การใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสร้างขึ้นบนสมมติฐานของการแจกแจงแบบปกติหรือไม่?

ฉันสงสัยว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักถูกสร้างขึ้นบนสมมติฐานของการแจกแจงแบบปกติหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าตัวอย่างไม่กระจายตามปกติแล้วควรใช้การเบี่ยงเบนมาตรฐานถือเป็นข้อผิดพลาดหรือไม่?

ไม่การใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ถือว่าเป็นเรื่องปกติ

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มถูกกำหนดให้เป็น2] ตราบใดที่มีความแปรปรวนอยู่ก็จะมีการเบี่ยงเบนมาตรฐานเช่นกัน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

คุณสามารถใช้ความแปรปรวนหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ตลอดเวลาที่ทั้งสองมีอยู่ ความแปรปรวนเกิดขึ้นในสถานการณ์ที่นับไม่ถ้วน$\operatorname{Var}(X)$

มีทฤษฎีบทพิเศษบทแทรก ฯลฯ ... แต่สำหรับกรณีพิเศษที่ตามการแจกแจงปกติ$X$

การใช้งานทั่วไปของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ขึ้นอยู่กับภาวะปกติ:

หากตามการกระจายตัวแบบปกติแสดงว่ามีความน่าจะเป็นประมาณ 95% ที่ตกอยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสองค่าของค่าเฉลี่ย$X$$X$

ข้อความนั้นเป็นจริงถ้าตามหลังการแจกแจงแบบปกติ (และอีกหลายข้อ) แต่มันไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป$X$

การใช้งานทั่วไปของความแปรปรวนที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับภาวะปกติ:

ให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 2 กำหนดสำหรับเป็นตัวแปรสุ่มอิสระตามแต่ละกระจายเหมือนกันX$X$$\operatorname{E}[X] = \mu$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$X_i$$i=1, \ldots, n$$X$

กำหนดค่าเฉลี่ยตัวอย่างตามการสังเกต : $n$

โดยทฤษฎีขีด จำกัด กลาง,ลู่ต่อตัวแปรสุ่มกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน{n} (แม่นยำมากขึ้นลู่เข้าสู่การกระจายไปยังเป็น )$\bar{X}_n$$\mu$$\frac{\sigma^2}{n}$$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$n \rightarrow \infty$

ความหมายในทางปฏิบัติคือการที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างขนาดใหญ่สามารถจะถือว่าเป็นตัวแปรสุ่มกระจายตามปกติที่มีความแปรปรวนเป็นหน้าที่ของความแปรปรวนของการX(เรียกคืน ) และผลลัพธ์นี้ไม่ต้องการให้เป็นปกติ (มันต้องใช้ค่าต่ำกว่าเพื่อให้ทำงานได้ดีถ้าใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติมากกว่า)$\bar{X}_n$$n$$\frac{\sigma^2}{n}$$X$$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$$X$$n$$X$

ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเป็นเครื่องมือที่แพร่หลายที่ใช้ความแปรปรวนของและไม่จำเป็นต้องเพื่อติดตามการแจกแจงแบบปกติ$X$$X$

ในการตั้งค่า IID มาตรฐานภายใต้เงื่อนไขระเบียบที่เหมาะสม (เช่นเดียวกับ ) เป็นประมาณการที่สอดคล้องกันอย่างมากของ[x_i] สิ่งนี้ตามมาโดยตรงจากกฎที่แข็งแกร่งของคนจำนวนมาก ไม่จำเป็นต้องใช้แบบจำลองปกติ$S^2$$\hat{\sigma}^2_{ML}$$\mathrm{Var}[X_i]$