จะคำนวณช่วงความมั่นใจสำหรับอัตราส่วนอย่างไร

พิจารณาการทดลองที่ให้อัตราส่วนระหว่าง 0 ถึง 1 ว่าการรับอัตราส่วนนี้ไม่ควรเกี่ยวข้องในบริบทนี้อย่างไร มันเป็นเนื้อหาในรุ่นก่อนหน้าของคำถามนี้แต่เอาออกเพื่อความชัดเจนหลังจากการอภิปรายเกี่ยวกับเมตา$X_i$

การทดลองนี้ซ้ำครั้งในขณะที่nมีขนาดเล็ก (ประมาณ 3-10) X ฉันจะถือว่าเป็นอิสระและกันกระจาย จากนี้เราคาดว่าค่าเฉลี่ยโดยการคำนวณค่าเฉลี่ย¯ Xแต่วิธีการในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นที่สอดคล้องกัน[ U , V ] ?$n$$n$$X_i$$\overline X$$[U,V]$

เมื่อใช้วิธีมาตรฐานในการคำนวณช่วงความมั่นใจบางครั้งมีขนาดใหญ่กว่า 1 อย่างไรก็ตามปรีชาของฉันคือช่วงความมั่นใจที่ถูกต้อง ...$V$

1. ... ควรอยู่ในช่วง 0 และ 1
2. ... ควรเล็กลงด้วยการเพิ่ม$n$
3. ... เป็นลําดับตามลําดับที่คํานวณโดยใช้วิธีมาตรฐาน
4. ... คำนวณโดยวิธีทางเสียงเชิงคณิตศาสตร์

สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ข้อกำหนดที่แน่นอน แต่อย่างน้อยฉันก็ต้องการที่จะเข้าใจว่าทำไมสัญชาตญาณของฉันจึงผิด

การคำนวณตามคำตอบที่มีอยู่

ในต่อไปนี้ช่วงความเชื่อมั่นที่เกิดจากคำตอบที่มีอยู่เมื่อเทียบสำหรับ }$\{X_i\} = \{0.985,0.986,0.935,0.890,0.999\}$

วิธีการมาตรฐาน (aka "คณิตศาสตร์ของโรงเรียน")

,σ2=0.0204ดังนั้นช่วงความเชื่อมั่น 99% คือ[0.865,1.053] สิ่งนี้ขัดแย้งกับสัญชาตญาณ 1$\overline X = 0.959$$\sigma^2 = 0.0204$$[0.865,1.053]$

การครอบตัด (แนะนำโดย @soakley ในความคิดเห็น)

เพียงใช้วิธีมาตรฐานจากนั้นให้เนื่องจากผลลัพธ์นั้นง่ายต่อการทำ แต่เราอนุญาตให้ทำเช่นนั้นได้หรือไม่ ฉันยังไม่มั่นใจว่าขอบเขตล่างล่างคงที่ (-> 4. )$[0.865,1.000]$

Logistic Regression Model (แนะนำโดย @Rose Hartman)

ข้อมูล Transformed: ส่งผล[ 0.173 , 7.87 ]เปลี่ยนมันกลับส่งผลให้[ 0.543 , 0.999 ] เห็นได้ชัดว่า 6.90 เป็นสิ่งที่เกินค่าสำหรับข้อมูลที่ถูกแปลงในขณะที่ 0.99 นั้นไม่ใช่ข้อมูลที่ไม่ได้ทำการแปลซึ่งส่งผลให้เกิดช่วงความมั่นใจที่มีขนาดใหญ่มาก (-> 3. )$\{4.18,4.25,2.09,2.66,6.90\}$$[0.173,7.87]$$[0.543,0.999]$

ช่วงความมั่นใจสัดส่วนทวินาม (แนะนำโดย @Tim)

วิธีการดูค่อนข้างดี แต่น่าเสียดายที่มันไม่เหมาะกับการทดสอบ เพียงรวมผลลัพธ์และตีความว่าเป็นการทดลอง Bernoulli ขนาดใหญ่ที่ซ้ำแล้วซ้ำอีกตามที่แนะนำโดย @ZahavaKor ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

จาก 5 * 1000รวม ป้อนสิ่งนี้ใน Adj เครื่องคิดเลขให้ Wald [ 0.9511 , 0.9657 ] สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่เหมือนจริงเพราะไม่มี X iเดียวอยู่ในช่วงเวลานั้น! (-> 3. )$985+986+890+935+999 = 4795$$5*1000$$[0.9511,0.9657]$$X_i$

Bootstrapping (แนะนำโดย @soakley)

$n=5$$\frac{3093}{3125} = 0.99$$[0.91,0.99]$$[min(X_i),max(X_i)]$$n$

ขั้นแรกเพื่อชี้แจงสิ่งที่คุณกำลังเผชิญไม่ใช่การกระจายตัวแบบทวินามตามที่คำถามของคุณแนะนำ (คุณอ้างถึงเป็นการทดลองแบบเบอนูลลี) การแจกแจงแบบทวินามนั้นไม่ต่อเนื่องผลลัพธ์ที่ได้ก็คือความสำเร็จ ผลลัพธ์ของคุณคืออัตราส่วนในแต่ละครั้งที่คุณทำการทดสอบไม่ใช่ชุดของความสำเร็จและความล้มเหลวที่คุณจะคำนวณอัตราส่วนสรุปหนึ่ง ด้วยเหตุนี้วิธีการคำนวณช่วงความมั่นใจในสัดส่วนทวินามจะทำให้ข้อมูลของคุณทิ้งไปเป็นจำนวนมาก และคุณก็ยังถูกต้องว่ามันเป็นปัญหาในการปฏิบัติต่อสิ่งนี้ราวกับว่ามันถูกแจกจ่ายตามปกติเนื่องจากคุณสามารถรับ CI ที่ขยายช่วงของตัวแปรที่เป็นไปได้

ฉันแนะนำให้คิดถึงเรื่องนี้ในแง่ของการถดถอยโลจิสติก ใช้แบบจำลองการถดถอยโลจิสติกด้วยตัวแปรอัตราส่วนของคุณเป็นผลลัพธ์และไม่มีตัวทำนาย การสกัดกั้นและ CI ของมันจะให้สิ่งที่คุณต้องการในการบันทึกและจากนั้นคุณสามารถแปลงกลับเป็นสัดส่วน นอกจากนี้คุณยังสามารถทำการแปลงโลจิสติกได้ด้วยตัวเองคำนวณ CI จากนั้นแปลงกลับเป็นระดับเดิม หลามของฉันแย่มาก แต่นี่เป็นวิธีที่คุณทำได้ใน R:

set.seed(24601)
data <- rbeta(100, 10, 3)
hist(data)

data_logits <- log(data/(1-data)) 
hist(data_logits)

# calculate CI for the transformed data
mean_logits <- mean(data_logits)
sd <- sd(data_logits)
n <- length(data_logits)
crit_t99 <- qt(.995, df = n-1) # for a CI99
ci_lo_logits <- mean_logits - crit_t * sd/sqrt(n)
ci_hi_logits <- mean_logits + crit_t * sd/sqrt(n)

# convert back to ratio
mean <- exp(mean_logits)/(1 + exp(mean_logits))
ci_lo <- exp(ci_lo_logits)/(1 + exp(ci_lo_logits))
ci_hi <- exp(ci_hi_logits)/(1 + exp(ci_hi_logits))

นี่คือขอบเขตล่างและบนบน CI 99% สำหรับข้อมูลเหล่านี้:

> ci_lo
[1] 0.7738327
> ci_hi
[1] 0.8207924

คุณอาจต้องการลอง resampling / bootstrapping อีกครั้ง ลองดูกรณีง่าย ๆ ที่คุณพูดถึง

ด้วยจุดข้อมูล 3 จุดที่ 0.99, 0.94 และ 0.94 คุณจะไม่ทำการสุ่มใหม่เลยเพราะคุณสามารถแสดงรายการการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด 27 รายการหาค่าเฉลี่ยในแต่ละกรณีแล้วเรียงลำดับค่าเฉลี่ย

$25/27=$$26/27=$

$n$

คำถามที่นี่: เราจะสร้างช่วงความมั่นใจสำหรับพารามิเตอร์ของการทดสอบการเปลี่ยนแปลงได้อย่างไร ให้รายละเอียดเพิ่มเติมรวมถึงรหัส R

ช่วงความเชื่อมั่นแบบทวินามเป็นหัวข้อถกเถียงทางสถิติมาเป็นเวลานาน ปัญหาของคุณพิจารณาอัตราส่วนน้อยกว่า 100% แต่จะกลายเป็นปัญหามากยิ่งขึ้นถ้าเราใช้ 100% วิธีหนึ่งที่ชาญฉลาดในการถามคำถามคือ:

เมื่อดวงอาทิตย์ขึ้นโดยไม่ล้มเหลวทุกวันตลอด 2,000 ปีที่ผ่านมาความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในวันพรุ่งนี้คืออะไร

$p=1$

มีหลายวิธีในการคำนวณก้อยเหล่านี้ ฉันขอแนะนำให้ตรวจสอบWikipediaเพื่อหาคณิตศาสตร์หรือหากคุณต้องการคำตอบให้ค้นหาเครื่องคำนวณช่วงทวินามแบบนี้ (ซึ่งมีคำอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์อยู่ข้างหลัง)

วิธีการแบบเบย์:

$B$$B$