การทำนายและช่วงเวลาความอดทน

ฉันมีคำถามสองสามข้อสำหรับการทำนายและช่วงเวลาที่ยอมรับได้

เราเห็นด้วยกับคำจำกัดความของช่วงความอดทนก่อน: เราจะได้รับระดับความเชื่อมั่นพูด 90% เปอร์เซ็นต์ของประชากรที่จะจับพูด 99% และขนาดตัวอย่าง 20 คนการกระจายความน่าจะเป็นเป็นที่รู้จักพูดปกติ เพื่อความสะดวก. ทีนี้, จากตัวเลขสามตัวข้างต้น (90%, 99% และ 20) และความจริงที่ว่าการแจกแจงพื้นฐานเป็นเรื่องปกติ, เราสามารถคำนวณค่าเผื่อได้ ได้รับตัวอย่างมีค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานช่วงเวลาความอดทนเป็นKS หากช่วงความอดทนนี้จับ 99% ของประชากรดังนั้นตัวอย่างเรียกว่าสำเร็จ $k$ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $\bar{x}$ $s$ $\bar{x}\pm ks$ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ และความต้องการก็คือว่า 90% ของกลุ่มตัวอย่างที่มีความสำเร็จ

ความคิดเห็น: 90% เป็นโอกาสเบื้องต้นสำหรับตัวอย่างที่จะประสบความสำเร็จ 99% คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่การสังเกตในอนาคตจะอยู่ในช่วงเวลาที่ยอมรับได้เนื่องจากตัวอย่างนั้นประสบความสำเร็จ

คำถามของฉัน: เราจะเห็นช่วงเวลาการทำนายว่าเป็นช่วงเวลาที่ยอมรับได้หรือไม่ มองบนเว็บฉันได้คำตอบที่ขัดแย้งกันในเรื่องนี้ไม่ต้องพูดถึงว่าไม่มีใครกำหนดช่วงเวลาการทำนายอย่างระมัดระวัง ดังนั้นหากคุณมีคำจำกัดความที่แม่นยำของช่วงการทำนาย (หรือการอ้างอิง) ฉันจะขอบคุณมัน

สิ่งที่ฉันเข้าใจคืออินสแตนซ์ช่วงการทำนาย 99% เช่นไม่จับ 99% ของค่าในอนาคตทั้งหมดสำหรับตัวอย่างทั้งหมด นี่จะเหมือนกับช่วงเวลาที่ยอมรับได้ที่ 99% ของประชากรที่มีความน่าจะเป็น 100%

ในคำจำกัดความที่ฉันพบสำหรับช่วงเวลาการทำนาย 90% 90% เป็นความน่าจะเป็นแบบเบื้องต้นที่ได้รับตัวอย่างพูด (ขนาดคงที่) และการสังเกตอนาคตเดียวนั่นคือจะอยู่ในช่วงการทำนาย ดังนั้นดูเหมือนว่าทั้งตัวอย่างและค่าในอนาคตจะได้รับทั้งสองในเวลาเดียวกันในทางตรงกันข้ามกับช่วงความอดทนที่ตัวอย่างจะได้รับและมีความน่าจะเป็นบางอย่างที่มันเป็นความสำเร็จและภายใต้เงื่อนไขที่ตัวอย่างเป็นความสำเร็จ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $y$ $y$ มูลค่าในอนาคตจะได้รับและมีความน่าจะเป็นบางอย่างตกอยู่ในช่วงความอดทน ฉันไม่แน่ใจว่าคำจำกัดความข้างต้นของช่วงเวลาการทำนายนั้นถูกต้องหรือไม่

ความช่วยเหลือใด ๆ

prediction prediction-interval tolerance-interval

— Ioannis Souldatos
แหล่งที่มา

ช่วงความอดทนด้านเดียวสำหรับการสุ่มตัวอย่างปกติอาจช่วยให้เข้าใจแนวคิดนี้ได้ บน -tolerance ผูกพันคืออะไร แต่ความเชื่อมั่นผูกพันบนของ -quantile ของการกระจายสันนิษฐานของรูปแบบ ดังนั้นในกรณีของการแจกแจงแบบปกตินี่คือขอบเขตความเชื่อมั่นสูงสุดของพารามิเตอร์โดยที่คือของการแจกแจงแบบเกาส์มาตรฐาน

99 %

$99\%$

99 %

$99\%$

μ + k σ

$\mu + k\sigma$

k = z_{99 %}

$k=z_{99\%}$

99 %

$99\%$

— Stéphane Laurent

นี่คือ reformulation ดีStéphaneเพราะทันทีที่แสดงให้เห็นว่ามีหลายชนิดของข้อ จำกัด ของความอดทน: หนึ่งสามารถขอบนขีด จำกัด ของความเชื่อมั่นในสำหรับต่ำกว่าขีด จำกัด ของความเชื่อมั่นใน

หรือสำหรับ (พูด) การประมาณการที่ไม่เอนเอียงของพารามิเตอร์นั้น ทั้งสามเรียกว่า "ขีดจำกัดความอดทน" ในวรรณคดี

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

— whuber

ฉันคิดว่าคุณค่อนข้างอยากจะบอกว่าขีด จำกัด ของความเชื่อมั่นที่ลดลงใน

μ - z_{0.99} σ

$\mu - z_{0.99}\sigma$

— Stéphane Laurent

ที่จริงแล้วไม่มีStéphane (ซึ่งเป็นสาเหตุที่ฉันใช้ความระมัดระวังในการทำซ้ำสูตรสำหรับพารามิเตอร์) นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความที่คล้ายกันสามข้อสำหรับขีดจำกัดความอดทนที่ต่ำกว่า เช่นเราอาจต้องการที่จะอยู่ภายใต้การ -estimate 99th บนเปอร์เซ็นต์ของประชากร แต่เพื่อควบคุมปริมาณของเบาที่เรายืนยันจะมี (พูด) โอกาส 5% ที่ต่ำกว่าของเราจะยังคงสูงเกินไป สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถพูดสิ่งต่างๆเช่น "ข้อมูลแสดงด้วยความมั่นใจ 95% ว่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 99 ของประชากรนั้นเกินค่าเช่นนั้น"

— whuber

คำตอบ:

คำจำกัดความของคุณดูเหมือนจะถูกต้อง

หนังสือเพื่อให้คำปรึกษาเกี่ยวกับเรื่องเหล่านี้เป็นสถิติช่วงเวลา (เจอราลด์ฮาห์นวิลเลียมและ Meeker) ปี 1991 ผมอ้าง:

ช่วงเวลาการทำนายสำหรับการสังเกตการณ์ในอนาคตครั้งเดียวคือช่วงเวลาที่จะมีระดับความเชื่อมั่นที่ระบุโดยมีการสังเกตแบบสุ่มต่อไป (หรือบางอย่างที่กำหนดล่วงหน้า) จากการสุ่มของประชากร

[A] ช่วงเวลาความอดทนเป็นช่วงเวลาหนึ่งที่สามารถเรียกร้องให้มีอย่างน้อยในสัดส่วนที่ระบุหน้าของประชากรที่มีระดับที่กำหนดของความเชื่อมั่น, % $100(1-\alpha)\%$

นี่คือการกล่าวซ้ำในคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ให้ข้อมูลที่จะถือว่าเป็นสำนึกของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีฟังก์ชั่นที่พบบ่อยการแจกแจงสะสม θ( ปรากฏเป็นเตือนว่าอาจจะไม่ทราบ แต่จะถือว่าโกหกในชุดที่กำหนดของการแจกแจง ) ให้ $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ $F_\theta$ $\theta$ $F$ ${F_\theta \vert \theta \in \Theta}$ $X_0$ เป็นตัวแปรสุ่มอีกตัวที่มีการแจกแจงแบบเดียวกันและเป็นอิสระจากตัวแปรตัวแรก $F_\theta$ $n$

ช่วงทำนาย (สำหรับการสังเกตในอนาคตเดียว) ที่ได้รับจากปลายทางมีการกำหนดสถานที่ให้บริการ $[l(\mathbf{x}), u(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (X_{0} \in [l (X), u (X)])} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta(X_0 \in [l(\mathbf{X}), u(\mathbf{X})])\}= 100(1-\alpha)\%.$
โดยเฉพาะหมายถึงกระจายตัวแปรของกำหนดโดยกฎหมายF_สังเกตการขาดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขใด ๆ : นี่เป็นความน่าจะเป็นร่วมแบบเต็ม หมายเหตุเช่นกันหากไม่มีการอ้างอิงใด ๆ กับลำดับเวลา:อาจสังเกตได้ดีก่อนค่าอื่น ๆ ไม่เป็นไร. ${\Pr}_\theta$ $n+1$ $(X_0, X_1, \ldots, X_n)$ $F_\theta$ $X_0$

ฉันไม่แน่ใจว่าแง่มุมใดของสิ่งนี้อาจเป็น หากเรานึกถึงการเลือกกระบวนการทางสถิติเป็นกิจกรรมที่จะดำเนินการก่อนรวบรวมข้อมูลนี่เป็นสูตรที่เป็นธรรมชาติและสมเหตุสมผลของกระบวนการสองขั้นตอนตามแผนเนื่องจากทั้งข้อมูล ( ) และ "ค่าในอนาคต"จะต้องมีการจำลองเป็นแบบสุ่ม $X_i, i=1,\ldots,n$ $X_0$
ช่วงเวลาความอดทนที่ได้รับจากปลายทางมีการกำหนดสถานที่ให้บริการ $(L(\mathbf{x}), U(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (F_{θ} (U (X)) - F_{θ} (L (X)) \geq p)} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta\left(F_\theta(U(\mathbf{X})) - F_\theta(L(\mathbf{X})\right) \ge p)\} = 100(1-\alpha)\%.$
สังเกตว่าไม่มีการอ้างอิงใด ๆ กับ : มันไม่มีบทบาท $X_0$

เมื่อคือชุดของการแจกแจงแบบปกติจะมีช่วงการทำนายของแบบฟอร์มอยู่ $\{F_\theta\}$

l (x) = \bar{x} - k (α, n) s, u (x) = \bar{x} + k (α, n) s

$l(\mathbf{x}) = \bar{x} - k(\alpha, n) s, \quad u(\mathbf{x}) = \bar{x} + k(\alpha, n) s$

(คือค่าเฉลี่ยตัวอย่างและคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง) ค่าของฟังก์ชั่นซึ่ง Hahn & Meeker จัดระเบียบไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อมูล{x} มีขั้นตอนการทำนายช่วงเวลาอื่น ๆแม้ในกรณีปกติ: สิ่งเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงกระบวนการเดียว $\bar{x}$ $s$ $k$ $\mathbf{x}$

ในทำนองเดียวกันมีช่วงเวลาที่ยอมรับได้ของแบบฟอร์มอยู่

L (x) = \bar{x} - K (α, n, p) s, U (x) = \bar{x} + K (α, n, p) s .

$L(\mathbf{x}) = \bar{x} - K(\alpha, n, p) s, \quad U(\mathbf{x}) = \bar{x} + K(\alpha, n, p) s.$

มีขั้นตอนช่วงเวลาการยอมรับอื่น ๆ : สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่วิธีการเดียวเท่านั้น

สังเกตความคล้ายคลึงกันระหว่างสูตรคู่นี้เราอาจแก้สมการได้

k (α, n) = K (α^{'}, n, p) .

$k(\alpha, n) = K(\alpha', n, p).$

นี้จะช่วยให้หนึ่งในการแปลช่วงการทำนายเป็นช่วงเวลาความอดทน (ในหลายวิธีที่แตกต่างกันไปโดยที่แตกต่างกันและ ) หรือแปลช่วงเวลาความอดทนเป็นช่วงเวลาที่การคาดการณ์ (เฉพาะในขณะนี้มักจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยและ ) นี่อาจเป็นจุดกำเนิดของความสับสน $\alpha'$ $p$ $\alpha$ $\alpha'$ $p$

— whuber
แหล่งที่มา

ความสับสนระหว่างช่วงเวลาเหล่านี้เป็นจริง ทศวรรษที่ผ่านมาฉันมีการสนทนาที่ยากหลายครั้งกับนักสถิติของรัฐบาลซึ่งไม่รู้ถึงความแตกต่างและ (รุนแรง) ไม่สามารถรับรู้ได้ว่ามี บทบาทที่โดดเด่นของเธอในการสร้างคำแนะนำการตรวจสอบรายงานการให้คำปรึกษาผู้ทำงานด้านคดีการแจกจ่ายซอฟต์แวร์ ดังนั้นจงระวัง!

— whuber

คำตอบที่ดีมากขอบคุณ ผมมีหัวใจสถิติบางคนบอกว่าช่วงเวลาการทำนายเป็นช่วงเวลาความอดทนกับ\% มีข้อเท็จจริงที่แท้จริงเบื้องหลังแนวคิดนี้หรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งจริงหรือที่หรืออะไรทำนองนั้น?

p = 50 %

$p=50\%$

k (α, n) = K (α, n, 0.5)

$k(\alpha,n)=K(\alpha,n,0.5)$

— Stéphane Laurent

ไม่นั่นไม่ใช่ความจริง @ Stéphane หากต้องการดูว่าทำไมไม่พิจารณากรณีของความเชื่อมั่นและปานกลางที่มีขนาดใหญ่มากพูด 95% ด้วยช่วงความอดทนสองด้านจึงควรใกล้เคียงกับค่ากลาง 50% ของการแจกแจงดังนั้นตามคำนิยามมีโอกาส 50% เท่านั้นที่จะอยู่ข้างในนั้นไม่ใช่ 95% ที่ต้องการ นั่นเป็นความแตกต่างอย่างมาก! โดยสัญชาตญาณช่วงเวลาที่ยอมรับได้ 95% ของประชากรควรใกล้เคียงกับช่วงเวลาการทำนายด้วยความมั่นใจ 95% แต่พวกเขาก็ยังไม่เห็นด้วยอย่างแน่นอน

n

$n$

p = 50 %

$p=50\%$

X_{0}

$X_0$

— whuber

ฉันเพิ่งคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้และฉันเชื่อว่าความจริงก็คือ:เมื่อมีขนาดใหญ่ นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นเมื่อเป็นปัจจัยความอดทนแบบคลาสสิกที่ได้รับจากความช่วยเหลือของการแจกแจงแบบไม่ใช่ศูนย์กลาง (ค่า -quantile เป็นพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลาง )

k (α, n) \approx K (50 %, n, 1 - α)

$\boxed{k(\alpha,n) \approx K(50\%,n,1-\alpha)}$

n

$n$

K

$K$

50 %

$50\%$

z_{1 - α} / \sqrt{n}

$z_{1-\alpha}/\sqrt{n}$

— Stéphane Laurent

@whuber ขอบคุณสำหรับคำตอบ ฉันจะต้องทำให้แน่ใจว่าฉันเข้าใจมันก่อนที่ฉันจะทำเครื่องหมายถูกต้อง ให้เวลาฉัน "ย่อย" หน่อย

— Ioannis Souldatos

ตามที่ฉันเข้าใจสิ่งต่าง ๆ สำหรับขีด จำกัด ความอดทนปกติค่าของมาจากไม่ใช่เปอร์เซ็นต์ไทล์เปอร์เซ็นต์ เห็นได้ชัดว่าในจุดของ W Huber มีนักสถิติบางคนที่ไม่คุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องขีดจำกัดความอดทนกับขีด จำกัด การทำนาย ความคิดของความอดทนดูเหมือนจะเกิดขึ้นส่วนใหญ่ในการออกแบบวิศวกรรมและการผลิตเมื่อเทียบกับชีวสถิติคลินิก บางทีสาเหตุของการขาดความคุ้นเคยกับช่วงเวลาที่ยอมรับได้และความสับสนกับช่วงเวลาการทำนายคือบริบทที่เราได้รับการฝึกอบรมทางสถิติของเขาหรือเธอ $K(\alpha,p)$

— สกอตต์พี
แหล่งที่มา