เหตุใดค่าที่คาดหมายจึงตั้งชื่อเช่นนั้น

ฉันเข้าใจว่าเราได้ 3.5 เป็นค่าที่คาดไว้สำหรับการรีดแม่พิมพ์ 6 ด้านที่ยุติธรรม แต่โดยสัญชาตญาณฉันสามารถคาดหวังให้แต่ละหน้ามีโอกาสเท่ากันที่ 1/6

ดังนั้นค่าที่คาดหวังของการรีดตายไม่ควรเป็นหนึ่งในจำนวนระหว่าง 1-6 ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันหรือ

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อถามคำถามว่าอะไรคือค่าคาดหวังของการขว้างปา 6-fair ที่ยุติธรรม? ใครควรตอบว่า 'โอ้มันอาจเป็นอะไรก็ได้ระหว่าง 1-6 โดยมีโอกาสเท่ากัน' แทนที่จะเป็น 3.5
ในสังหรณ์โลกแห่งความเป็นจริงมีใครสามารถอธิบายได้ว่าคุณค่าที่ฉันควรคาดหวังในการขว้างปา 3.5 นั้นมีค่าอย่างไร?
อีกครั้งฉันไม่ต้องการสูตรหรือแหล่งที่มาสำหรับความคาดหวัง

ลองนึกภาพว่าคุณอยู่ในปารีสเมื่อปี 1654 และคุณและเพื่อนของคุณกำลังเล่นเกมการพนันโดยดูจากการทอยลูกเต๋าหกด้าน ตอนนี้การพนันเป็นสิ่งผิดกฎหมายอย่างมากและประติมากรรมโดยผู้พิทักษ์นั้นค่อนข้างบ่อยและการถูกจับที่โต๊ะที่มีกองกองอยู่ก็คือการรับประกันว่าจะมีข้อ จำกัด อันยาวนานใน Chateau d'If

ในการหลีกเลี่ยงปัญหานี้คุณและเพื่อนของคุณมีข้อตกลงของสุภาพบุรุษเกี่ยวกับการเดิมพันระหว่างคุณสองคนก่อนที่จะมีการทอยลูกเต๋าครั้งสุดท้าย เขาตกลงที่จะจ่ายเงินให้คุณห้าชีวิตถ้าคุณสังเกตเห็นสองแต้มในลูกเต๋าห้าลูกถัดไปและคุณตกลงที่จะจ่ายเงินให้เขาในจำนวนเดียวกันถ้ามีสองตัวถูกกลิ้งโดยไม่มีการดำเนินการอื่นใดหากชุดค่าผสมเหล่านี้ไม่เกิดขึ้น

ทีนี้ม้วนสุดท้ายคือหกดังนั้นคุณจึงอยู่ที่ขอบที่นั่งของคุณ ในขณะนี้ทหารติดอาวุธหนักบุกเข้าไปในถ้ำและจับกุมทุกคนที่โต๊ะและฝูงชนก็แยกย้ายกันไป

เพื่อนของคุณเชื่อว่าการเดิมพันที่เกิดขึ้นระหว่างคุณสองคนนั้นไม่ถูกต้อง อย่างไรก็ตามคุณเชื่อว่าเขาควรจ่ายเงินจำนวนหนึ่งให้คุณเนื่องจากหนึ่งในหกได้รับการรีดแล้ว อะไรคือวิธีที่ยุติธรรมในการจัดการกับข้อพิพาทนี้ระหว่างคุณสองคน?

(นี่คือการตีความของฉันเกี่ยวกับต้นกำเนิดของมูลค่าที่คาดหวังตามที่นำเสนอในที่นี้และพูดคุยโดยละเอียดยิ่งขึ้นที่นี่ )

ลองตอบคำถามมูลค่ายุติธรรมแบบนี้กันเถอะ จำนวนเงินที่เพื่อนของคุณควรจ่ายให้คุณสามารถคำนวณได้ในลักษณะดังต่อไปนี้ พิจารณาลูกเต๋าสี่ลูกที่เป็นไปได้ทั้งหมด ชุดม้วนบางชุด (คือชุดที่มีอย่างน้อยหนึ่งหก) จะส่งผลให้เพื่อนของคุณจ่ายเงินตามจำนวนที่ตกลงกัน อย่างไรก็ตามในชุดอื่น ๆ (กล่าวคือชุดที่ไม่มีหก) จะส่งผลให้คุณไม่ได้รับเงิน คุณจะรักษาสมดุลความเป็นไปได้ของการม้วนสองประเภทนี้อย่างไร ง่ายเฉลี่ยจำนวนเงินที่คุณจะได้รับการจ่ายมากกว่าม้วนที่เป็นไปได้ทั้งหมด

อย่างไรก็ตามเพื่อนของคุณ (ไม่น่าจะเป็นไปได้) ยังสามารถชนะเดิมพันของเขาได้! คุณต้องพิจารณาจำนวนครั้งที่สองจะถูกทอยในสี่ลูกเต๋าที่เหลือและเฉลี่ยจำนวนเงินที่คุณจะจ่ายให้เขากับจำนวนของม้วนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสี่ลูกเต๋า นี่คือจำนวนเงินที่ยุติธรรมที่คุณควรจ่ายให้เพื่อนของคุณสำหรับการเดิมพันของเขา ดังนั้นจำนวนเงินที่คุณได้รับคือจำนวนเงินที่เพื่อนของคุณควรจ่ายให้คุณลบด้วยสิ่งที่คุณควรจ่ายให้เพื่อน

นี่คือเหตุผลที่เราเรียกว่า "มูลค่าที่คาดหวัง" เป็นจำนวนเฉลี่ยที่คุณคาดว่าจะได้รับหากคุณสามารถจำลองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในจักรวาลหลาย ๆ ดวงพร้อมกัน

คำถามที่ยอดเยี่ยม มันบอบบางกว่าที่ดูในตอนแรก มันเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์สุ่มและตัวแปรสุ่ม (ตัวเลข, ค่า) ความสับสนของคุณเกิดจากการผสมผสานทั้งสองแนวคิดที่เกี่ยวข้อง แต่แตกต่างกัน

เริ่มจากเหตุการณ์กันก่อน จากวิธีที่คุณกำหนดคำถามของคุณปรากฏว่าคุณพิจารณาถึงผลลัพธ์ของการโยนลูกเต๋าเหตุการณ์ มันสุ่มดังนั้นคุณอาจได้หนึ่งในหกด้านของมันโดยมีโอกาสเท่ากันตามที่คุณเขียน มันทำให้รู้สึกสมบูรณ์แบบ

ค่าคาดหวังของการทดสอบนี้คืออะไร ความคาดหวังถูกกำหนดไว้สำหรับตัวแปรสุ่ม (ค่า) ไม่ใช่เหตุการณ์ สำหรับคุณหมายเลข 1 ถึง 6 บนลูกเต๋าเป็นเพียงวิธีในการแยกแยะด้านข้าง (ในบริบทของการตั้งคำถามของคุณ) ลองนึกภาพคุณใช้ตัวอักษรแทน: A, B, C, D, E และ F แทนที่ตัวเลขด้วยตัวอักษรและทำซ้ำคำถามของคุณดังนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อถามคำถาม 'อะไรคือคุณค่าที่คาดหวังในการขว้างปา 6-fair ที่ยุติธรรม' ใครควรตอบว่า 'โอ้มันอาจเป็นอะไรก็ได้ระหว่าง A และ F โดยมีโอกาสเท่ากัน'

ทีนี้ลองหาค่าที่คาดหวัง มันไม่ได้กำหนดไว้!

ความคาดหวังปรากฏขึ้นเมื่อคุณกำหนดค่าแบบสุ่มเช่น 1 ถึง 6 คุณจับคู่ค่ากับพื้นที่เหตุการณ์ตัวอย่างเช่นคุณกำหนดด้าน A คือ 1, ด้าน B คือ 2 เป็นต้นตอนนี้คุณมีตัวเลข 6 ตัวและสามารถ คำนวณความคาดหวังซึ่งเกิดขึ้นเป็น 3.5

"ค่าแต่ละค่ามีแนวโน้มเท่ากัน" หรือ "ค่าที่มีโอกาสมากที่สุด" คือนิยามของโหมดไม่ใช่ค่าที่คาดหวัง

ลองนึกภาพเรากำลังเล่นเกมโยนเหรียญ แต่ละครั้งที่ผมโยนหัวผมให้คุณ 1 $แต่ละครั้งที่ผมโยนหางคุณให้ฉัน 1 $ คุณคาดหวังเงินเท่าไหร่ที่จะชนะหรือแพ้ในระยะยาว ? จำนวนเงินเท่ากันความน่าจะเป็นของการขว้างพวกเขามีค่าเท่ากันค่าที่คาดหวังคือศูนย์

มูลค่าที่คาดว่าจะเรียกว่าเพราะถ้าคุณเฉลี่ยม้วนลูกเต๋าทั้งหมดที่คุณคาดว่าจะได้รับนี้คาดว่าค่าตัวในระยะยาว ค่าที่คาดหวังไม่เกี่ยวข้องกับการทอยลูกเต๋าแบบเดี่ยวใด ๆ

จากมุมมองทางประวัติศาสตร์แนวคิดดูเหมือนว่าจะปรากฏในประเทศต่าง ๆ ดังนั้นฉันจะพิจารณาการใช้คำนี้เป็นคอนเวอร์เจนซ์ที่สะดวกระหว่างแนวคิดที่คล้ายกันข้ามภาษา

จุดเริ่มต้นของฉันคือการใช้สัญลักษณ์ที่ดี ที่สุดในความน่าจะเป็นและสถิติ :

ความคาดหวัง. สคริปต์ E ขนาดใหญ่ถูกใช้สำหรับความคาดหวังในการเลือกตำราเรียนที่เป็นที่รู้จักกันดีของ WA Whitworth และโอกาส (รุ่นที่ห้า) ในปี 1901 แต่ไม่มีทั้งสัญลักษณ์และแคลคูลัสแห่งความคาดหวังกลายเป็นที่ยอมรับในวรรณคดีอังกฤษจนกระทั่งในภายหลัง ตัวอย่างเช่น Rietz Mathematical Statistics (1927) ใช้สัญลักษณ์ E และแสดงความคิดเห็นว่า "ค่าที่คาดหวังของตัวแปรเป็นแนวคิดที่มีการใช้มากโดยนักเขียนชาวยุโรปหลายคน ... " สำหรับนักเขียนชาวยุโรปในทวีปยุโรป E "Erwartung" หรือ " espérance (หมายเหตุบรรณาธิการ: mathématique) "

บางครั้งคำว่า "มาจาก" Huyghens ซึ่งถูกกล่าวถึงใน Huygens Foundations Of Probability :

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าความน่าจะเป็นตามความคาดหวังของ Huygens อย่างไรก็ตามคำว่า "ความคาดหวัง" นั้นเกิดจากคำแปลภาษาละตินของ Van-Schooten ในตำรา Huygens การแปลความหมายตามตัวอักษรของข้อความภาษาดัตช์ของ Huygens แสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นว่าสิ่งที่ Huygens หมายถึงจริงและวิธีการที่เขาดำเนินการต่อไป

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแฟร์มาต์, ปาสคาลสามารถพบได้ในความคาดหวังและ probabilists

ที่น่าสนใจแนวคิดทั่วไปมากกว่ามูลค่าที่คาดว่าจะเป็นที่ตั้งของ ดังนั้นแนวคิดของมูลค่าที่คาดว่าจะมีความหมายลึกซึ้งที่ค่อนข้างสับสน

มีเหตุผลที่จะถามว่าการมี 3.5 เป็นสิ่งใดที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่คาดการณ์ไว้สำหรับการตาย คำตอบก็คือแม้ว่าค่าเฉลี่ยของลูกเต๋ารีดผลลัพธ์คือ 3.5 ที่แนวคิดค่าที่คาดหวังเพียงหมายถึงค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยและเป็นเพียงความคาดหวังสำหรับการเรียนที่ จำกัด ของฟังก์ชั่นที่เฉพาะเจาะจงกับคำถามที่นี่ไม่รวมถึงการตายกลิ้ง ผลลัพธ์ พูดอีกอย่างคือถึงแม้ว่าค่าเฉลี่ยการหมุนคือ 3.5 แล้วอะไรล่ะ? จริงอยู่เราสามารถประดิษฐ์บริบท (ในบางจักรวาลสำรอง) ซึ่งค่าเฉลี่ยมีความหมาย แต่ผลลัพธ์ที่ตาย$\leq 3$ จ่าย $\$1$และผลลัพธ์ $\geq 4$ สูญเสีย $ 1, ทำงานได้ดีเท่ากับค่าเฉลี่ย, ด้วยความได้เปรียบของการมีผลลัพธ์ในจักรวาลนี้

สาเหตุของการเชื่อมโยงที่ จำกัด อย่างยิ่งระหว่างคำว่า "ค่าที่คาดหวัง" และ "ค่าเฉลี่ย" ดูเหมือนจะเป็นเชิงประวัติศาสตร์แทนที่จะเป็นความหมายที่ถูกต้องหรือแม้กระทั่งโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นั่นคือบริบทที่ค่าที่คาดหวังจากการคำนวณมีความสอดคล้องกับความคาดหวังของพฤติกรรมการกำหนดลักษณะที่ตั้งในชุดข้อมูลนั้น จำกัด ไว้เฉพาะการแจกแจงบางอย่างของข้อมูลเท่านั้น

ว่านี่คือประวัติศาสตร์ได้รับการสนับสนุนโดยความคิดของช่วงเวลาทางสถิติ เป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางครั้งแรกจนถึงมาตรฐานที่ทันสมัยของความเข้มงวดนั้นได้รับจาก Chebyshev ในปี 1887 ข้อโต้แย้งของเขาได้แนะนำวิธีการของช่วงเวลา . ตอนนี้เป็นครั้งแรกของ$f$ก็เพื่อเซฟค่าเฉลี่ยของชุดโบเรล แนวคิดของค่าเฉลี่ยจึงเป็นค่าที่คาดหวังสำหรับการแจกแจงแบบปกตินั่นคือฟังก์ชันความหนาแน่นซึ่งทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางใช้กับจึงสามารถนำไปใช้กับ Chebyshev 1887 ได้เช่นนี้คือความแข็งแกร่งของทฤษฎีขีด จำกัด กลางที่มันกลายมาเป็นวงเล็บ นิพจน์เพื่อเชื่อมโยงค่าที่คาดหวังกับค่าเฉลี่ยซึ่งตรงข้ามกับการวัดที่ตั้งโดยทั่วไปที่มากกว่า

แต่สิ่งที่เกี่ยวกับการแจกแจงข้อมูลที่ไม่ปกติซึ่งมาตรการอื่น ๆ มีความเสถียรมากกว่าและ / หรือเป็นตัวแทนของข้อมูลนั้นมากกว่า ตัวอย่างเช่นค่าช่วงกลางหรือค่าสุดขีดเฉลี่ยของข้อมูลจากการแจกแจงแบบสม่ำเสมอนั้นแม่นยำและมีเสถียรภาพมากขึ้นนั่นคือความแม่นยำและการลู่เข้าเร็วกว่าค่าเฉลี่ยหรือค่ามัธยฐานของการแจกแจงนั้น สำหรับการแจกแจงแบบล็อกปกติเช่นข้อมูลการรักษาจำนวนมากการต่อต้านการบันทึกค่าเฉลี่ยของลอการิทึมของข้อมูล (AKA หมายถึงเรขาคณิตเช่นข้อมูลรายได้ปานกลาง) แทนที่จะเป็นค่าเฉลี่ยของข้อมูล (เช่นค่าเฉลี่ยรายได้) ) จะบ่งบอกถึงสิ่งที่ความคิดของแต่ละบุคคล (หรือตัวเลขที่คาดการณ์ไว้) ที่จะแทรกเข้าไปในข้อมูลนั้นอาจเป็นผลลัพธ์ที่คาดการณ์ไว้ สิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันดีในวลีนี้ว่า "ฉันคาดหวังเงินเดือน 5 ร่าง" นี่คือตัวอย่างของสิ่งนี้สำหรับรายได้จริง อีกตัวอย่างหนึ่งการแจกแจงแบบพาเรโต้ยังใช้สำหรับการคำนวณรายได้ ( ดูกฎหมาย 80/20และข้อมูลรายได้สูง ) มักจะมีค่าที่คาดไม่ถึง (ช่วงเวลาแรกที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$ เมื่อ $\alpha \leq 1$) เช่นนั้นสำหรับการแจกแจงดังกล่าวจะเป็นความผิดพลาดในการคาดการณ์ผลลัพธ์ที่จะเป็นค่าที่คาดหวัง ในกรณีดังกล่าวให้ดูการกระจาย Paretoค่ามัธยฐานค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าฮาร์มอนิกเป็นการวัดที่ตั้งที่ดีกว่าไม่ใช่เพียงเพราะ$\alpha \leq 1$ ความต้องการถูกลบ แต่ยังเพราะพวกเขาเป็นตัวแปรน้อยแม้เมื่อ $\alpha \gt 1$. ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถพบได้ที่นี่ในClauset A, Shalizi CR, Newman ME การแจกแจงพลังงาน - กฎหมายในข้อมูลเชิงประจักษ์ ตรวจสอบ SIAM 2009; 51: 661-703และที่นี่