ผลที่ตามมาของความไม่เท่าเทียมกันแบบเกาส์ความสัมพันธ์สำหรับการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นร่วมกัน

อ้างอิงจากบทความที่น่าสนใจมากในนิตยสาร Quanta: "หลักฐานอันยาวนาน, พบและหลงทาง" - ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าได้รับเวกเตอร์มีหลายตัวแปร เสียนกระจายและช่วงเวลาที่กำหนดแน่นิ่งวิธีการของส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของแล้ว $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(ความไม่เท่าเทียมกันแบบเกาส์สหสัมพันธ์หรือ GCI ดูhttps://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdfสำหรับการกำหนดทั่วไปมากขึ้น)

ดูเหมือนว่าจะเป็นเรื่องที่ดีและเรียบง่ายจริงๆและบทความบอกว่ามันมีผลที่ตามมาสำหรับช่วงความมั่นใจร่วม อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าไม่มีประโยชน์เลยสำหรับฉัน สมมติว่าเรากำลังประมาณค่าพารามิเตอร์ และเราพบตัวประมาณซึ่งเป็น (อาจจะไม่เชิง) ร่วมกัน (ตัวอย่างเช่น MLE ประมาณ) . จากนั้นถ้าฉันคำนวณช่วงเวลา 95% - ความมั่นใจสำหรับแต่ละพารามิเตอร์ GCI รับประกันว่า hypercubeเป็นพื้นที่ความเชื่อมั่นร่วมที่มีความครอบคลุมไม่น้อยกว่า ... ซึ่งค่อนข้างครอบคลุมต่ำ สำหรับในระดับปานกลางn $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ $(0.95)^n$ $n$

ดังนั้นจึงไม่ใช่วิธีที่ชาญฉลาดในการค้นหาภูมิภาคที่มีความเชื่อมั่นร่วมกัน: ภูมิภาคที่มีความเชื่อมั่นตามปกติสำหรับ Gaussian หลายตัวแปรเช่นไฮเปอร์เซลล์ลิปลอยด์นั้นไม่ยากที่จะค้นหาว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นที่รู้จักหรือไม่ อาจเป็นประโยชน์ในการค้นหาภูมิภาคที่มีความมั่นใจเมื่อไม่ทราบเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม? คุณสามารถแสดงตัวอย่างของความเกี่ยวข้องของ GCI ให้กับการคำนวณขอบเขตความเชื่อมั่นร่วมกันได้หรือไม่

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
แหล่งที่มา

คุณมีความคิดที่ถูกต้อง ช่วงความเชื่อมั่นของแต่ละบุคคลจะต้องสูงกว่า 95% สำหรับภูมิภาคร่วมเพื่อให้บรรลุ 95% แต่ละอย่างต้องมีค่าอย่างน้อย 0.95 ยกกำลัง 1 / nth

— Michael R. Chernick

การแก้ไขเล็ก ๆ แต่สำคัญ: ช่วงเวลาทั้งหมดจะต้องแน่นิ่งศูนย์คือ\}

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

— Alex R.

@ amoeba ฉันไม่กังวลเกี่ยวกับความยากลำบากในการพิสูจน์ แต่เกี่ยวกับความเกี่ยวข้องกับสถิติที่ใช้ หากพิจารณาว่าไฮเปอร์แพเรนต์ทำให้ง่ายต่อการแสดงความเกี่ยวข้องดังกล่าวดี หากคุณคิดว่าความไม่เท่าเทียมนี้มีประโยชน์ในทางปฏิบัติเมื่อพิจารณารูปหลายเหลี่ยมโดยพลการเท่านั้นถือว่ายุติธรรมพอสมควร ฉันจะยอมรับคำตอบที่บอกว่า "ถ้าคุณพิจารณาเฉพาะไฮเปอร์เรนเจอร์เท่านั้น GCI ไม่ใช่เครื่องมือที่มีประโยชน์มากสำหรับนักสถิติประยุกต์เพราะ ... แต่ถ้าคุณพิจารณารูปหลายเหลี่ยมโดยพลการมันจะกลายเป็นสิ่งที่เกี่ยวข้องเพราะ ... "

— DeltaIV

ฉันต้องการที่จะแก้ไขและดูในเอกสารที่มีหลักฐาน แต่ตอนนี้ฉันไม่แน่ใจ 100% อีกต่อไปถ้าไฮเปอร์แพรคติกเป็นกรณีพิเศษ / ง่ายหรือสูตรที่เทียบเท่า ฉันจะทิ้งไว้ก่อนและอาจกลับมาที่นี่ในภายหลัง

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

จุดกึ่งกลางที่จุดกำเนิด (ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดฉันหมายถึงช่วง 1D แต่ละช่วงซึ่งผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนนิยามไฮเปอร์แพลตต์นั้นเป็นจุดเริ่มต้นสมมาตร) อย่างน้อยกรณีพิเศษ (ฉันไม่รู้ว่ามันเป็น กรณีเทียบเท่า) จากบทความของ arXiv นั้นความไม่เท่าเทียมนั้นใช้ได้กับเซตนูนสมมาตรทุกตัว hyperrectangleเป็นเซตนูนและถ้ามันอยู่กึ่งกลางที่จุดกำเนิดในความหมายที่กำหนดไว้ด้านบนมันก็สมมาตรนั่นคือH

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— DeltaIV

ฉันคิดว่าคำถามมีความเกี่ยวข้องมากกว่า ในบางแง่มุมคุณกำลังดูการทดสอบสมมติฐานหลายรายการและเปรียบเทียบกับการทดสอบสมมติฐานหลายชุด

ใช่แน่นอนมีขอบเขตล่างซึ่งเป็นผลคูณของค่า p ของการทดสอบที่สมมติว่าเป็นอิสระ นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการปรับค่า p ในการทดสอบหลายสมมติฐานเช่นการปรับ Bonferroni หรือ Holm แต่การปรับ Bonferroni และ Holm (สมมติว่าเป็นอิสระ) เป็นการทดสอบที่ใช้พลังงานต่ำเป็นพิเศษ

เราสามารถทำได้ดีกว่ามากในทางปฏิบัติ (และทำได้ผ่าน Bootstrap ดูตัวอย่างการตรวจสอบความเป็นจริงของ Bootstrap H White เอกสารจาก Romano-Wolf และชุดเอกสารล่าสุดในชุด Model-Confidence) แต่ละเหล่านี้เป็นความพยายามในการทดสอบสมมติฐานพลังงานที่สูงขึ้น (เช่นการใช้ความสัมพันธ์โดยประมาณจะทำได้ดีกว่าเพียงแค่ใช้ขอบเขตล่างนี้) และจึงมีความเกี่ยวข้องมากขึ้น

— NBF
แหล่งที่มา