เปรียบเทียบ 0/10 ถึง 0/20

เมื่อพูดถึงอัตราความสำเร็จของงานมีวิธีใดที่จะแสดงให้เห็นว่า 0 จาก 20 ครั้งคือ "แย่ลง" มากกว่า 0 จาก 10 ครั้ง?

สมมติว่าเรารู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในความพยายาม ในกรณีนี้เราคำนวณความน่าจะเป็นที่ 0 จาก 10 และ 0 จาก 20 ราย

อย่างไรก็ตามในกรณีนี้เราไปทางอื่น เราไม่รู้ความน่าจะเป็นเรามีข้อมูลและพยายามประเมินความน่าจะเป็น

ยิ่งมีกรณีมากเท่าไหร่เราก็ยิ่งมั่นใจได้มากขึ้นเท่านั้น ถ้าฉันจะพลิกหนึ่งเหรียญและมันจะเป็นหัวคุณจะไม่แน่ใจว่ามันเป็นสองหัว ถ้าฉันจะโยนมัน 1,000 ครั้งและมันจะเป็นหัวทั้งหมดมันไม่น่าเป็นไปได้ที่มันจะสมดุล

มีวิธีการที่ออกแบบมาเพื่อพิจารณาจำนวนเส้นทางเมื่อให้การประมาณ หนึ่งในนั้นคือสารเติมแต่งให้เรียบที่ @abukaj แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับข้างต้น ในการเสริมให้เรียบเราเพิ่มตัวอย่างหลอกเข้ามาพิจารณา ในกรณีของเราแทนเส้นทางที่เราเห็นเราเพิ่มอีกสอง - หนึ่งที่ประสบความสำเร็จและล้มเหลว

• ในกรณีแรกความน่าจะเป็นแบบเรียบจะเป็น = ~ 8.3%$\frac{1+0}{10 +1 +1}$$\frac{1}{12}$
• ในกรณีที่สองเราจะได้รับ = ~ 4.5%$\frac{1+0}{20 +1 +1}$$\frac{1}{22}$

โปรดทราบว่าการปรับให้เรียบเป็นส่วนเพิ่มเติมเป็นเพียงวิธีหนึ่งในการประมาณ คุณจะได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน ถึงแม้จะมีการเสริมให้เรียบตัวเองคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันถ้าคุณเพิ่มตัวอย่างหลอก 4

อีกวิธีคือใช้ช่วงความมั่นใจตามที่ @mdewey แนะนำ ยิ่งเรามีตัวอย่างมากเท่าไหร่ช่วงความมั่นใจก็จะยิ่งสั้นลงเท่านั้น ขนาดของช่วงความเชื่อมั่นเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของกลุ่มตัวอย่าง -{n}} ดังนั้นการเพิ่มจำนวนตัวอย่างเป็นสองเท่าจะนำไปสู่ช่วงความเชื่อมั่นที่สั้นลง$\frac{1}{\sqrt{n}}$$\sqrt{2}$

ค่าเฉลี่ยในทั้งสองกรณีคือ 0 เราใช้ระดับความเชื่อมั่น 90% (z = 1.645)

• ในกรณีแรกเราจะได้ 0 + ~ 52%$\frac{1.645}{\sqrt{10}}$
• ในกรณีที่สองเราจะได้ 0 + ~ 36%$\frac{1.645}{\sqrt{20}}$

ในกรณีที่ข้อมูลสูญหายมีความไม่แน่นอน สมมติฐานที่คุณทำและข้อมูลภายนอกที่คุณจะใช้จะเปลี่ยนสิ่งที่คุณจะได้รับ

การขยายแนวคิดของการเรียกใช้ช่วงความมั่นใจมีแนวคิดของช่วงทวินามที่แน่นอน

การแจกแจงแบบทวินามคือจำนวนความสำเร็จทั้งหมดในการทดลองอิสระที่จบด้วย 0 (ความล้มเหลว) หรือ 1 (ความสำเร็จ) ความน่าจะเป็นของการได้รับ 1 (ความสำเร็จ) จะแสดงประเพณีและส่วนประกอบของมันคือ1-P จากนั้นผลลัพธ์ความน่าจะเป็นมาตรฐานคือความน่าจะเป็นที่ประสบความสำเร็จอย่างแน่นอนในการทดลองคือ$p$$q=1-p$$k$$n$

$$p_{n,k} = {n \choose k} p^k q^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$$

แนวคิดของช่วงความมั่นใจคือการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์แบบจำลอง (ที่นี่, ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ ) เพื่อให้เราสามารถสร้างความน่าจะเป็น (ดี, บ่อยครั้ง ) คำสั่งเกี่ยวกับค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงว่า ถ้าเราทำการทดสอบความน่าจะเป็นซ้ำของการทดลอง 10 หรือ 20 ครั้งและสร้างช่วงความมั่นใจตามวิธีที่กำหนดเราจะสังเกตว่ามูลค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์นั้นอยู่ในช่วง 95% ของเวลา)$p$

ในกรณีนี้เราสามารถหาในสูตรนั้นได้: $p$

$$p_{n,0}=(1-p)^n$$

ดังนั้นหากเราต้องการช่วงเวลาด้านเดียว 95% เราจะตั้งค่าเพื่อแก้ความน่าจะเป็นของจำนวนศูนย์ที่สังเกตได้ที่ 5% สำหรับคำตอบคือ (เช่นสุดขั้วถ้าความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองแต่ละครั้งคือ 13.9% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะสังเกตความสำเร็จเป็นศูนย์ 5%) สำหรับคำตอบคือ\%] ดังนั้นจากตัวอย่างของเราเรียนรู้มากกว่าจากตัวอย่างของในแง่ที่ว่าเราสามารถ `` ยกเว้น '' ช่วงที่ตัวอย่างของยังคงทิ้งไว้อย่างน่าเชื่อถือ$p_{n,0}=5\%$$n=20$$[0\%,13.9\%]$$n=10$$[0\%,25.9\%]$$n=20$$n=10$$[13.9\%,25.9\%]$$n=10$

แนวทางแบบเบย์

• ให้สำหรับเป็นชุดของ IID ตัวแปรสุ่ม Bernoulliกับพารามิเตอร์พี$X_i$$i=1,\ldots n$$p$
• ขอให้เราเป็นตัวแทนของความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ของเราโดยสมมติว่ามันเป็นไปตามการกระจายเบต้ากับhyperparametersและ\$p$ $\alpha$$\beta$

ฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นและการกระจาย Bernoulli Beta เป็นคอนจูเกตก่อนสำหรับการกระจาย Bernoulli เพราะฉะนั้นหลังดังต่อไปนี้การกระจายเบต้า นอกจากนี้หลังถูกแปรโดย:

$$\hat{\alpha} = \alpha + \sum_{i=1}^n X_i \quad \quad \hat{\beta} = \beta + n - \sum_{i=1}^n X_i$$

ดังนั้น:

$$\begin{align*} \mathrm{E}[p \mid X_1, \ldots, X_n] &= \frac{\hat{\alpha}}{\hat{\alpha} + \hat{\beta}}\\ &= \frac{\alpha + \sum_{i=1}^n X_i }{\alpha + \beta + n} \end{align*}$$

ดังนั้นหากคุณเห็นความล้มเหลว 10 ข้อความคาดหวังของคือและถ้าคุณเห็นความล้มเหลว 20 ข้อความคาดหวังของคือ20} ความล้มเหลวมากกว่าที่คุณเห็นลดความคาดหวังของคุณพี$p$$\frac{\alpha}{\alpha + \beta + 10}$$p$$\frac{\alpha}{\alpha + \beta + 20}$$p$

นี่เป็นข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลหรือไม่? มันขึ้นอยู่กับว่าคุณรู้สึกอย่างไรเกี่ยวกับสถิติคชกรรมไม่ว่าคุณจะยินดีที่จะรูปแบบความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์บางโดยใช้กลไกของความน่าจะเป็น และมันก็ขึ้นอยู่กับว่าคุณมีเหตุผลที่จะเลือกก่อน$p$