ทำไมเราถึงต้องใช้สแควร์รูทของความแปรปรวนเพื่อสร้างความเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขออภัยหากมีการตอบที่อื่นฉันไม่สามารถหาได้

ฉันสงสัยว่าทำไมเราถึงใช้สแควร์รูทโดยเฉพาะความแปรปรวนเพื่อสร้างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันเกี่ยวกับการรากที่สองที่สร้างมูลค่าที่มีประโยชน์คืออะไร?

ในแง่หนึ่งนี่เป็นคำถามที่ไม่สำคัญ แต่ในอีกแง่หนึ่งมันค่อนข้างลึกจริงๆ!

• เป็นคนอื่นได้กล่าวถึงการใช้รากที่สองหมายถึงมีหน่วยเดียวกับX$\operatorname{Stdev}(X)$$X$

• การรากที่ช่วยให้คุณมีความเป็นเนื้อเดียวกันแน่นอน aka scalability แน่นอน สำหรับการใด ๆ เกลาและตัวแปรสุ่มเรา: สม่ำเสมอของแอบโซลูทเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นของบรรทัดฐาน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถตีความได้ว่าเป็นบรรทัดฐาน (บนพื้นที่ว่างของเวกเตอร์ที่มีค่าศูนย์ตัวแปรตัวแปรสุ่ม) ในทำนองเดียวกันที่เป็นบรรทัดฐานมาตรฐาน Euclidian ในสามมิติ ช่องว่าง ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือการวัดระยะทางระหว่างตัวแปรสุ่มและค่าเฉลี่ย$\alpha$$X$

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและบรรทัดฐาน$L_2$

กรณีมิติ จำกัด :

ในปริภูมิเวกเตอร์แบบมิติมาตรฐาน Euclidian norm หรือที่เรียกว่า normนั้นถูกกำหนดเป็น:$n$$L_2$

ในวงกว้างยิ่งขึ้น -normใช้รูทเพื่อรับค่าสัมบูรณ์ ความสม่ำเสมอ:\$p$ $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$$p$$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$

หากคุณมีน้ำหนักผลรวมน้ำหนักก็เป็นบรรทัดฐานที่ถูกต้องเช่นกัน นอกจากนี้ยังเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหากแสดงถึงความน่าจะเป็นและ$q_i$$\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$$q_i$$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

กรณีมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

ในมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ Hilbert Space เราอาจนิยามบรรทัดฐานเช่นเดียวกัน:$L_2$

ถ้าเป็นค่าศูนย์สุ่มตัวแปรและคือการวัดความน่าจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร? มันเป็นเรื่องเดียวกัน:omega)}$X$$P$$\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$

สรุป:

การรากที่ทำให้วิธีการที่น่าพอใจส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความเป็นเนื้อเดียวกันแน่นอนเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นของบรรทัดฐาน

บนพื้นที่ของตัวแปรสุ่มเป็นผลิตภัณฑ์ภายในและ$\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$‖ X ‖ 2 = √$\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ Stdev[X]=‖X-E[X]‖2E[X]Xมาตรฐานที่เกิดจากผลิตภัณฑ์ภายในนั้น ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงเป็นบรรทัดฐานของตัวแปรสุ่มแบบสุ่ม: มันเป็นการวัดระยะทางจากค่าเฉลี่ยเพื่อX

(จุดทางเทคนิค: ในขณะที่เป็นบรรทัดฐานค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$ไม่ใช่กฎเกณฑ์ทั่วไปของตัวแปรสุ่มโดยทั่วไปเนื่องจากข้อกำหนดสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดคือถ้าหากเท่านั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ 0 doesn ' t หมายถึงตัวแปรสุ่มคือองค์ประกอบศูนย์)$\|x\| = \mathbf{0}$$x = \mathbf{0}$

ความแปรปรวนของ $X$ถูกกำหนดเป็นดังนั้นจึงเป็นความคาดหวังของความแตกต่างกำลังสองระหว่าง X กับค่าที่คาดหวัง$V(X) = E(X-E(X))^2$

หากคือเวลาเป็นวินาทีเป็นวินาที แต่อยู่ในและอีกครั้งในไม่กี่วินาที$X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

คำตอบง่ายๆคือหน่วยอยู่ในระดับเดียวกับค่าเฉลี่ย ตัวอย่าง: ฉันประเมินค่าเฉลี่ยสำหรับนักเรียนมัธยมที่ 160 ซม. โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) 20 ซม. มันเป็นอย่างสังหรณ์ใจเรื่องง่ายที่จะได้รับความรู้สึกของการเปลี่ยนแปลงที่มี SD กว่าความแปรปรวนของ 400cm ^ 2 ที่

กล่าวง่ายๆคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้รับการออกแบบมาเพื่อให้เรามีจำนวนบวกที่บอกอะไรบางอย่างเกี่ยวกับการแพร่กระจายของข้อมูลของเราเกี่ยวกับมันหมายถึง

หากเราต้องบวกระยะทางของคะแนนทั้งหมดจากค่าเฉลี่ยแล้วคะแนนในทิศทางบวกและลบจะรวมกันในลักษณะที่มีแนวโน้มที่จะย้อนกลับไปสู่ค่าเฉลี่ยและเราจะสูญเสียข้อมูลเกี่ยวกับการแพร่กระจาย นี่คือเหตุผลที่เราวัดความแปรปรวนก่อนเพื่อให้ระยะทางทั้งหมดถูกเก็บไว้เป็นปริมาณบวกผ่านการยกกำลังสองและพวกเขาจะไม่ยกเลิกกัน ในท้ายที่สุดเราต้องการค่าบวกที่แสดงถึงหน่วยที่เราเริ่มต้นด้วย - สิ่งนี้ได้รับการแสดงความคิดเห็นไว้ด้านบนแล้วดังนั้นเราจึงนำสแควร์รูทที่เป็นบวก

มันเป็นความโง่เขลาทางประวัติศาสตร์ที่เราดำเนินต่อไปเนื่องจากความเกียจคร้านทางปัญญา พวกเขาเลือกที่จะยกกำลังสองความแตกต่างจากค่าเฉลี่ยเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบ จากนั้นพวกเขาก็เอาสแควร์รูทเพื่อนำมาให้สเกลที่คล้ายกับค่าเฉลี่ย

บางคนควรสร้างสถิติใหม่ความแปรปรวนของการคำนวณและ SD โดยใช้โมดูลัสหรือค่าสัมบูรณ์ของการเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย นี่จะกำจัดกำลังสองทั้งหมดแล้วจึงหาสแควร์รูท