สร้างตัวเลขสุ่มจาก“ การกระจายตัวแบบลาด” จากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

เพื่อจุดประสงค์บางอย่างฉันต้องสร้างตัวเลขสุ่ม (ข้อมูล) จากการกระจาย "ชุดลาด" "ความชัน" ของการกระจายนี้อาจแตกต่างกันไปในช่วงเวลาที่สมเหตุสมผลแล้วการกระจายของฉันควรเปลี่ยนจากเครื่องแบบเป็นสามเหลี่ยมตามความชัน นี่คือที่มาของฉัน:

มาทำให้มันง่ายและสร้างฟอร์มข้อมูล $0$ ถึง $B$ (สีน้ำเงิน, สีแดงคือการกระจายแบบสม่ำเสมอ) เพื่อให้ได้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของเส้นสีฟ้าฉันต้องการเพียงสมการของเส้นนั้น ดังนั้น:

ฉ (x) = เสื้อ ก. (φ) x + Y (0)

$f(x) = tg(\varphi)x + Y(0)$

และตั้งแต่ (ภาพ):

\begin{aligned} เสื้อ ก. (φ) & = \frac{1 / B - Y (0)}{B / 2} \\ Y (0) & = \frac{1}{B} - เสื้อ ก. (φ) \frac{B}{2} \end{aligned}

$\begin{align} tg(\varphi) &= \frac{1/B - Y(0)}{B/2} \\[5pt] Y(0) &= \frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \end{align}$

เรามีสิ่งต่อไปนี้:

ฉ (x) = เสื้อ ก. (φ) x + (\frac{1}{B} - เสื้อ ก. (φ) \frac{B}{2})

$f(x) = tg(\varphi)x + \left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$

ตั้งแต่ $f(x)$ คือ PDF, CDF เท่ากับ:

F (x) = \frac{เสื้อ ก. (φ) x^{2}}{2} + x (\frac{1}{B} - เสื้อ ก. (φ) \frac{B}{2})

$F(x) = \frac{tg(\varphi)x^2}{2} + x\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$

ทีนี้มาสร้าง data data กัน ความคิดคือถ้าฉันจะแก้ไข $\varphi, B$ ตัวเลขสุ่ม $x$ สามารถคำนวณได้ถ้าฉันจะรับตัวเลข $(0,1)$ จากการกระจายชุดตามที่อธิบายไว้ที่นี่ ดังนั้นถ้าฉันต้องการ 100 ตัวเลขสุ่มจากการกระจายของฉันกับการแก้ไข $\varphi, B$ จากนั้นสำหรับใด ๆ $t_i$ จากการกระจายสม่ำเสมอ $(0,1)$ มี $x_i$ จาก "การกระจายแบบลาด" และ $x$ สามารถคำนวณได้เป็น:

\frac{เสื้อ ก. (φ) x_{ผม}^{2}}{2} + x_{ผม} (\frac{1}{B} - เสื้อ ก. (φ) \frac{B}{2}) - {เสื้อ}_{ผม} = 0

$\frac{tg(\varphi)x_i^2}{2} + x_i\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right) - t_i = 0$

จากทฤษฎีนี้ฉันทำรหัสใน Python ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

import numpy as np
import math
import random
def tan_choice():
    x = random.uniform(-math.pi/3, math.pi/3)
    tan = math.tan(x)
    return tan

def rand_shape_unif(N, B, tg_fi):
    res = []
    n = 0
    while N > n:
        c = random.uniform(0,1)
        a = tg_fi/2
        b = 1/B - (tg_fi*B)/2
        quadratic = np.poly1d([a,b,-c])
        rots = quadratic.roots
        rot = rots[(rots.imag == 0) & (rots.real >= 0) & (rots.real <= B)].real
        rot = float(rot)
        res.append(rot)
        n += 1
    return res

def rand_numb(N_, B_):
    tan_ = tan_choice()
    res = rand_shape_unif(N_, B_, tan_)
    return res

แต่ตัวเลขที่สร้างจากrand_numbนั้นใกล้เคียงกับศูนย์มากหรือเป็น B (ซึ่งฉันตั้งไว้ที่ 25) ไม่มีความแปรปรวนเมื่อฉันสร้างหมายเลข 100 พวกเขาทั้งหมดใกล้ถึง 25 หรือทั้งหมดอยู่ใกล้ศูนย์ ในการวิ่งครั้งเดียว:

num = rand_numb(100, 25)
numb
Out[140]: 
[0.1063241766836174,
 0.011086243095907753,
 0.05690217839063588,
 0.08551031241199764,
 0.03411227661295121,
 0.10927087752739746,
 0.1173334720516189,
 0.14160616846114774,
 0.020124543145515768,
 0.10794924067959207]

ดังนั้นต้องมีบางอย่างผิดปกติในรหัสของฉัน ใครสามารถช่วยฉันด้วยรหัสที่มาหรือไม่ ตอนนี้ฉันคลั่งไคล้แล้วฉันไม่เห็นความผิดพลาดใด ๆ ฉันคิดว่ารหัส R จะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกัน

— โรเบิร์ต
แหล่งที่มา

หากคุณต้องการสร้างตัวเลขสุ่มคุณไม่จำเป็นต้องคำนวณการแจกแจงเลย เพียงแค่โยนลูกดอกใส่รูปภาพของคุณและเก็บพิกัด x ไว้แต่เมื่อลูกดอกตกลงบนสามเหลี่ยมซ้ายที่ระบุว่า "

ϕ

$\phi$ "เปลี่ยนพิกัด x จาก

x

$x$ ถึง

B - x

$B-x$ . ตัวอย่างเช่นให้ค่าใด ๆ กับBและtheta(พารามิเตอร์จริงซึ่งเมื่อได้รับค่าระหว่าง

- 1

$-1$ และ

1

$1$ สร้างการแจกแจงของคุณ) และตั้งค่าnให้เป็นจำนวนค่าสุ่มที่คุณต้องการ นี่คือRรหัส:x<-runif(n,-1,1);x<-(ifelse(runif(n,-1,1)>theta*x,-x,x)+1)*(B/2)

— whuber

การสืบทอดของคุณก็โอเค โปรดทราบว่าจะได้รับความหนาแน่นในเชิงบวก $(0,B)$ คุณต้อง จำกัด

B^{2} สีน้ำตาล φ < 2

$B^2 \tan\phi < 2.$ ในรหัสของคุณ

B = 25

$B = 25$ ดังนั้นคุณควรใช้

ϕ

$\phi$ ระหว่าง

\pm \tan^{- 1} \frac{2}{625}

$\pm\tan^{-1}{2\over 625}$ นั่นคือสิ่งที่รหัสของคุณล้มเหลว

คุณสามารถ (และควร) หลีกเลี่ยงการใช้ตัวแก้กำลังสองแล้วเลือกรากระหว่าง 0 ถึง $B$ . สมการพหุนามกำลังสองใน $x$ ที่จะแก้ไขคือ

F (x) = เสื้อ

$F(x) = t$ กับ

F (x) = \frac{1}{2} สีน้ำตาล φ \cdot x^{2} + (\frac{1}{B} - \frac{B}{2} สีน้ำตาล φ) x .

$F(x) = {1\over 2} \tan \phi \cdot x^2 + \left( {1\over B} - {B\over 2} \tan \phi \right) x.$ โดยการก่อสร้าง

F (0) = 0

$F(0) = 0$ และ

F (B) = 1

$F(B) = 1$ ; ด้วย

F

$F$ เพิ่มขึ้นเมื่อ

(0, B)

$(0,B)$ .

จากนี้มันง่ายที่จะดูว่าถ้า $\tan \phi > 0$ ส่วนของพาราโบลาที่เราสนใจนั้นเป็นส่วนหนึ่งของด้านขวาของพาราโบลาและรากที่ต้องเก็บคือรากที่สูงที่สุดของรากทั้งสองนั่นคือ

x = \frac{1}{สีน้ำตาล φ} (\frac{B}{2} สีน้ำตาล φ - \frac{1}{B} + \sqrt{{(\frac{B}{2} สีน้ำตาล φ - \frac{1}{B})}^{2} + 2 สีน้ำตาล φ \cdot เสื้อ} .)

$x = {1\over \tan \phi} \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} + \sqrt{ \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} \right)^2 + 2 \tan \phi \cdot t}. \right)$ ในทางตรงกันข้ามถ้า

\tan ϕ < 0

$\tan\phi < 0$ พาราโบลาคว่ำและเราสนใจส่วนที่เหลือ รูทที่จะเก็บนั้นต่ำที่สุด คำนึงถึงสัญลักษณ์ของ

\tan ϕ

$\tan\phi$ ปรากฏว่านี่เป็นรูทเดียวกัน (เช่นอันที่มี

+ \sqrt{Δ}

$+\sqrt\Delta$ ) มากกว่าในกรณีแรก

นี่คือรหัส R บางอย่าง

phi <- pi/8; B <- 2
f <- function(t) (-(1/B - 0.5*B*tan(phi)) + 
       sqrt( (1/B - 0.5*B*tan(phi))**2 + 2 * tan(phi) * t))/tan(phi)
hist(f(runif(1e6)))

และด้วย $\phi < 0$ :

phi <- -pi/8
hist(f(runif(1e6)))

— เอลวิส
แหล่งที่มา

ฉันทำผิดพลาดเพราะฉันตั้งมุมของฉันออกนอกขอบเขตฉันเข้าใจ แต่คำอธิบายของคุณว่าทำไมฉันควรหลีกเลี่ยงการใช้ตัวแก้ตัวเลข

F (x)

$F(x)$ ยังคงมีหมอกสำหรับฉัน คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมได้มั้ย id รักที่จะได้รับมัน

— Robert

@ Robert ฉันคิดว่ารหัสของคุณทำงานได้ดีถ้ามูลค่า

ϕ

$\phi$ ถูกต้อง. อย่างไรก็ตามมันจะป้องกันคุณจากการจับปัญหาที่อาจเกิดขึ้น (ถ้าไม่มีวิธีแก้ปัญหาอยู่ระหว่าง 0 ถึง

B

$B$ ? หรือถ้าทั้งสองวิธีแก้ปัญหาคืออะไร? หรือถ้าไม่มีวิธีแก้ปัญหาจริง ๆ ?) งานเพิ่มเติมเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้ตัวแก้ปัญหาสำเร็จรูปมีค่า

— Elvis