เหตุใดจึงมี -1 ในฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบเบต้า

การแจกแจงเบต้าปรากฏภายใต้การกำหนดค่าสองค่า (หรือที่นี่ )

หรือสิ่งที่ดูเหมือนว่าจะใช้บ่อยกว่าปกติ

แต่ทำไมถึงมี " $-1$ " ในสูตรที่สอง?

สูตรแรกดูเหมือนจะตรงกับการแจกแจงทวินามมากขึ้น

แต่"เห็น" จาก$p$ 'มุมมอง นี้เป็นที่ชัดเจนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในรุ่นเบต้าทวินามที่$\alpha$สามารถเข้าใจได้เป็นก่อนจำนวนความสำเร็จและ$\beta$เป็นก่อนที่จำนวนของความล้มเหลว

เหตุใดรูปแบบที่สองจึงได้รับความนิยมอย่างแน่นอนและเหตุผลเบื้องหลังคืออะไร อะไรคือผลกระทบของการใช้อย่างใดอย่างหนึ่งและตัวแปร (เช่นสำหรับการเชื่อมต่อที่มีการกระจายทวินาม)?

มันจะดีถ้ามีใครสามารถชี้ต้นกำเนิดของการเลือกดังกล่าวและข้อโต้แย้งเริ่มต้นเพิ่มเติมสำหรับมัน แต่มันไม่จำเป็นสำหรับฉัน

นี่คือเรื่องราวเกี่ยวกับดีกรีอิสระและพารามิเตอร์ทางสถิติและทำไมจึงเป็นเรื่องดีที่ทั้งสองมีการเชื่อมต่อโดยตรงที่เรียบง่าย

ในอดีตคำศัพท์" - 1 " ปรากฏอยู่ในการศึกษาของออยเลอร์เกี่ยวกับฟังก์ชันเบต้า เขาใช้การตั้งค่าพารามิเตอร์นั้นในปี 1763 และเป็นเช่นนั้น Adrien-Marie Legendre: การใช้งานของพวกเขาสร้างแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ตามมา งานนี้ antedates แอปพลิเคชันทางสถิติที่รู้จักทั้งหมด$-1$

ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยให้ตัวชี้วัดที่กว้างขวางผ่านความมั่งคั่งของการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวนและรูปทรงเรขาคณิตที่ " - 1 " แง่จริงมีความหมายบางอย่าง ฉันได้ร่างเหตุผลบางประการในการแสดงความคิดเห็นต่อคำถาม$-1$

สิ่งที่น่าสนใจยิ่งกว่าคือสิ่งที่ควรจะเป็นการกำหนดพารามิเตอร์เชิงสถิติ ที่ไม่ชัดเจนและไม่จำเป็นต้องเหมือนกับการประชุมทางคณิตศาสตร์ มีเว็บขนาดใหญ่ที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนั้นอนุสัญญาที่ใช้ในการตั้งชื่อ (นั่นคือพารามิเตอร์) หนึ่งครอบครัวมักจะหมายถึงการประชุมที่เกี่ยวข้องกับชื่อครอบครัวที่เกี่ยวข้อง เปลี่ยนการกำหนดพารามิเตอร์หนึ่งรายการและคุณจะต้องการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ดังนั้นเราอาจพิจารณาความสัมพันธ์เหล่านี้เพื่อหาเบาะแส

มีเพียงไม่กี่คนที่ไม่เห็นด้วยว่าครอบครัวการแจกจ่ายที่สำคัญที่สุดนั้นมาจากครอบครัวปกติ จำได้ว่าตัวแปรสุ่มXจะกล่าวว่าเป็น "ปกติกระจาย" เมื่อ( X - μ ) / σมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นF ( x )สัดส่วนกับประสบการณ์( - x 2 / 2 ) เมื่อσ = 1และμ = 0 , Xถูกกล่าวว่ามีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน$X$$(X-\mu)/\sigma$$f(x)$$\exp(-x^2/2)$$\sigma=1$$\mu=0$$X$

ชุดข้อมูลจำนวนมากx 1 , x 2 , … , x n ได้รับการศึกษาโดยใช้สถิติที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเกี่ยวข้องกับการรวมกันอย่างมีเหตุผลของข้อมูลและกำลังไฟต่ำ (โดยทั่วไปคือกำลังสอง) เมื่อข้อมูลเหล่านั้นถูกสร้างแบบจำลองเป็นตัวอย่างสุ่มจากการแจกแจงแบบปกติ - เพื่อให้แต่ละx ฉันถูกมองว่าเป็นการรับรู้ของตัวแปรปกติX i , Xทั้งหมดที่ฉันแบ่งปันการกระจายทั่วไปและเป็นอิสระ - การกระจายของสถิติเหล่านั้น ถูกกำหนดโดยการแจกแจงแบบปกตินั้น สิ่งที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติคือ$x_1, x_2, \ldots, x_n$$x_i$$X_i$$X_i$

1. t ν ,การแจกแจงของนักเรียน tด้วย ν = n - 1 "องศาอิสระ" นี่คือการแจกแจงของสถิติ t = ˉ $t_\nu$$t$$\nu = n-1$se ( X )โดยที่ ˉ X =(X1+X2+⋯+Xn)/nจำลองค่าเฉลี่ยของข้อมูลและse(X)=(1/

   $$t = \frac{\bar X}{\operatorname{se}(X)}$$ $\bar X = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n$$\operatorname{se}(X) = (1/\sqrt{n})\sqrt{(X_1^2+X_2^2 + \cdots + X_n^2)/(n-1) - \bar X^2}$ is the standard error of the mean. The division by $n-1$ shows that $n$ must be $2$ or greater, whence $\nu$ is an integer $1$ or greater. The formula, although apparently a little complicated, is the square root of a rational function of the data of degree two: it is relatively simple.

2. $\chi^2_\nu$, the $\chi^2$ (chi-squared) distribution with $\nu$ "degrees of freedom" (d.f.). This is the distribution of the sum of squares of $\nu$ independent standard Normal variables. The distribution of the mean of the squares of these variables will therefore be a $\chi^2$ distribution scaled by $1/\nu$: I will refer to this as a "normalized" $\chi^2$ distribution.

3. $F_{\nu_1, \nu_2}$, the $F$ ratio distribution with parameters $(\nu_1, \nu_2)$ is the ratio of two independent normalized $\chi^2$ distributions with $\nu_1$ and $\nu_2$ degrees of freedom.

Mathematical calculations show that all three of these distributions have densities. Importantly, the density of the $\chi^2_\nu$ distribution is proportional to the integrand in Euler's integral definition of the Gamma ($\Gamma$) function. Let's compare them:

This shows that twice a $\chi^2_\nu$ variable has a Gamma distribution with parameter $\nu/2$. The factor of one-half is bothersome enough, but subtracting $1$ would make the relationship much worse. This already supplies a compelling answer to the question: if we want the parameter of a $\chi^2$ distribution to count the number of squared Normal variables that produce it (up to a factor of $1/2$), then the exponent in its density function must be one less than half that count.

Why is the factor of $1/2$ less troublesome than a difference of $1$? The reason is that the factor will remain consistent when we add things up. If the sum of squares of $n$ independent standard Normals is proportional to a Gamma distribution with parameter $n$ (times some factor), then the sum of squares of $m$ independent standard Normals is proportional to a Gamma distribution with parameter $m$ (times the same factor), whence the sum of squares of all $n+m$ variables is proportional to a Gamma distribution with parameter $m+n$ (still times the same factor). The fact that adding the parameters so closely emulates adding the counts is very helpful.

If, however, we were to remove that pesky-looking "$-1$" from the mathematical formulas, these nice relationships would become more complicated. For example, if we changed the parameterization of Gamma distributions to refer to the actual power of $x$ in the formula, so that a $\chi^2_1$ distribution would be related to a "Gamma$(0)$" distribution (since the power of $x$ in its PDF is $1-1=0$), then the sum of three $\chi^2_1$ distributions would have to be called a "Gamma$(2)$" distribution. In short, the close additive relationship between degrees of freedom and the parameter in Gamma distributions would be lost by removing the $-1$ from the formula and absorbing it in the parameter.

Similarly, the probability function of an $F$ ratio distribution is closely related to Beta distributions. Indeed, when $Y$ has an $F$ ratio distribution, the distribution of $Z=\nu_1 Y/(\nu_1 Y + \nu_2)$ has a Beta$(\nu_1/2, \nu_2/2)$ distribution. Its density function is proportional to

Furthermore--taking these ideas full circle--the square of a Student $t$ distribution with $\nu$ d.f. has an $F$ ratio distribution with parameters $(1,\nu)$. Once more it is apparent that keeping the conventional parameterization maintains a clear relationship with the underlying counts that contribute to the degrees of freedom.

From a statistical point of view, then, it would be most natural and simplest to use a variation of the conventional mathematical parameterizations of $\Gamma$ and Beta distributions: we should prefer calling a $\Gamma(\alpha)$ distribution a "$\Gamma(2\alpha)$ distribution" and the Beta$(\alpha, \beta)$ distribution ought to be called a "Beta$(2\alpha, 2\beta)$ distribution." In fact, we have already done that: this is precisely why we continue to use the names "Chi-squared" and "$F$ Ratio" distribution instead of "Gamma" and "Beta". Regardless, in no case would we want to remove the "$-1$" terms that appear in the mathematical formulas for their densities. If we did that, we would lose the direct connection between the parameters in the densities and the data counts with which they are associated: we would always be off by one.

The notation is misleading you. There is a "hidden $-1$" in your formula $(1)$, because in $(1)$, $\alpha$ and $\beta$ must be bigger than $-1$ (the second link you provided in your question says this explicitly). The $\alpha$'s and $\beta$'s in the two formulas are not the same parameters; they have different ranges: in $(1)$, $\alpha,\beta>-1$, and in $(2)$, $\alpha,\beta>0$. These ranges for $\alpha$ and $\beta$ are necessary to guarantee that the integral of the density doesn't diverge. To see this, consider in $(1)$ the case $\alpha=-1$ (or less) and $\beta=0$, then try to integrate the (kernel of the) density between $0$ and $1$. Equivalently, try the same in $(2)$ for $\alpha=0$ (or less) and $\beta=1$.

For me, the existence of -1 in the exponent is related with the develpment of the Gamma function. The motivation of the Gamma function is to find a smooth curve to connect the points of a factorial $x!$. Since it is not possible to compute $x!$ directly if $x$ is not integer, the idea was to find a function for any $x \geq 0$ that satisfies the recurrence relation defined by the factorial, namely

$f(1)=1\\ f(x+1)=x \cdot f(x).$

Solution was by means of the convergence of an integral. For the function defined as

$f(x+1) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt,$

integration by parts provides the following:

$\begin{align} f(x+1) & = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt \\ & = \Big[-t^{x}e^{-x} \Big]^{\infty}_{0} + \displaystyle\int_{0}^{\infty} x\cdot t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= \lim_{x \to \infty} (-t^{x}e^{-x}) - 0 \cdot e^{-0} + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= 0 - 0 + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= x \cdot f(x) . \end{align}$

So, the function above satisfies this property, and the -1 in the exponent derives from the procedure of integration by parts. See the Wikipedia article https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function .

Edit: I apologise if my post is not fully clear; I am just trying to point that, in my idea, the existence of -1 in the beta distribution comes from the generalisation of the factorial by means of the Gamma function. There are two conditions: $f(1)=1$ and $f(x+1)=x \cdot f(x)$. We have $\Gamma(x) = (x-1)!$, therefore it satisfies $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x) = x \cdot (x-1)! = x!$. In addition, we have $\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1$. As for the beta distribution with parameters $\alpha, \beta$, generalisation of the Binomial coefficient is $\dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \cdot \Gamma(\beta)} = \dfrac{(\alpha + \beta - 1)!}{(\alpha-1)! \cdot (\beta-1)!}$. There we have the -1 in the denominator, for both parameters.