ข้อผิดพลาดที่กระจายตามปกติและทฤษฎีขีด จำกัด กลาง

ในเศรษฐศาสตรเบื้องต้นของ Wooldridge มีข้อความอ้างอิง:

ข้อโต้แย้งที่แสดงให้เห็นถึงการแจกแจงปกติสำหรับข้อผิดพลาดมักจะทำสิ่งนี้: เพราะเป็นผลรวมของปัจจัยที่ไม่ได้สังเกตเห็นหลายอย่างที่มีผลต่อเราจึงสามารถเรียกทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเพื่อสรุปว่ามีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ$u$$y$$u$

คำพูดนี้เกี่ยวข้องกับหนึ่งในสมมติฐานโมเดลเชิงเส้นคือ:

$u \sim N(μ, σ^2)$

โดยที่$u$คือคำผิดพลาดในตัวแบบประชากร

ทีนี้เท่าที่ฉันรู้ทฤษฎีขีด จำกัด กลางระบุว่าการกระจายตัวของ

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(โดยที่$\overline{Y_i}$ เป็นค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างสุ่มจากประชากรใด ๆ ที่มีค่าเฉลี่ย$μ$และความแปรปรวน$σ^2$ )

วิธีการที่ของตัวแปรปกติมาตรฐาน$n \rightarrow \infty$\

คำถาม:

ช่วยฉันเข้าใจว่ามาตรฐานความเป็นซีมโทติคของ$Z_i$หมายถึง$u \sim N(μ, σ^2)$

เรื่องนี้อาจจะดีขึ้นโดยการแสดงผลของ CLT ในแง่ของจำนวนสุ่มตัวแปร iid เรามี

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

คูณผลหารด้วยและใช้ความจริงที่ว่าเพื่อรับ$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

ตอนนี้เพิ่มไปยัง LHS และใช้ความจริงที่เพื่อรับ$\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

สุดท้ายคูณด้วยและใช้ผลลัพธ์สองข้อข้างต้นเพื่อดูว่า$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

และสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำสั่งของ Wooldridge? ทีนี้, ถ้าความผิดพลาดคือผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายตัวของ iidมันจะกระจายตัวแบบปกติประมาณเท่าที่เห็น แต่มีปัญหาที่นี่คือว่าปัจจัยที่ไม่ได้สังเกตเห็นจะไม่จำเป็นต้องมีการกระจายตัวเหมือนกันและพวกเขาอาจไม่ได้เป็นอิสระ!

อย่างไรก็ตาม CLT ได้รับการขยายไปสู่ตัวแปรสุ่มที่ไม่กระจายตัวแบบอิสระและแม้กระทั่งกรณีของการพึ่งพาอาศัยกันเล็กน้อยภายใต้เงื่อนไขปกติเพิ่มเติมบางอย่าง เหล่านี้เป็นหลักเงื่อนไขที่รับประกันได้ว่าในระยะรวมไม่มีบารมีของสัดส่วนการกระจาย asymptotic ดูยังหน้าวิกิพีเดีย CLT คุณไม่จำเป็นต้องรู้ผลลัพธ์เหล่านี้แน่นอน จุดมุ่งหมายของ Wooldridge เป็นเพียงการให้สัญชาตญาณ

หวังว่านี่จะช่วยได้