อะไรคือความแตกต่างระหว่างรูปแบบกำหนดขึ้นและสุ่ม?

โมเดลเชิงเส้นอย่างง่าย:

ϵ t N ( 0 , σ 2$x=\alpha t + \epsilon_t$โดยที่ ~ iid$\epsilon_t$$N(0,\sigma^2)$

ด้วยและ$E(x) = \alpha t$$Var(x)=\sigma^2$

AR (1):

$X_t =\alpha X_{t-1} + \epsilon_t$โดยที่ ~ iid$\epsilon_t$$N(0,\sigma^2)$

ด้วยและ$E(x) = \alpha t$$Var(x)=t\sigma^2$

ดังนั้นโมเดลเชิงเส้นอย่างง่ายจึงถือได้ว่าเป็นโมเดลที่กำหนดขึ้นมาในขณะที่โมเดล AR (1) นั้นถือเป็นโมเดลสตาคาห์สติก

ตามวิดีโอ Youtube โดย Ben Lambert - Stochastic เทียบกับกำหนดเหตุผลของ AR (1) ที่จะเรียกว่าเป็นแบบจำลองสุ่มเพราะความแปรปรวนของมันเพิ่มขึ้นตามเวลา คุณลักษณะของการแปรปรวนแบบไม่คงที่จะเป็นเกณฑ์ในการพิจารณาสุ่มหรือกำหนดขึ้นหรือไม่?

ฉันยังไม่คิดว่าตัวแบบเชิงเส้นอย่างง่ายจะถูกกำหนดโดยสิ้นเชิงเนื่องจากเรามีคำว่าเกี่ยวข้องกับตัวแบบ ดังนั้นเราจึงมักจะมีการสุ่มในxดังนั้นระดับใดที่เราสามารถบอกว่าแบบจำลองนั้นกำหนดขึ้นหรือสุ่ม?$\epsilon_t$$x$

วิดีโอที่มีการพูดคุยเกี่ยวกับการสุ่มกำหนดแนวโน้มไม่รุ่น ไฮไลท์สำคัญมาก ทั้งสองแบบของคุณเป็นแบบสุ่มอย่างไรก็ตามในแบบจำลอง 1 แนวโน้มจะถูกกำหนดไว้แล้ว

โมเดล 2 ไม่มีแนวโน้ม ข้อความคำถามของคุณไม่ถูกต้อง

แบบจำลอง 2 ในคำถามของคุณคือ AR (1) โดยไม่มีค่าคงที่ในขณะที่ในวิดีโอรูปแบบคือการเดินแบบสุ่ม (การเคลื่อนไหว Brownian): แบบจำลองนี้มีแนวโน้มสุ่ม . มันสุ่มเพราะมันโดยเฉลี่ยแล้วเท่านั้น การรับรู้ของการเคลื่อนไหว Brownian แต่ละครั้งจะเบี่ยงเบนไปจากเนื่องจากการสุ่มเทอมซึ่งง่ายต่อการดูโดยการแตกต่าง: α t α t e t Δ x t = x t - x t - 1 = α + e t x t = x 0 + t ∑ t = 1 Δ x t = x 0 + α t + t ∑ t = 1

ดังที่ Aksakal ได้กล่าวไว้ในคำตอบของเขาวิดีโอ Ken T ที่เชื่อมโยงอธิบายคุณสมบัติของแนวโน้มไม่ใช่โมเดลโดยตรงน่าจะเป็นส่วนหนึ่งของการสอนเกี่ยวกับหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแนวโน้มและความแตกต่างในด้านเศรษฐศาสตร์ เนื่องจากในคำถามของคุณคุณถามเกี่ยวกับแบบจำลองนี่คือในบริบทของแบบจำลอง :

แบบจำลองหรือกระบวนการสุ่มถ้ามีการสุ่ม ตัวอย่างเช่นหากได้รับอินพุตเดียวกัน (ตัวแปรอิสระ, น้ำหนัก / พารามิเตอร์, พารามิเตอร์ไฮเปอร์พารามิเตอร์ ฯลฯ ) โมเดลอาจสร้างเอาต์พุตที่แตกต่างกัน ในโมเดลที่กำหนดขึ้นแล้วเอาต์พุตจะถูกระบุอย่างสมบูรณ์โดยอินพุตไปยังโมเดล (ตัวแปรอิสระ, น้ำหนัก / พารามิเตอร์, พารามิเตอร์ไฮเปอร์พารามิเตอร์ ฯลฯ ) ซึ่งให้อินพุตเดียวกันกับโมเดลเอาต์พุตนั้นเหมือนกัน ที่มาของคำว่า "สุ่ม" มาจากกระบวนการสุ่ม ตามกฎทั่วไปของหัวแม่มือหากแบบจำลองมีตัวแปรสุ่มมันจะสุ่ม แบบจำลอง Stochastic สามารถเป็นตัวแปรสุ่มแบบง่ายๆได้

ลองแกะคำศัพท์เพิ่มเติมที่จะช่วยให้คุณเข้าใจวรรณกรรมรอบตัวแบบสถิติ (ที่กำหนดขึ้นมาแบบสุ่มหรืออื่น ๆ ... ):

แบบจำลองสโตแคสติกไม่จำเป็นต้องขึ้นกับเวลาหรือแม้แต่กระบวนการมาร์คอฟ (ขึ้นอยู่กับสถานะที่ผ่านมาเช่นคือมาร์คอฟอันดับหนึ่งเนื่องจากมันขึ้นอยู่กับสถานะที่ ) โมเดลเชิงเส้นที่คุณโพสต์ไว้ด้านบนคือสุ่ม (มีตัวแปรสุ่ม) แต่ไม่ใช่มาร์คอฟ (ไม่ขึ้นอยู่กับสถานะที่ผ่านมา) ในตัวแบบเชิงเส้นที่วางไว้ในคำถามข้อผิดพลาดเป็นตัวแปรสุ่มที่เราถือว่าไม่มีการเชื่อมโยง (บางคนไปไกลกว่าที่จะระบุว่าข้อผิดพลาดคือ iid) กระจายแบบสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย (บางคนไปไกลกว่า กระจาย) และหมายถึงศูนย์ ( ) ฯลฯ เราทำสมมติฐานเหล่านี้เพื่อทำให้แบบจำลองเชิงเส้นมีประโยชน์ในการประมาณ$AR(1)$$t-1$$\mu_{\epsilon_t}=0$ตัวแปรตาม (s) โดยการลดบรรทัดฐานของข้อผิดพลาดนั้นให้น้อยที่สุด สมมติฐานเหล่านี้ทำให้เราได้รับคุณสมบัติที่มีประโยชน์ของตัวประมาณและพิสูจน์ว่าตัวประมาณบางตัวดีที่สุดภายใต้สมมติฐานเหล่านั้น ยกตัวอย่างเช่นว่าOLS ประมาณการเป็นสีฟ้า

ตัวอย่างที่เรียบง่ายของรูปแบบสุ่มจะพลิกเหรียญยุติธรรม (หัวหรือหาง) ซึ่งสามารถจำลอง stochastically เป็น IID กระจายตัวแปรสุ่มไบนารีหรือกระบวนการ Bernoulli นอกจากนี้คุณยังสามารถพิจารณาการพลิกเหรียญเป็นระบบทางกายภาพและมาพร้อมกับรูปแบบที่กำหนดขึ้น (ในการตั้งค่าในอุดมคติ) หากคุณคำนึงถึงรูปร่างของเหรียญมุมและแรงกระแทกระยะห่างจากพื้นผิวเป็นต้นหาก แบบจำลองทางกายภาพ (ทางกายภาพ) ของการพลิกเหรียญไม่มีตัวแปรแบบสุ่มในนั้น (เช่นไม่พิจารณาความผิดพลาดในการวัดของอินพุตใด ๆ ในแบบจำลอง) จากนั้นจะถูกกำหนดขึ้น

ในสถิติการสอนมีจุดสับสนระหว่าง stochasticity และheteroscedasticityทั่วไป ตัวอย่างเช่น Ken T มีความสับสนสุ่มสำหรับ heteroscedasticity (หรือความแปรปรวนในความแปรปรวน) ตัวแปรสุ่ม (สุ่ม) เช่นตัวแปรส่งออกของกระบวนการหรือในโมเดลเชิงเส้นคือ heteroscedastic iff ความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงบางอย่างเช่นเวลา ( ) ใน กรณีนี้เช่นนั้นกลุ่มที่แตกต่างกันภายในประชากรจะมีผลต่างต่างกัน ในวิดีโอที่ Ken T เชื่อมโยง (โดย Ben Lambert) หากคุณหยุดชั่วคราวในเวลา 4:00 น. (4 นาที) คุณจะเห็น R ( 1 ) ε T Y T = x T + ε เสื้อ T V R [ X T ] T V R [ X $X_t$$AR(1)$$\epsilon_t$$y_t = ax_t+\epsilon_t$$t$$Var[X_t]$ในโมเดลทางด้านขวาเปลี่ยนแปลงด้วย (heteroscedastic) ในขณะที่ในโมเดลเชิงเส้นเป็นค่าคงที่ (homoscedastic)$t$$Var[X_t]$

นอกจากนี้ยังมีความสับสนในบางครั้งระหว่างกระบวนการสุ่มแบบนิ่งและแบบสุ่มนิ่ง Stationarity แสดงว่าสถิติเช่นค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวนไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาในตัวแบบ ทั้งสองยังถือว่าเป็นตัวแบบสุ่ม / กระบวนการตราบใดที่มีการสุ่มเกี่ยวข้อง ในฐานะเพื่อนมารูนแมทธิวกันน์กล่าวถึงคำตอบของเขาการสลายตัวของ Woldระบุว่ากระบวนการ Stochastic แบบคงที่ใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลรวมของกระบวนการที่กำหนดขึ้นมาและกระบวนการสุ่ม

คำจำกัดความบางอย่างไม่เป็นทางการ

• กำหนดเวลาแบบสามารถเขียนเป็นฟังก์ชั่นเฉพาะของเวลา ไม่มีการสุ่ม ตัวอย่างบางส่วน: $\{y_t\}$
  • $y(t) = 2t$
  • $y(t) = e^t$

• กระบวนการสุ่ม $\{Y_t\}$เป็นชุดของตัวแปรสุ่ม จำได้ว่าตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชั่นจากพื้นที่ตัวอย่างถึงผลลัพธ์ กระบวนการสุ่มเป็นหน้าที่ของทั้งสองครั้งที่และผลจากพื้นที่ตัวอย่าง\ตัวอย่าง:$\Omega$$Y(t,\omega)$$t$$\omega$$\Omega$

  • $y_t = \epsilon_t$โดยที่ (เช่นตามการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน)$\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, 1)$
  • $y_t = .7 y_{t-1} + \epsilon_t$

  นอกจากนี้คุณยังสามารถคิดของกระบวนการสุ่มเป็นเส้นทางที่กำหนดขึ้นสำหรับทุกผลในพื้นที่ตัวอย่าง\สุ่มวาดและคุณได้รับเส้นทางomega)โอห์มω ∈ โอห์มY T ( ω $\omega$$\Omega$$\omega \in \Omega$$Y_t(\omega)$

ความคิดเห็นบางส่วน ...

... เหตุผลที่ AR (1) ถูกเรียกว่าเป็นแบบจำลองสุ่มเพราะความแปรปรวนของมันเพิ่มขึ้นตามเวลา

นั่นไม่ใช่เหตุผล! เหตุผลที่ AR (1) กำหนดกระบวนการสโทแคสติกเนื่องจากกระบวนการสุ่ม ค่าที่แตกต่างกันเป็นไปได้ที่เวลาดังนั้นกระบวนการสุ่ม$t$

ฉันยังไม่คิดว่าตัวแบบเชิงเส้นอย่างง่ายจะถูกกำหนดโดยสิ้นเชิงเนื่องจากเรามีคำว่าเกี่ยวข้องกับตัวแบบ$\epsilon_t$

คุณได้เขียนขึ้นไม่มีกำหนด หากคุณมีกระบวนการอนุกรมเวลาโดยที่เป็นกระบวนการที่มีเสียงรบกวนสีขาวดังนั้นอนุกรมเวลาจะไม่ถูกกำหนดขึ้น มันสุ่มเพราะมีการสุ่ม!x t = α t + ϵ t { ϵ t } { x t$x_t$$x_t = \alpha t + \epsilon_t$$\{\epsilon_t\}$$\{x_t\}$

อนุกรมเวลาจะถูกกำหนดไว้ คุณสามารถย่อยสลายเป็นสองส่วน: ส่วนประกอบกำหนดและส่วนประกอบสุ่ม\{ x t } α t ϵ $y_t = \alpha t$$\{x_t\}$$\alpha t$$\epsilon_t$

สิ่งนี้นำไปสู่ทฤษฎีบทของ Woldว่ากระบวนการแปรปรวนแบบคงที่ใด ๆ สามารถถูกย่อยสลายเป็นองค์ประกอบที่กำหนดขึ้นมาและองค์ประกอบสุ่ม