ถ้า

ฉันมาข้ามหลักฐานสำหรับหนึ่งในคุณสมบัติของรุ่น ARCH ที่บอกว่าถ้าแล้วนิ่ง IFF ที่รูปแบบ ARCH คือ: $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ $\{X_t\}$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

แนวคิดหลักของการพิสูจน์คือการแสดงให้เห็นว่าสามารถเขียนเป็นกระบวนการ AR (p) และถ้าเป็นจริงจากนั้นรากทั้งหมดของพหุนามลักษณะอยู่นอกวงกลมหน่วยและ ดังนั้นจึงหยุดนิ่ง จากนั้นจะบอกว่าดังนั้นจึงหยุดนิ่ง สิ่งนี้ติดตามได้อย่างไร $X_t^2$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ $\{X_t^2\}$ $\{X_t\}$

mathematical-statistics stationarity garch

— นักเรียน
แหล่งที่มา

โดยทั่วไปไม่มี คุณสามารถจินตนาการถึงกระบวนการที่

หยุดนิ่ง แต่

X_{t}

$X_t$

ในบางช่วงเวลา แต่

X_{t} = \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t = \sqrt{X_t^2}$

ในช่วงเวลาอื่น อาจจะเป็นเรื่องที่ไกล แต่เป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์

X_{t} = - \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t=-\sqrt{X_t^2}$

— kjetil b halvorsen

จากส่วนที่ให้ฉันเข้าใจว่าคุณอาจเห็นว่าความคงที่ของหมายถึงความคงที่ของแต่ที่จริงแล้วมันหมายถึงความแปรปรวนคงที่ของเท่านั้น $X^2_t$ $X_t$ $X_t$

ผู้เขียนของการพิสูจน์นั้นใช้ stationarity ของเพื่อทำการโต้แย้งที่พวกเขาเริ่มต้นก่อนหน้านี้โดยดูที่ช่วงเวลาที่ไม่มีเงื่อนไขของ $X^2_t$ $X_t$

ระลึกถึงเงื่อนไขการสั่งซื้อคงที่ : $2^{nd}$

$E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
$Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
$Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

เงื่อนไข 1 ได้รับการพิสูจน์โดย $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

เงื่อนไขที่ 3 ได้รับการพิสูจน์โดย $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

แต่เพื่อพิสูจน์เงื่อนไขที่สองพวกเขาจำเป็นต้องพิสูจน์ความแปรปรวนแบบไม่มีเงื่อนไขอย่างคงที่ของ $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

นี่คือสิ่งที่นำไปสู่การสันนิษฐานของความคงที่ของซึ่งคุณได้กล่าวถึงใช้รูปแบบโดยย่อ: $X^2_{t}$ $AR(p)$ ถ้า X ^ 2_t หยุดนิ่งแล้วรากของพหุนามจะอยู่นอกหน่วยวงกลมและสิ่งนี้ทำให้สามารถเขียนได้:

\begin{aligned} V a r (X_{t}) = & E (V a r (X_{t}) | F_{t - 1}) + V a r (E (X_{t} | F_{t - 1})) \\ = & E (V a r (u_{t} | F_{t - 1})) b e c a u s e t h e l a s t t e r m i s 0 \\ = & E (b_{0} + b_{1} X_{t - 1}^{2} + . . . b_{p} X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} E (X_{t - 1}^{2}) + . . . b_{p} E (X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} v a r (X_{t - 1}) + . . . b_{p} v a r (X_{t - p}) \end{aligned}

$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$ $\Sigma b_i<1$

v a r (X_{t - 1}) = . . . = v a r (X_{t - p}) = \frac{b_{0}}{1 - b_{1} - . . . - b_{p}} w h i c h i s a l a s c o n s t a n t!

$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$

— machazthegamer
แหล่งที่มา

เอกสารอ้างอิงคือlink

— machazthegamer