วิธีสร้างตัวเลขตามการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องโดยอำเภอใจ?

ฉันจะสร้างตัวเลขตามการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องตามอำเภอใจได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่นฉันมีชุดตัวเลขที่ฉันต้องการสร้าง สมมติว่าพวกเขามีป้ายกำกับตั้งแต่ 1-3 ดังนี้

1: 4%, 2: 50%, 3: 46%

โดยทั่วไปร้อยละเป็นความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะปรากฏในผลลัพธ์จากการสร้างตัวเลขสุ่ม ฉันมีตัวสร้างตัวเลขแบบสุ่มที่จะสร้างการกระจายแบบสม่ำเสมอในช่วงเวลา [0, 1] มีวิธีการทำเช่นนี้หรือไม่?

ไม่มีขอบเขตเกี่ยวกับองค์ประกอบที่ฉันมีได้ แต่% จะรวมกันได้มากถึง 100%

หนึ่งในขั้นตอนวิธีการที่ดีที่สุดสำหรับการสุ่มตัวอย่างจากการกระจายต่อเนื่องเป็นวิธีนามแฝง

เมธอด alias (อย่างมีประสิทธิภาพ) จะคำนวณโครงสร้างข้อมูลสองมิติล่วงหน้าเพื่อแบ่งพาร์ติชันสี่เหลี่ยมออกเป็นส่วน ๆ ตามสัดส่วนของความน่าจะเป็น

ในแผนผังนี้จากไซต์ที่อ้างอิงสี่เหลี่ยมผืนผ้าของความสูงของหน่วยได้รับการแบ่งออกเป็นสี่ประเภทของภูมิภาค - ตามความแตกต่างของสี - ในสัดส่วน , ,และใน เพื่อสุ่มตัวอย่างจากการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องกับความน่าจะเป็นเหล่านี้ แถบแนวตั้งมีความกว้างคงที่ (หน่วย) แต่ละแบ่งออกเป็นเพียงหนึ่งหรือสองชิ้น ตัวตนของชิ้นส่วนและสถานที่ตั้งของหน่วยงานแนวตั้งจะถูกเก็บไว้ในตารางที่สามารถเข้าถึงได้ผ่านดัชนีคอลัมน์$1/2$$1/3$$1/12$$1/12$

ตารางสามารถถูกสุ่มตัวอย่างในสองขั้นตอนง่าย ๆ (หนึ่งสำหรับแต่ละพิกัด) ต้องการสร้างค่าเครื่องแบบอิสระเพียงสองค่าและการคำนวณสิ่งนี้ปรับปรุงในการคำนวณจำเป็นในการคว่ำ CDF แบบแยกดังที่อธิบายไว้ในคำตอบอื่น ๆ ที่นี่O ( บันทึก( n ) $O(1)$$O(\log(n))$

คุณสามารถทำได้อย่างง่ายดายใน R เพียงระบุขนาดที่คุณต้องการ:

sample(x=c(1,2,3), size=1000, replace=TRUE, prob=c(.04,.50,.46))

ในตัวอย่างของคุณสมมติว่าคุณวาดค่า pseudorandom Uniform ของคุณ [0,1] และเรียกมันว่า U. จากนั้น output:

1 ถ้า U <0.04

2 ถ้า U> = 0.04 และ U <0.54

3 ถ้า U> = 0.54

หาก% ที่ระบุคือ a, b, ... ให้แสดงผลลัพธ์

ค่า 1 ถ้าคุณ

ค่า 2 ถ้า U> = a และ U <(a + b)

เป็นต้น

โดยพื้นฐานแล้วเรากำลังทำแผนที่% ลงในส่วนย่อยของ [0,1] และเรารู้ว่าความน่าจะเป็นที่ค่าการสุ่มที่สม่ำเสมอตกอยู่ในช่วงใด ๆ นั้นก็แค่ความยาวของช่วงนั้น การวางช่วงตามลำดับนั้นเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดถ้าไม่ใช่เฉพาะวิธีที่จะทำ นี่คือการสมมติว่าคุณกำลังถามเกี่ยวกับการแจกแจงแบบแยกเท่านั้น อย่างต่อเนื่องสามารถทำบางสิ่งเช่น "การสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธ" ( รายการ Wikipedia )

สมมติว่ามีผลต่อเนื่องไปได้ คุณแบ่งช่วง[ 0 , 1 ]เข้า subintervals ขึ้นอยู่กับมวลฟังก์ชันสะสมFเพื่อให้แบ่งพาร์ติชัน( 0 , 1 )ช่วงเวลา$m$$[0,1]$$F$$(0,1)$

ที่และF ( 0 ) ≡ 0 ในตัวอย่างของคุณm = 3และ$I_{j} = (F(j-1), F(j))$$F(0) \equiv 0$$m = 3$

ตั้งแต่และF ( 2 ) = 0.54และF ( 3 ) = 1$F(1) = .04$$F(2) = .54$$F(3) = 1$

จากนั้นคุณสามารถสร้างด้วยการแจกจ่ายFโดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:$X$$F$

(1) สร้าง$U \sim {\rm Uniform}(0,1)$

(2) ถ้าแล้วX = J$U \in I_{j}$$X = j$

• ขั้นตอนนี้สามารถทำได้โดยดูว่านั้นน้อยกว่าความน่าจะเป็นที่สะสมแต่ละครั้งหรือไม่และดูว่าจุดเปลี่ยน (จากถึง) เกิดขึ้นที่ใดซึ่งควรเป็นเรื่องของการใช้ตัวดำเนินการบูลีนในภาษาโปรแกรมใด ๆ ค้นหาตำแหน่งที่เกิดขึ้นครั้งแรกในเวกเตอร์$U$TRUEFALSEFALSE

โปรดทราบว่าจะอยู่ในว่าหนึ่งในช่วงเวลาที่ฉันเจเนื่องจากพวกเขามีเคล็ดและพาร์ติชัน[ 0 , 1 ]$U$$I_{j}$$[0,1]$

อัลกอริธึมอย่างง่ายอย่างหนึ่งคือเริ่มต้นด้วยหมายเลขสุ่มที่เป็นชุดของคุณและในลูปแรกลบความน่าจะเป็นแรกออกถ้าผลลัพธ์เป็นลบคุณจะคืนค่าแรกถ้ายังคงเป็นบวกคุณจะไปยังการวนซ้ำถัดไป ตรวจสอบว่าเป็นค่าลบเป็นต้น

นี่เป็นเรื่องดีที่จำนวนของค่า / ความน่าจะเป็นไม่มีที่สิ้นสุด แต่คุณจะต้องคำนวณความน่าจะเป็นเมื่อคุณเข้าใกล้ตัวเลขเหล่านั้น (สำหรับสิ่งที่ต้องการสร้างจากการแจกแจงปัวซองหรือการแจกแจงลบทวินาม)

หากคุณมีจำนวนความน่าจะเป็นที่ จำกัด แต่จะสร้างตัวเลขจำนวนมากจากพวกเขามันจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นในการจัดเรียงความน่าจะเป็นเพื่อให้คุณลบค่าที่มากที่สุดก่อนจากนั้นจึงเป็นค่าที่สองที่ใหญ่ที่สุดถัดไป

ก่อนอื่นให้ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่ห้องสมุดไพ ธ อนพร้อมคลาสที่พร้อมใช้งานสำหรับการสร้างเลขสุ่มจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยมซึ่งเป็นไปตามการแจกแจงโดยพลการ

โดยทั่วไปการพูดมีหลายวิธีในการแก้ไขปัญหานี้ บางตัวเป็นเส้นตรงในเวลา แต่ต้องการหน่วยความจำขนาดใหญ่บางตัวทำงานในเวลา O (n log (n)) บางอย่างเหมาะสำหรับตัวเลขจำนวนเต็มและบางอย่างถูกกำหนดสำหรับฮิสโตแกรมวงกลม (ตัวอย่างเช่น: การสร้างจุดเวลาสุ่มในระหว่างวัน) ในห้องสมุดที่กล่าวถึงข้างต้นฉันใช้กระดาษนี้สำหรับกรณีจำนวนเต็มและสูตรนี้สำหรับตัวเลขจุดลอย มันยังคงขาดการสนับสนุนฮิสโตแกรมแบบวงกลมและโดยทั่วไปจะยุ่ง แต่ก็ใช้งานได้ดี

ผมมีปัญหาเหมือนกัน. รับชุดซึ่งแต่ละรายการมีความน่าจะเป็นและมีความน่าจะเป็นรายการรวมถึงหนึ่งที่ผมอยากจะวาดได้อย่างมีประสิทธิภาพตัวอย่างเช่นโดยไม่ต้องเรียงลำดับอะไรและไม่มีซ้ำ ๆ วนกว่าชุด

$N$$[a,1)$$r$$[0,1)$

$(a_i)$$N$$N = 10$

$a_0 = \text{next}(10, 0)$
$a_1 = \text{next}(9, a_0)$
$a_2 = \text{next}(8, a_1)$
$\dots$
$a_9 = \text{next}(1, a_8)$

$(a_i)$$P$$0 \leq k < |P|$$p_k \in P$$a_i$$k$$\sum p_0 \dots p_k > a_i$$p_k$$a_{i+1}$

$\{(1, 0.04), (2, 0.5), (3, 0.46)\}$$N = 10$

ฉัน a_i k การจับสลาก
0 0.031 0 0.04 1
1 0.200 1 0.54 2
2 0.236 1 0.54 2
3 0.402 1 0.54 2
4 0.488 1 0.54 2
5 0.589 2 1.0 3
6 0.625 2 1.0 3
7 0.638 2 1.0 3
8 0.738 2 1.0 3
9 0.942 2 1.0 3

$(1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3)$

$\text{next}$$N$$[a, x)$$x \leq 1$