อะไรคือเหตุผลที่เราใช้ลอการิทึมธรรมชาติ (ln) แทนที่จะล็อกฐาน 10 ในการระบุฟังก์ชันในเศรษฐมิติ

33

econometrics

ตรวจสอบเพื่อดูรายละเอียดyoutube.com/watch?v=IXhucU6214M&feature=youtu.beสิ่งนี้จะบอกว่าทำไมการคำนวณบันทึกธรรมชาติด้วยเหตุผลและการอ้างอิงของนักเขียนชื่อดัง

— Amit Kumar

53

ในบริบทของการถดถอยเชิงเส้นในสังคมศาสตร์ Gelman และ Hill เขียน [1]:

เราต้องการบันทึกตามธรรมชาติ (นั่นคือลอการิทึมฐาน ) เนื่องจากตามที่อธิบายไว้ข้างต้นสัมประสิทธิ์บนสเกลธรรมชาติบันทึกสามารถตีความได้โดยตรงว่าเป็นความแตกต่างสัดส่วนโดยประมาณ: ด้วยสัมประสิทธิ์ 0.06 ความแตกต่างของ 1 ในสอดคล้องกับค่าประมาณ 6 ความแตกต่างในและอื่น ๆ $e$ $x$ $y$

[1] Andrew Gelman และ Jennifer Hill (2007) วิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้การถดถอยและหลายระดับ / โมเดลลำดับชั้น Cambridge University Press: เคมบริดจ์; นิวยอร์ก, หน้า 60-61

— fmark
แหล่งที่มา

3

+1: สำหรับเหตุผลที่เป็นรูปธรรมที่จะชอบลอการิทึมธรรมชาติ

— Neil G

2

โดยทั่วไปฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวซึ่งเท่ากับอนุพันธ์ของมัน

— user603

1

สิ่งนี้จะไม่ใช้หรือไม่ถ้าเราใช้ log10 กับตัวแปร dependent และตัวแปรอิสระ

— cs0815

2

@ cs0815 หากคุณใช้การขยายเทย์เลอร์รอบจุด b ถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลัง , ด้วยจากนั้นคุณจะได้คำสองคำแรก: และคำกลายเป็น 1 สำหรับซึ่งคุณสามารถใช้ซึ่งเป็นจริงสำหรับ x ขนาดเล็กเท่านั้น นอกจากนี้คุณยังสามารถลองใช้ exp (1.06) / exp (1) = 1.0618 และ 10 ^ 1.06 / 10 ^ 1 = 1.1418154

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n}

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(b)}{n!}(x-b)^n$

f (x) = a^{x}

$f(x)=a^x$

f^{(n)} (x) = l n (a)^{n} a^{x}

$f^{(n)}(x) = ln(a)^n a^x$

f (b + x) = f (b) + l n (a) f (b) x + O (x^{2})

$f(b+x) = f(b) + ln(a)f(b)x + \mathcal{O}(x^2)$

l n (a)

$ln(a)$

a = e

$a=e$

f (b + x) \sim f (b) (1 + x)

$f(b+x) \sim f(b) (1+x)$

— Sextus Empiricus

14

ไม่มีเหตุผลที่ดีมากสำหรับการเลือกลอการิทึมธรรมชาติ สมมติว่าเรากำลังประเมินโมเดล:

ln Y = a + b ln X

ความสัมพันธ์ระหว่างธรรมชาติ (LN) และฐาน 10 (log) ลอการิทึมเป็น LN X = 2.303 ล็อก X (ต้นฉบับ) ดังนั้นรูปแบบที่เทียบเท่ากับ:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

หรือวาง a / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

รูปแบบของโมเดลสามารถประมาณได้โดยมีผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากัน

ข้อได้เปรียบเล็กน้อยของลอการิทึมธรรมชาติคือค่าแรกของพวกเขาจะง่าย: d (LN X) / dX = 1 / X ขณะ d (เข้าสู่ระบบ X) / dX = 1 / ((LN 10) X) (ที่มา)

สำหรับแหล่งข้อมูลในตำราเรียนเศรษฐมิติที่บอกว่าสามารถใช้ลอการิทึมรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งให้ดูที่ Gujarati สิ่งจำเป็นสำหรับเศรษฐมิติรุ่นที่ 3 2006 p 288

— อดัมเบลีย์
แหล่งที่มา

2

บันทึกธรรมชาติยังมีประโยชน์ในการถดถอยอนุกรมเวลาครึ่งเวลาเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์โดยประมาณสามารถตีความได้ว่าเป็นอัตราการเติบโตที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง

— Jason B

6

ฉันคิดว่าลอการิทึมธรรมชาติถูกใช้เพราะเลขชี้กำลังมักถูกใช้เมื่อทำการคำนวณดอกเบี้ย / การเติบโต

หากคุณอยู่ในเวลาต่อเนื่องและคุณกำลังทบต้นดอกเบี้ยคุณจะได้มูลค่าในอนาคตเท่ากับจำนวนเงินที่แน่นอนเท่ากับ (โดยที่ r คืออัตราดอกเบี้ยและ N คือจำนวนเงินที่ระบุ ผลรวม). $F(t)=N.e^{rt}$

เมื่อคุณลงท้ายด้วยเลขชี้กำลังในแคลคูลัสวิธีที่ดีที่สุดในการกำจัดมันก็คือการใช้ลอการิทึมธรรมชาติและถ้าคุณใช้การดำเนินการผกผันบันทึกธรรมชาติจะทำให้คุณมีเวลาในการเติบโตที่แน่นอน

นอกจากนี้สิ่งที่ดีเกี่ยวกับลอการิทึม (ไม่ว่าจะเป็นธรรมชาติหรือไม่ก็ตาม) ก็คือความจริงที่ว่าคุณสามารถเปลี่ยนการคูณเป็นการเพิ่มเติม

สำหรับคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าทำไมเราถึงใช้เอกซ์โพเนนเชียลเมื่อทบต้นดอกเบี้ยคุณสามารถค้นหาได้ที่นี่: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

โดยพื้นฐานแล้วคุณจำเป็นต้องใช้ขีด จำกัด เพื่อให้มีการจ่ายอัตราดอกเบี้ยจำนวนไม่ จำกัด ซึ่งท้ายที่สุดก็กลายเป็นคำจำกัดความของการชี้แจง

แม้จะคิดว่าเวลาต่อเนื่องไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิตจริง (คุณจ่ายค่าจำนองด้วยการชำระรายเดือนไม่ใช่ทุก ๆ วินาที .. ) การคำนวณแบบนั้นมักถูกใช้โดยนักวิเคราะห์เชิงปริมาณ

— Mesop
แหล่งที่มา

ฉันอาจได้รับคำตอบเช่นนี้ ประเด็นที่ไม่สำคัญในการสร้างแบบจำลองก็เป็นสิ่งที่ดีเช่นกัน เราสามารถใช้ฐาน 2 ได้อย่างง่ายดายความแตกต่างเป็นเพียงปัจจัยคงที่

— Michael R. Chernick

แน่นอนคุณสามารถเขียนมัน (สังหรณ์ใจมากขึ้น) และเพื่อให้คุณยืนยันว่าฐานไม่สำคัญเหมือนที่อดัมเบลีย์ทำ?

N r^{t}

$Nr^t$

— Neil G

4

เหตุผลเพิ่มเติมว่าทำไมนักเศรษฐศาสตร์ต้องการใช้การถดถอยด้วยรูปแบบฟังก์ชันลอการิทึมเป็นรูปแบบทางเศรษฐกิจ: สัมประสิทธิ์สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน Cobb-Douglas ฟังก์ชั่นนี้เป็นฟังก์ชั่นที่ใช้กันมากที่สุดในหมู่นักเศรษฐศาสตร์ในการวิเคราะห์ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมทางเศรษฐศาสตร์จุลภาค คำที่ยืดหยุ่นใช้เพื่ออธิบายระดับของการตอบสนองของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่เกี่ยวกับอีก

— user21259
แหล่งที่มา

2

นี่เป็นเอกลักษณ์ทางเศรษฐศาสตร์หรือไม่? การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีอยู่ในนั้นและการแจกแจงแบบปกติเป็นเพียงหนึ่งในตระกูลใหญ่ของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ครอบคลุมสถิติจำนวนมาก (ดู GLM's.) ดูเหมือนว่าบันทึกธรรมชาติจะมีประโยชน์ในกรณีเหล่านี้ $e^{-{1\over2}x^2}$

— เวย์น
แหล่งที่มา

1

(\sqrt{e})^{- x^{2}}

$(\sqrt{e})^{-x^2}$

2

เหตุผลเดียวคือการขยายตัวของเทย์เลอร์ให้การตีความผลลัพธ์ที่เข้าใจง่าย

Δ \ln Y_{t} = \ln Y_{t} - \ln Y_{t - 1} = \ln \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}} = \ln (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} - \frac{1}{2} {(\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})}^{2} + \dots

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

\dots = \dots + β \times Δ \ln Y_{t}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$

β

$\beta$

\dots = \dots + β \times Δ \log_{10} Y_{t} \approx \dots + β \times \frac{1}{\ln (10)} \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

β

$\beta$

— Aksakal
แหล่งที่มา

1

มีเหตุผลที่ดีที่จะใช้การเปลี่ยนแปลงการบันทึกของตัวแปรถ้าคุณคิดว่าฟังก์ชันผกผันของลอการิทึมเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งเป็นรุ่นต่อเนื่องของการรวมกัน ตัวแปรทางเศรษฐกิจที่กำลังเติบโตประมาณ 10% ในแต่ละครั้งสามารถเปลี่ยนเป็นตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ยประมาณ 10 (บวกค่าคงที่) คุณไม่สามารถทำได้ด้วยการแปลงลอการิทึมของฐานที่ต่างกัน

— Ikuyasu
แหล่งที่มา