2SLS นั้นได้รับการจำแนกโดยชอบธรรม

ในเศรษฐมิติที่ไม่เป็นอันตรายส่วนใหญ่: สหายของนักประจักษ์ (Angrist and Pischke, 2009: หน้า 209) ฉันได้อ่านสิ่งต่อไปนี้:

( ... ) ในความเป็นจริง 2SLS เพียงระบุ (พูด, ประมาณการ Wald ง่าย) จะอยู่ที่ประมาณเป็นกลาง นี่เป็นเรื่องยากที่จะแสดงอย่างเป็นทางการเพราะ 2SLS ที่เพิ่งระบุมีช่วงเวลาไม่นาน (เช่นการกระจายตัวตัวอย่างมีหางอ้วน) อย่างไรก็ตามถึงแม้จะมีเครื่องมือที่อ่อนแอ แต่ 2SLS ที่เพิ่งได้รับการระบุก็ยังมีศูนย์กลางอยู่ที่ควร ดังนั้นเราจึงกล่าวว่า 2SLS ที่เพิ่งระบุมีค่ามัธยฐาน ( ... )

แม้ว่าผู้เขียนบอกว่า 2SLS เพียงระบุเป็นค่ามัธยฐาน-เป็นกลางพวกเขาไม่พิสูจน์มันมิได้ให้การอ้างอิงถึงหลักฐาน ที่หน้า 213 พวกเขากล่าวถึงข้อเสนออีกครั้ง แต่ไม่มีการอ้างอิงถึงข้อพิสูจน์ นอกจากนี้ฉันไม่สามารถหาแรงจูงใจสำหรับข้อเสนอในบันทึกการบรรยายของพวกเขาเกี่ยวกับตัวแปรเครื่องมือจาก MIT , หน้า 22

เหตุผลอาจเป็นไปได้ว่าเรื่องที่เป็นเท็จตั้งแต่พวกเขาปฏิเสธมันในข้อความในบล็อกของพวกเขา อย่างไรก็ตาม 2SLS ที่เพิ่งได้รับการระบุนั้นมีค่ามัธยฐานโดยประมาณโดยประมาณพวกเขาเขียน พวกเขากระตุ้นสิ่งนี้โดยใช้การทดลอง Monte-Carlo ขนาดเล็ก แต่ไม่มีการพิสูจน์การวิเคราะห์หรือการแสดงออกในรูปแบบปิดของคำผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการประมาณ อย่างไรก็ตามนี่คือการตอบกลับของผู้เขียนถึงศาสตราจารย์ Gary Solon จาก Michigan State University ที่ให้ความเห็นว่า 2SLS ที่เพิ่งระบุไม่ได้เป็นค่ามัธยฐาน

คำถามที่ 1: คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า 2SLS ที่ได้รับการระบุเพียงอย่างเดียวนั้นไม่ได้เป็นค่ามัธยฐานโดย Gary Solon โต้แย้ง?

คำถามที่ 2: คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า 2SLS ที่เพิ่งได้รับการระบุนั้นมีค่ามัธยฐานโดยประมาณที่ Angrist และ Pischke โต้แย้ง

สำหรับคำถามที่ 1 ฉันกำลังมองหาตัวอย่าง สำหรับคำถามที่ 2 ฉัน (โดยหลักแล้ว) กำลังมองหาหลักฐานหรือการอ้างอิงถึงหลักฐาน

ฉันกำลังมองหาความหมายอย่างเป็นทางการของค่ามัธยฐานเป็นกลางในบริบทนี้ ฉันเข้าใจแนวคิดดังต่อไปนี้: การประมาณการของขึ้นอยู่กับบางชุดของตัวแปรสุ่มเป็นมัธยฐานเป็นกลางสำหรับถ้าและเพียง ถ้าการกระจายของมีค่ามัธยฐาน\ $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$ $X_{1:n}$ $n$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$

หมายเหตุ

ในรูปแบบที่เพิ่งระบุจำนวนของ regressors ภายนอกเท่ากับจำนวนของเครื่องมือ
กรอบการอธิบายตัวแปรตัวแปรแบบเพิ่งระบุอาจแสดงดังนี้แบบจำลองเชิงสาเหตุของความสนใจและสมการขั้นตอนแรกคือ โดยที่คือเมทริกซ์ที่อธิบาย endogenous regressors และตัวแปรเครื่องมืออธิบายโดยเมทริกซ์ . นี่เพียงอธิบายตัวแปรควบคุมจำนวนหนึ่ง (เช่นเพิ่มเพื่อปรับปรุงความแม่นยำ) และและเป็นข้อผิดพลาด
$\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} Y & = X β + W γ + u \\ X & = Z δ + W ζ + v \end{cases} \end{matrix}$ $\begin{cases} Y&=X\beta+W\gamma+u \\ X&=Z\delta+W\zeta+v \end{cases}\tag{1}$ $X$ $k\times n+1$ $k$ $k\times n+1$ $Z$ $W$ $u$ $v$
เราประมาณในโดยใช้ 2SLS: ประการแรกถอยบนเพื่อควบคุมและรับค่าที่คาดการณ์ ; นี่เรียกว่าด่านแรก ประการที่สองถอยหลังบนควบคุม ; สิ่งนี้เรียกว่าขั้นตอนที่สอง ค่าสัมประสิทธิ์การประมาณการในขั้นตอนที่สองคือ 2SLS ประมาณการของเรา\ $\beta$ $(1)$ $X$ $Z$ $W$ $\hat{X}$ $Y$ $\hat{X}$ $W$ $\hat{X}$ $\beta$
ในกรณีที่ง่ายที่เรามีรูปแบบและเครื่องดนตรีภายนอก regressorกับz_iในกรณีนี้การประมาณ 2SLS ของคือที่หมายถึงความแปรปรวนตัวอย่างระหว่างและBเราอาจทำให้ :โดยที่ ,และ
$y_{i} = α + β x_{i} + u_{i}$ $y_i=\alpha+\beta x_i+u_i$ $x_i$ $z_i$ $\beta$ $\begin{matrix} (2) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{s_{Z Y}}{s_{Z X}}, \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{s_{ZY}}{s_{ZX}}\tag{2},$ $s_{AB}$ $A$ $B$ $(2)$ $\begin{matrix} (3) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{\sum_{i} (y_{i} - \bar{y}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} = β + \frac{\sum_{i} (u_{i} - \bar{u}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}=\beta+\frac{\sum_i(u_i-\bar{u})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}\tag{3}$ $\bar{y}=\sum_iy_i/n$ $\bar{x}=\sum_i x_i/n$ $\bar{u}=\sum_i u_i/n$ โดยที่คือจำนวนการสังเกต $n$
ฉันค้นหาวรรณกรรมโดยใช้คำว่า "เพิ่งได้รับการระบุ" และ "ค่ามัธยฐาน" เพื่อค้นหาการอ้างอิงที่ตอบคำถาม 1 และ 2 (ดูด้านบน) ฉันไม่พบ บทความทั้งหมดที่ฉันพบ (ดูด้านล่าง) อ้างอิงถึง Angrist และ Pischke (2009: หน้า 209, 213) เมื่อระบุว่า 2SLS ที่เพิ่งระบุมีค่ามัธยฐาน
- Jakiela, P. , Miguel, E. , & Te Velde, VL (2015) คุณได้รับแล้ว: ประเมินผลกระทบของทุนมนุษย์ต่อการตั้งค่าทางสังคม เศรษฐศาสตร์ทดลอง , 18 (3), 385-407
- An, W. (2015) การประเมินตัวแปรเครื่องมือเกี่ยวกับผลกระทบจากเพื่อนในเครือข่ายสังคม การวิจัยทางสังคมศาสตร์ , 50, 382-394
- Vermeulen, W. , & Van Ommeren, J. (2009) การวางแผนการใช้ที่ดินเป็นตัวกำหนดเศรษฐกิจของภูมิภาคหรือไม่? การวิเคราะห์พร้อมกันของการจัดหาที่อยู่อาศัยการย้ายถิ่นภายในและการเติบโตของการจ้างงานในท้องถิ่นในประเทศเนเธอร์แลนด์ วารสารเศรษฐศาสตร์ที่อยู่อาศัย , 18 (4), 294-310
- Aidt, TS, & Leon, G. (2016) หน้าต่างแห่งโอกาสประชาธิปไตย: หลักฐานจากการจลาจลในซับ - ซาฮาราแอฟริกา วารสารการแก้ไขข้อขัดแย้ง , 60 (4), 694-717

— อีเลียส
แหล่งที่มา

ฉันไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้ด้วยการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ แต่จากการศึกษาการจำลองพบว่า LIML นั้นมีค่ามัธยฐาน (บวกคำจำกัดความ) และ LIML และ 2SLS ที่มีตัวแปรภายนอกหนึ่งและเครื่องมือหนึ่งมีการกระจายตัวอย่างขนาดเล็กเหมือนกัน (ดังนั้นถ้า LIML ในนี้ กรณีเป็นค่ามัธยฐานเป็นกลางดังนั้น 2SLS) นี่จะเพียงพอที่จะตอบคำถามของคุณหรือไม่

— Andy

@ แอนนี่เป็นคำตอบที่ดีจริงๆ! อาจเพียงพอทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ผู้ใช้รายอื่นอาจพูด อาจจะเพียงพอเพราะฉันคิดว่าไม่มีข้อพิสูจน์ของข้อเสนอที่ระบุว่า 2SLS นั้นมีค่ามัธยฐานโดยไม่เอนเอียง มันคงจะดีถ้ามีตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่า 2SLS ที่เพิ่งได้รับการระบุนั้นไม่ได้เป็นค่ามัธยฐาน แต่ฉันคิดว่ามันเป็นไปได้ (แต่อาจจะยาก) ที่จะเกิดขึ้นกับตัวอย่างของตัวเอง

— อีเลียส

โดยเฉลี่ยแล้วคุณหมายถึงว่าอคตินั้นมีค่าเป็นศูนย์เนื่องจากฟังก์ชันบางอย่างของจำนวนการสังเกตเช่น 1 / n หรือ 1 / n ^ 2 เป็นต้น

— อิกอ

@Igor ฉันไม่ได้ใช้คำว่า "ประมาณค่ามัธยฐานแบบเป็นกลาง" เนื่องจากฉันไม่ทราบว่า "มัธยฐาน - เป็นกลาง" หมายความว่าอะไรฉันจึงไม่สามารถตอบคำถามของคุณได้ แต่สิ่งที่คุณดูเหมือนจะคิดเป็นประมาณเป็นasymptoticallyเป็นกลาง

— อีเลียส

ในการศึกษาแบบจำลองคำว่า median bias หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของส่วนเบี่ยงเบนของตัวประมาณจากค่าจริง (ซึ่งคุณรู้ในกรณีนี้เพราะเป็นการจำลองเพื่อให้คุณเลือกค่าจริง) คุณสามารถดูเอกสารการทำงานของYoung (2017)ที่กำหนดความเอนเอียงแบบนี้ในตารางที่ 15 หรือAndrews and Armstrong (2016)ผู้ทำพล็อตกราฟอคติแบบมัธยฐานสำหรับตัวประมาณที่ต่างกันในรูปที่ 2

ส่วนหนึ่งของความสับสน (ในวรรณคดี) ดูเหมือนว่ามาจากความจริงที่ว่ามีปัญหาพื้นฐานที่แยกจากกันสองประการ:

เครื่องมือที่อ่อนแอ
เครื่องมืออ่อนแอจำนวนมาก (อาจ)

ปัญหาของการมีเครื่องมือที่อ่อนแอในการตั้งค่าเพิ่งระบุแตกต่างกันมากจากการมีเครื่องมือมากมายที่บางคนมีความอ่อนแอ แต่ปัญหาทั้งสองได้ถูกโยนเข้าด้วยกันในบางครั้ง

ก่อนอื่นให้พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างตัวประมาณที่เรากำลังพูดถึงที่นี่ Theil (1953) ใน "การประมาณค่าและสหสัมพันธ์แบบพร้อมกันในระบบสมการที่สมบูรณ์" แนะนำสิ่งที่เรียกว่า -klass estimator: $\kappa$

\hat{β} = {[X^{'} (I - κ M_{Z}) X]}^{- 1} [X^{'} (I - κ M_{Z})_{y})]

$\widehat{\beta} = \left[ X'(I-\kappa M_Z)X \right]^{-1}\left[ X'(I-\kappa M_Z)_y) \right]$

ด้วยสำหรับระบบสมการ $M_Z = I-Z(Z'Z)^{-1}Z'$

\begin{aligned} y & = X β + u \\ X & = Z π + e . \end{aligned}

$\begin{align} y &= X\beta + u \\ X &= Z\pi + e. \end{align}$

เซนต์คิตส์และเนวิสตัวกำหนดว่าเรามีตัวประมาณค่าอะไร สำหรับคุณกลับไปที่ OLS สำหรับคุณมีตัวประมาณ 2SLS และเมื่อถูกตั้งค่าเป็นรูทที่เล็กที่สุดของคุณ มีตัวประมาณ LIML (ดูสต็อคและ Yogo, 2005 , p. 111) $\kappa$ $\kappa = 0$ $\kappa = 1$ $\kappa$ $\det (X'X - \kappa X'M_ZX))=0$

Asymptotically, LIML และ 2SLS มีการแจกแจงแบบเดียวกันอย่างไรก็ตามในตัวอย่างขนาดเล็กสิ่งนี้อาจแตกต่างกันมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีที่เมื่อเรามีเครื่องมือมากมายและหากบางส่วนนั้นอ่อนแอ ในกรณีนี้ LIML ทำงานได้ดีกว่า 2SLS LIML ที่นี่แสดงให้เห็นว่าเป็นค่ามัธยฐานที่เป็นกลาง ผลลัพธ์นี้มาจากการศึกษาแบบจำลองจำนวนมาก โดยปกติแล้วเอกสารที่ระบุผลลัพธ์นี้จะอ้างอิงถึง Rothberg (1983) "คุณสมบัติเชิงซีรีย์ของตัวประมาณค่าบางตัวในแบบจำลองโครงสร้าง", Sawa (1972)หรือAnderson et al. (1982)

Steve Pischke จัดทำแบบจำลองสำหรับผลลัพธ์นี้ในบันทึกย่อปี 2016 ของเขาบนสไลด์ 17 แสดงการกระจายของ OLS, LIML และ 2SLS ด้วย 20 เครื่องมือซึ่งมีประโยชน์เพียงอันเดียวเท่านั้น ค่าสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงคือ 1 คุณจะเห็นว่า LIML อยู่กึ่งกลางที่ค่าที่แท้จริงในขณะที่ 2SLS จะเอนเอียงไปทาง OLS

ตอนนี้ข้อโต้แย้งน่าจะเป็นดังต่อไปนี้: เนื่องจาก LIML สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นค่ามัธยฐานแบบไม่ฝักใฝ่ฝ่ายใดและในกรณีที่เพิ่งระบุ (ตัวแปร endogenous หนึ่งตัวแปรหนึ่งเครื่องดนตรี) LIML และ 2SLS นั้นเทียบเท่ากัน 2SLS ต้องเป็นค่ามัธยฐานเป็นกลาง

อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าคนอีกครั้งกำลังผสม "เครื่องมือที่อ่อนแอ" และ "เครื่องมือที่อ่อนแอจำนวนมาก" เพราะในการตั้งค่าที่เพิ่งระบุทั้ง LIML และ 2SLS จะมีอคติเมื่อเครื่องมืออ่อนแอ ฉันไม่เห็นผลลัพธ์ใด ๆ ที่แสดงให้เห็นว่า LIML ไม่มีความเป็นกลางในกรณีที่เพิ่งระบุเมื่อตราสารอ่อนและฉันไม่คิดว่านี่เป็นเรื่องจริง ข้อสรุปที่คล้ายกันนี้มาจากการตอบสนองของ Angrist และ Pischke (2009) ต่อ Gary Solo ในหน้า 2 ที่พวกเขาจำลองอคติของ OLS, 2SLS และ LIML เมื่อเปลี่ยนความแข็งแกร่งของเครื่องมือ

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ระยะแรกที่น้อยมากที่ <0.1 (แก้ไขข้อผิดพลาดมาตรฐาน) นั่นคือความแข็งแรงของเครื่องมือต่ำ 2SLS ที่เพิ่งระบุ (และ LIML ที่เพิ่งระบุมีค่าใกล้เคียงกับขีด จำกัด ความน่าจะเป็นของ OLS ประมาณเมื่อเปรียบเทียบกับ ค่าสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงของ 1

เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ระยะแรกอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 0.2 พวกเขาทราบว่าสถิติ F ขั้นตอนแรกสูงกว่า 10 และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีปัญหาเกี่ยวกับเครื่องมือที่อ่อนแออีกต่อไปตามกฎของ F> 10 โดย Stock และ Yogo (2005) ในแง่นี้ฉันไม่เห็นว่า LIML ควรจะแก้ไขปัญหาอุปกรณ์ที่อ่อนแอในกรณีที่เพิ่งระบุได้อย่างไร นอกจากนี้โปรดสังเกตว่า i) LIML มีแนวโน้มที่จะกระจายตัวมากขึ้นและต้องการการแก้ไขข้อผิดพลาดมาตรฐาน (ดู Bekker, 1994) และ ii) หากเครื่องมือของคุณอ่อนแอจริง ๆ คุณจะไม่พบสิ่งใดในขั้นตอนที่สองไม่มี 2SLS หรือ LIML เพราะข้อผิดพลาดมาตรฐานจะใหญ่เกินไป

— แอนดี้
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! นี่ทำให้ทุกอย่างชัดเจนขึ้นสำหรับฉัน

— อีเลียส