ายๆที่จะพูดว่า 'คุณสามารถทำได้เกือบจะดีถ้าคุณใช้ข้อมูลที่จับคู่ภายใต้สถานการณ์เหล่านี้เท่านั้น เงื่อนไขและส่วนที่เหลือรูปแบบน้ำหนักคงที่นี้มักจะใกล้เคียงกับความเหมาะสมที่สุด - แต่ฉันจะไม่กลั้นลมหายใจรอโอกาสนั้น กฎการตัดสินใจดังกล่าวจะมีผลกระทบต่อความสำคัญที่แท้จริงในแต่ละกรณี แต่ถ้าผลนั้นไม่ใหญ่เช่นกฎของหัวแม่มือจะให้วิธีที่ง่ายสำหรับผู้ใช้ซอฟต์แวร์ที่มีอยู่เดิมดังนั้นจึงเป็นที่ต้องการ พยายามระบุกฎเช่นนั้นสำหรับผู้ใช้ในสถานการณ์เช่นนี้]

---

แก้ไข: หมายเหตุถึงตนเอง - จำเป็นต้องกลับมาและกรอกรายละเอียดของการทำงานในการทดสอบ 'ตัวอย่างที่ทับซ้อนกัน' โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดสอบตัวอย่างที่ซ้ำซ้อน

---

มันเกิดขึ้นกับฉันว่าการทดสอบการสุ่มควรใช้ได้ -

• เมื่อข้อมูลถูกจับคู่คุณสุ่มอนุญาตฉลากกลุ่มภายในคู่

• โดยที่ข้อมูลไม่ถูกจับคู่ แต่สันนิษฐานว่ามีการแจกแจงทั่วไป (ภายใต้ค่า null) คุณอนุญาตการมอบหมายกลุ่ม

• ตอนนี้คุณสามารถกำหนดน้ำหนักให้กับการประมาณการเปลี่ยนแปลงสองครั้งจากการประมาณค่าความแปรปรวนแบบสัมพัทธ์ ( $w_1 = 1/(1+\frac{v_1}{v_2})$) คำนวณการประมาณน้ำหนักกะของแต่ละตัวอย่างแบบสุ่มและดูว่ากลุ่มตัวอย่างเหมาะสมกับการกระจายแบบสุ่มหรือไม่

(เพิ่มในภายหลังมาก)

กระดาษที่เกี่ยวข้องอาจเป็นไปได้:

Derrick, B. , Russ B. , Toher, D. , และ White, P. (2017),
"สถิติทดสอบสำหรับการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของสองตัวอย่างที่มีทั้งการสังเกตแบบจับคู่และอิสระ"
วารสารวิธีการทางสถิติประยุกต์สมัยใหม่อาจ ปีที่ 16 หมายเลข 1, 137-157
ดอย: 10.22237 / jmasm / 1493597280
http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2251&context=jmasm

นี่คือความคิดบางอย่าง ฉันเป็นเพียงมาถึงข้อสรุปที่เกร็กหิมะว่าปัญหานี้มีความคล้ายคลึงกันแตกต่างกันไปปัญหา Behrens-ฟิชเชอร์ เพื่อหลีกเลี่ยงการโบกมือฉันแรกแนะนำบางสัญกรณ์และทำสมมติฐานอย่างเป็นทางการ

• เราได้จับคู่สังเกตx Pฉันและx P Bฉัน ( ฉัน= 1 , ... , n );$n$$x_i^{pA}$$x_i^{pB}$$i = 1, \dots, n$
• เรามีและn Bสังเกต unpaired x ฉัน ( ฉัน= 1 , ... , n ) และx B ฉัน ( ฉัน= 1 , ... , n B );$n_A$$n_B$$x_i^A$$i = 1, \dots, n_A$$x_i^B$$i = 1, \dots, n_B$

• การสังเกตแต่ละครั้งคือผลรวมของผลผู้ป่วยและผลการรักษา ตัวแปรสุ่มที่สอดคล้องกันคือ

  • , X p B i = P i + T B i ,$X_i^{pA} = P_i + T_i^A$$X_i^{pB} = P_i + T_i^B$
  • , X B i = R i + V B $X_i^A = Q_i + U_i^A$$X_i^B = R_i + V_i^B$

  กับและT τ ฉัน , U τ ฉัน , V τ ฉัน ~ N ( μ τ , σ 2 ) ( τ = , B )$P_i, Q_i, R_i \sim \mathcal N(0,\sigma_P^2)$$T_i^\tau, U_i^\tau, V_i^\tau \sim \mathcal N(\mu_\tau, \sigma^2)$$\tau = A, B$

  • ภายใต้สมมติฐานที่ B$\mu_A = \mu_B$

$X_i = X_i^{pA} - X_i^{pB}$$X_i \sim \mathcal N(\mu_A - \mu_B, 2\sigma^2)$

$X_i$$n$$X_i^A$$n_A$$X_i^B$$n_B$

• $X_\bullet\sim \mathcal N(\mu_A - \mu_B, {2\over n} \sigma^2)$
• $X^A_\bullet\sim \mathcal N(\mu_A , {1\over n_A} (\sigma_P^2 + \sigma^2))$
• $X^B_\bullet\sim \mathcal N(\mu_B , {1\over n_B} (\sigma_P^2 + \sigma^2))$

ขั้นตอนต่อไปคือการพิจารณา

• $Y = X_\bullet + X^A_\bullet - X^B_\bullet \sim \mathcal N\left( 2(\mu_A-\mu_B), {2\over n} \sigma^2 + \left({1\over n_A}+ {1\over n_B}\right) (\sigma_P^2 + \sigma^2)\right)$

Now basically we are stuck. The three sums of squares give estimations of $\sigma^2$ with $n-1$ df, $\sigma_P^2 + \sigma^2$ with $n_A-1$ df and $n_B-1$ df respectively. The last two can be combined to give an estimation of $\left({1\over n_A}+ {1\over n_B}\right) (\sigma_P^2 + \sigma^2)$ with $n_A+n_B-2$ df. The variance of $Y$ is the sum of two terms, each of which can be estimated, but the recombination is not doable, just as in Behrens Fisher problem.

At this point I think one may plug-in any solution proposed to Behrens Fisher problem to get a solution to your problem.

My first thought was a mixed effects model, but that has already been discussed so I won't say any more on that.

My other thought is that if it were theoretically possible that you could have measured paired data on all subjects but due to cost, errors, or another reason you don't have all the pairs, then you could treat the unmeasured effect for the unpaired subjects as missing data and use tools like the EM algorithm or Multiple Imputation (missing at random seems reasonable unless the reason a subject was only measured under 1 treatment was related to what their outcome would be under the other treatment).

It may be even simpler to just fit a bivariate normal to the data using maximum likelihood (with the likelihood factored based on the available data per subject), then do a likelihood ratio test comparing the distribution with the means equal vs. different means.

เป็นเวลานานแล้วตั้งแต่ชั้นเรียนทฤษฎีของฉันดังนั้นฉันไม่ทราบว่าสิ่งเหล่านี้เปรียบเทียบกับการมองโลกในแง่ดี

maybe mixed modelling with patient as random effect could be a way. With mixed modelling the correlation structure in the paired case and the partial missings in the unpaired case could be accounted for.

หนึ่งในวิธีการที่เสนอใน Hani M. Samawi และ Robert Vogel (วารสารสถิติประยุกต์, 2013) ประกอบด้วยการถ่วงน้ำหนักของ T-score จากตัวอย่างอิสระและขึ้นอยู่กับในลักษณะที่คะแนน T ใหม่เท่ากับ

$T_o = \sqrt\gamma ( \frac {\mu_Y - \mu_X} {S_x^2/n_X + S_y^2/n_Y}) + \sqrt {(1-\gamma)} \frac {\mu_D} {S_D^2/n_D}$

ที่ไหน $D$แสดงถึงตัวอย่างของความแตกต่างคู่ที่นำมาจากข้อมูลที่สัมพันธ์กัน โดยทั่วไปคะแนน T ใหม่คือการรวมกันของ T-score แบบไม่มีคู่กับคำศัพท์การแก้ไขใหม่$\gamma$แสดงถึงสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่างอิสระ เมื่อ$\gamma$ เท่ากับ 1 การทดสอบเท่ากับสองตัวอย่าง t-test ในขณะที่ถ้าเท่ากับศูนย์จะเป็นการทดสอบแบบจับคู่