สุ่มตัวอย่างการกระจายเบต้าที่มีประสิทธิภาพอย่างมีประสิทธิภาพ

ฉันจะสุ่มตัวอย่างอย่างมีประสิทธิภาพจากการกระจายต่อไปนี้ได้อย่างไร?

x \sim B (α, β), x > k

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

หากไม่ใหญ่เกินไปการสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธอาจเป็นวิธีที่ดีที่สุด แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการอย่างไรเมื่อมีขนาดใหญ่ อาจจะมีการประมาณแบบเชิงเส้นกำกับบางอย่างที่สามารถใช้ได้? $k$ $k$

random-generation beta-distribution truncation

— user1502040
แหล่งที่มา

มันไม่ชัดเจนอย่างชัดเจนในสิ่งที่คุณตั้งใจจะมี "

" คุณหมายถึงการตัดทอนกระจายเบต้า (ตัดทอนบนซ้ายที่

x \sim B (α, β), x > k

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

k

$k$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b อย่างแน่นอน

— user1502040

สำหรับพารามิเตอร์รูปร่างทั้งสองที่มีค่ามากกว่า 1 การแจกแจงแบบเบต้าคือ log-concave ดังนั้นซองจดหมายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจึงสามารถใช้สำหรับการสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธ ในการสร้างความแปรปรวนเบต้าที่ไม่ได้รับการตัดทอนคุณกำลังสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ถูกตัดทอน (ซึ่งง่ายต่อการทำ) มันควรจะตรงไปตรงมาเพื่อปรับวิธีนี้

— Scortchi - Reinstate Monica

คำตอบ:

วิธีที่ง่ายที่สุดและวิธีการทั่วไปส่วนใหญ่ที่ใช้กับใด ๆกระจายตัดทอน (มันสามารถทั่วไปยังตัดทั้งสองด้าน) คือการใช้ผกผันเปลี่ยนการสุ่มตัวอย่าง หากคือการแจกแจงดอกเบี้ยสะสมให้ตั้งค่าและรับ $F$ $p_0 = F(k)$

U \sim U (p_{0}, 1) X = F^{- 1} (U)

$U \sim \mathcal{U}(p_0, 1) \\ X = F^{-1}(U)$

ที่คือตัวอย่างจากซ้าย-ตัดทอนที่kฟังก์ชั่น quantile แผนที่จะน่าจะเป็นตัวอย่างจากFเนื่องจากเรานำค่าของเท่านั้นจาก "พื้นที่" ที่ตรงกับค่าของการแจกแจงเบต้าจากภูมิภาคที่ไม่ถูกตัดทอนคุณจะต้องสุ่มตัวอย่างค่าเหล่านั้นเท่านั้น $X$ $F$ $k$ $F^{-1}$ $F$ $U$

วิธีนี้จะแสดงให้เห็นในภาพด้านล่างที่พื้นที่ที่ถูกตัดทอนเป็นเครื่องหมายสี่เหลี่ยมสีเทาจุดสีแดงที่มาจากการจัดจำหน่ายและเปลี่ยนแล้วตัวอย่าง $\mathcal{U}(p_0, 1)$ $\mathcal{B}(2, 8)$

— ทิม
แหล่งที่มา

(+1) เป็นเรื่องที่ควรสังเกตว่าฟังก์ชั่นควอไทล์นั้นไม่ได้รับการประเมินอย่างง่ายดาย

— Scortchi - Reinstate Monica

@Scortchi ถ้า a หรือ b เป็น 1 หรืออย่างน้อยจำนวนเต็มจะมีรูปแบบไม่เลว (ดูวิกิพีเดีย ) และในหลามมีสำหรับผกผันและในการวิจัยมีscipy.special.betainc pbeta

— Graipher

@Graipher: ฉันควรจะพูดว่า "ถูกโดยทั่วไป" - มันจะดีกว่าที่จะหลีกเลี่ยง Newton-Raphson หรือวิธีแก้ปัญหาซ้ำ ๆ ถ้าเป็นไปได้ (BTW qbetaสำหรับฟังก์ชั่นค

— วอไทล์

@Scortchi คุณพูดถูก แต่ส่วนใหญ่แล้วสำหรับคอมพิวเตอร์ยุคใหม่นี่ไม่ควรเป็นปัญหาใหญ่ ฉันยังแนะนำวิธีการนี้เนื่องจากมีให้บริการโดยตรงในซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่และสามารถนำไปใช้กับการแจกแจงแบบตัดทอนใด ๆได้ก็ต่อเมื่อผู้ใช้เข้าถึงฟังก์ชัน quantile ได้เท่านั้น

— ทิม

k

$k$

k

$k$

$\alpha$ $\beta$ $k_1<k_2$

f (x) = \frac{x^{(α - 1)} (1 - x)^{(β - 1)}}{B (k 2, α, β) - B (k_{1}, α, β)}

$f(x) = \frac{x^{(\alpha-1)}(1-x)^{(\beta-1)}}{\operatorname{B}(k2, \alpha, \beta) - \operatorname{B}(k_1, \alpha, \beta)}$

$x_\mathrm{L}$ $x_\mathrm{U}$ $\alpha,\beta>1$

g (x) = c \cdot λ e^{- λ (x - x_{L})}

$g(x) = c \cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda (x-x_\mathrm{L})}$

$\lambda$

- λ = \frac{a - 1}{x} - \frac{b - 1}{1 - x}

$-\lambda = \frac{a-1}{x} - \frac{b-1}{1-x}$

c

$c$

c = \frac{f (x)}{λ e^{- λ (x - x_{L})}}

$c = \frac{f(x)}{\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(x-x_\mathrm{L})}}$

A = c \cdot (1 - e^{- λ (x_{U} - x_{L})})

$A = c \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda(x_\mathrm{U}-x_\mathrm{L})})$

x

$x$

λ

$\lambda$

c

$c$

\begin{aligned} Q (x) = & \frac{x^{a} (1 - x)^{b}}{(a + b - 2) x - a + 1} \cdot \\ [\exp (\frac{(b - 1) (x - x_{L})}{1 - x} + \frac{x_{L} (a - 1)}{x} - (a - 1)) - \\ \exp (\frac{(b - 1) (x - x_{U})}{1 - x} + \frac{x_{U} (a - 1)}{x} - (a - 1))] \end{aligned}

$\begin{align} Q(x)= & \frac{x^a (1-x)^b}{(a+b-2)x - a+1} \cdot\\ & \left[\exp\left(\frac{(b-1)(x-x_L)}{1-x} + \frac{x_L (a-1)}{x} - (a-1)\right) - \right.\\ & \left. \exp\left(\frac{(b-1)(x-x_U)}{1-x} + \frac{x_U(a-1)}{x} - (a-1)\right)\right]\\ \end{align}$

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x}$ $x$ $\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$

$k_1$ $k_2$ $U$ $\frac{- \log(1-U)}{\lambda}$ $\lambda$

ความสวยงามของวิธีการนี้คือการทำงานหนักทั้งหมดในการตั้งค่า เมื่อกำหนดฟังก์ชั่นซองจดหมายค่าคงที่ normalizing สำหรับการคำนวณความหนาแน่นเบต้าที่ถูกตัดทอนสิ่งที่เหลืออยู่คือการสร้างตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอและดำเนินการเกี่ยวกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายไม่กี่บันทึกและพลัง & การเปรียบเทียบ ฟังก์ชั่นซองจดหมายที่กระชับขึ้น - ด้วยเส้นแนวนอนหรือเส้นโค้งแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล - สามารถลดจำนวนการปฏิเสธได้

— Scortchi - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

+1 ความคิดที่ดี เนื่องจากเบต้าเป็นปกติประมาณสำหรับพารามิเตอร์ขนาดเล็กถึงใหญ่ขึ้นอยู่กับว่าพวกมันอยู่ใกล้กันมากแค่ไหนการใช้ซองเกาส์แบบซองอาจมีประสิทธิภาพมากกว่า

— whuber

α < 1

$\alpha<1$

β < 1

$\beta<1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

@whuber: (1) วิธีการที่ฉันได้รับที่นี่เพื่อสร้างซองจดหมายจะไม่ทำงานเพราะความหนาแน่นไม่เข้าสู่เว้า (2) (a) ฉันหมายถึงฟังก์ชั่นพีชคณิตอย่างแน่นอน + บันทึกและอำนาจ, ตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่นถ้าฉันถูกถามหรืออาจเป็นฟังก์ชั่นแกมม่า - ฉันยอมรับว่าฉันไม่มีความคิดที่ชัดเจน (b) คะแนนที่ได้รับ - การประเมินฟังก์ชั่นที่รวดเร็วจะไม่ถูก จำกัด อยู่กับผู้ที่มีรูปแบบปิด

— Scortchi - Reinstate Monica

α < 1

$\alpha\lt 1$

β < 1

$\beta \lt 1$