ดังนั้นการกระจายเบต้า

เนื่องจากฉันแน่ใจว่าทุกคนที่นี่รู้อยู่แล้ว PDF ของการแจกแจงเบต้า $X \sim B(a,b)$ มอบให้โดย

$f(x) = \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$

ฉันตามล่าหาสถานที่เพื่ออธิบายต้นกำเนิดของสูตรนี้ แต่ฉันหามันไม่เจอ ทุกบทความที่ฉันพบในการแจกแจงเบต้าดูเหมือนว่าจะให้สูตรนี้แสดงให้เห็นถึงรูปร่างบางส่วนของมันแล้วตรงไปยังการอภิปรายช่วงเวลาและต่อจากที่นั่น

ฉันไม่ชอบใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สามารถหามาอธิบายได้ สำหรับดิสทริบิวชันอื่น ๆ (เช่นแกมม่าหรือทวินาม) มีการได้มาอย่างชัดเจนที่ฉันสามารถเรียนรู้และใช้งานได้ แต่ฉันไม่พบอะไรแบบนั้นสำหรับการแจกแจงแบบเบต้า

ดังนั้นคำถามของฉันคือ: ต้นกำเนิดของสูตรนี้คืออะไร? มันจะมาจากหลักการแรกในบริบทใดก็ตามที่ถูกพัฒนามาตั้งแต่แรก?

[เพื่อความกระจ่างแจ้งฉันไม่ได้ถามเกี่ยวกับวิธีการใช้การแจกแจงแบบเบต้าในสถิติแบบเบย์หรือความหมายในทางปฏิบัติในทางปฏิบัติ (ฉันได้อ่านตัวอย่างเบสบอล) ฉันแค่อยากรู้วิธีการหา PDF มีคำถามก่อนหน้านี้ที่ถามสิ่งที่คล้ายกัน แต่มันถูกทำเครื่องหมาย (ฉันคิดว่าไม่ถูกต้อง) เป็นคำถามซ้ำที่ไม่ได้แก้ปัญหาดังนั้นฉันจึงไม่สามารถค้นหาความช่วยเหลือได้ที่นี่]

แก้ไข 2017-05-06: ขอบคุณทุกคนสำหรับคำถาม ฉันคิดว่าคำอธิบายที่ดีของสิ่งที่ฉันต้องการมาจากคำตอบอย่างใดอย่างหนึ่งที่ฉันได้รับเมื่อฉันถามอาจารย์ผู้สอนหลักสูตรนี้:

"ฉันเดาว่าผู้คนจะได้รับความหนาแน่นปกติเป็นขีด จำกัด ของผลรวมของ n สิ่งหารด้วย sqrt (n) และคุณสามารถหาความหนาแน่นของปัวซองได้จากแนวคิดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในอัตราคงที่เช่นเดียวกันเพื่อให้ได้ ความหนาแน่นของเบต้าคุณจะต้องมีความคิดบางอย่างเกี่ยวกับสิ่งที่ทำให้การกระจายตัวของเบต้าเป็นอิสระจากและมีเหตุผลก่อนที่จะมีความหนาแน่น "

ดังนั้นความคิด "ab initio" ในความคิดเห็นน่าจะใกล้เคียงกับสิ่งที่ฉันกำลังมองหา ฉันไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่ฉันรู้สึกสะดวกสบายที่สุดเมื่อใช้คณิตศาสตร์ที่ฉันสามารถหามาได้ หากต้นกำเนิดนั้นสูงเกินกว่าที่ฉันจะจัดการได้ดังนั้นไม่ว่าจะเป็น แต่ถ้าไม่ใช่ฉันก็อยากจะเข้าใจพวกเขา

— Bradshaw จะ
แหล่งที่มา

มาจากอะไร หากวิธีการทวินาม - คอนจูเกต - ก่อนไม่เป็นที่ยอมรับมีหลายทางเลือกอยู่ที่นี่ (เช่นสถิติการสั่งซื้อของตัวแปรสุ่มสม่ำเสมอสัดส่วนของตัวแปรแกมม่า)

— GeoMatt22

หมายเหตุ: ประวัติทั้งหมดของการแจกแจงแบบเบต้ามีให้ในหน้า Wikipedia ที่ไม่น่าเชื่อในการเผยแพร่นี้ซึ่งมีรายละเอียดที่เป็นไปได้ทุกอย่าง!

— ซีอาน

คำถามก่อนหน้านี้ถูกทำเครื่องหมายว่าซ้ำกับของคนอื่น ๆหลังจาก OP ชี้แจงสิ่งที่พวกเขาหลังจากที่ในความคิดเห็น whuber ถามคำถามแบบเดียวกันกับที่ @ Geomatt22 ทำที่นี่: "การสืบทอดหมายถึงการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลจากสิ่งที่สันนิษฐานว่าเป็นสิ่งที่จะสร้างขึ้นคุณต้องการสมมติอะไร?"

— Scortchi - Reinstate Monica

@ Aksakal แต่คำถามนั้นกว้างเกินไป - มันอาจจะเป็นไปได้ทุกทาง หากคุณพูดถูกฉันจะปิดให้กว้างเกินไปจนคำถามแคบลงจนไม่เหลือคำตอบที่เป็นไปได้

— Glen_b

การสนทนาสั้น ๆ เกี่ยวกับบริบททางประวัติศาสตร์เล็กน้อยอยู่ที่นี่ (อย่างน้อยก็ในแง่ของความสัมพันธ์กับฟังก์ชั่นเบต้าที่ไม่สมบูรณ์) มันมีการเชื่อมต่อกับการแจกแจงแกมม่าและการกระจายอื่น ๆ มากมายนอกเหนือจากและเกิดขึ้นค่อนข้างสมเหตุสมผลในหลายวิธีที่แตกต่างกัน เป็นจุดที่ซีอานออกก็ยังมีต้นกำเนิดประวัติศาสตร์ในระบบเพียร์สัน คุณต้องการคำตอบแบบไหน สิ่งที่ได้รับ / สิ่งที่จะต้องได้รับ?

— Glen_b

คำตอบ:

ในฐานะอดีตนักฟิสิกส์ฉันสามารถเห็นได้ว่ามันจะเกิดขึ้นได้อย่างไร นี่คือวิธีที่นักฟิสิกส์ดำเนินการ:

เมื่อพวกเขาพบกับอินทิกรัล จำกัด ของฟังก์ชันบวกเช่นฟังก์ชันเบต้า : พวกเขาสัญชาตญาณกำหนดความหนาแน่น:

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t

$B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

ที่

f (s | x, y) = \frac{s^{x - 1} (1 - s)^{y - 1}}{\int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t} = \frac{s^{x - 1} (1 - s)^{y - 1}}{B (x, y)},

$f(s|x,y)=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{B(x,y)},$

0 < s < 1

$0<s<1$

พวกเขาทำสิ่งนี้กับอินทิเกรตทุกชนิดตลอดเวลาจนเกิดการสะท้อนโดยไม่ต้องคิด พวกเขาเรียกขั้นตอนนี้ว่า "การทำให้เป็นมาตรฐาน" หรือชื่อที่คล้ายกัน แจ้งให้ทราบว่าโดยความหมายนิดหนาแน่นมีคุณสมบัติทั้งหมดที่คุณต้องการให้มีเช่นบวกอยู่เสมอและจะเพิ่มขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่ง

$f(t)$

UPDATE

@ whuber ถามว่ามีอะไรพิเศษเกี่ยวกับการแจกเบต้าขณะที่ตรรกะข้างต้นสามารถนำไปใช้กับอินทิกรัลที่เหมาะสมได้ไม่ จำกัด จำนวน

ส่วนที่พิเศษมาจากการกระจายทวินาม ฉันจะเขียน PDF โดยใช้สัญลักษณ์ที่คล้ายกันกับเบต้าของฉันไม่ใช่เครื่องหมายปกติสำหรับพารามิเตอร์และตัวแปร:

f^{'} (x, y | s) = (\binom{y + x}{x}) s^{x} (1 - s)^{y}

$f'(x,y|s) = \binom {y+x} x s^x(1-s)^{y}$

ที่นี่ - จำนวนความสำเร็จและความล้มเหลวและ - ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ คุณสามารถดูว่านี่คล้ายกับตัวเศษในการแจกแจงเบต้าอย่างไร อันที่จริงถ้าคุณมองหาการกระจายแบบทวินามก่อนหน้านี้ก็จะเป็นการกระจายแบบเบต้า ไม่น่าแปลกใจเช่นกันเพราะโดเมนของ Beta คือ 0 ต่อ 1 และนั่นคือสิ่งที่คุณทำในทฤษฎีบท Bayes: รวมพารามิเตอร์ซึ่งน่าจะเป็นความสำเร็จในกรณีนี้ดังที่แสดงด้านล่าง: ที่นี่ - ความน่าจะเป็น (ความหนาแน่น) ของความน่าจะเป็นของความสำเร็จที่ได้รับ การตั้งค่าก่อนหน้าของการแจกแจงเบต้าและ $x,y$ $s$ $s$

\hat{f} (x | X) = \frac{f^{'} (X | s) f (s)}{\int_{0}^{1} f^{'} (X | s) f (s) d s},

$\hat f(x|X)=\frac{f'(X|s)f(s)}{\int_0^1 f'(X|s)f(s)ds},$

f (s)

$f(s)$

f^{'} (X | s)

$f'(X|s)$ - ความหนาแน่นของชุดข้อมูลนี้ (เช่นความสำเร็จและความล้มเหลวที่สังเกต) ได้รับความน่าจะเป็นของ

s

$s$

— Aksakal
แหล่งที่มา

@ Xi'an OP ดูเหมือนจะไม่สนใจประวัติศาสตร์

— Aksakal

"คำอธิบายเกี่ยวกับต้นกำเนิดของสูตรนี้ ... ในบริบทใด ๆ ก็ตามที่ได้รับการพัฒนามาในอดีต" ฟังดูคล้ายกับประวัติศาสตร์สำหรับฉัน :-)

— whuber

ฉันเชื่อว่าหนึ่งสามารถมีความสนใจทั้งในประวัติศาสตร์และหลักการแรกในเวลาเดียวกัน :-) ถึงแม้ว่าคำตอบของคุณจะถูกต้องทางคณิตศาสตร์ แต่มันก็กว้างเกินไป: เราสามารถสร้างความหนาแน่นของฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นลบใด ๆ ที่มีอินทิกรัล จำกัด แล้วอะไรคือสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับตระกูลการแจกแจงนี้โดยเฉพาะ? ดังนั้นวิธีการของคุณดูเหมือนจะไม่เป็นที่น่าพอใจ

— whuber

@ WillBradshaw ใช่ โดยปกติแล้วเรามองการแจกแจงทวินามเป็นฟังก์ชันของจำนวนความล้มเหลว (หรือความสำเร็จ) เนื่องจากความน่าจะเป็นและจำนวนการทดลองเป็นพารามิเตอร์ วิธีนี้จะเป็นการกระจายที่ไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามหากคุณมองว่ามันเป็นฟังก์ชั่นของความน่าจะเป็นที่ให้จำนวนความสำเร็จและความล้มเหลวเป็นพารามิเตอร์มันจะกลายเป็นการแจกแจงแบบเบต้าเมื่อคุณปรับขนาดใหม่การกระจายแบบต่อเนื่องคือ btw

— Aksakal

บทความวิกิพีเดียในการกระจายเบต้าร่องรอยไปยังคาร์ลเพียร์สันตรงตามที่แนะนำโดย @ ซีอาน สติเกอร์เลอร์ในประวัติความเป็นมาของสถิติ: การวัดความไม่แน่นอนก่อนปี 1900แสดงเรื่องราวสั้น ๆ เกี่ยวกับการได้มาของเพียร์สันโดยใช้สัญลักษณ์สมัยใหม่

— whuber

Thomas Bayes (1763) ได้รับการแจกแจงแบบเบต้า [โดยไม่ใช้ชื่อนี้] เป็นตัวอย่างแรกของการแจกแจงหลัง , predating Leonhard Euler (1766)ทำงานในอินทิกรัลเบต้าที่ชี้ให้เห็นโดยGlen_bภายในสองสามปีออยเลอร์ (1729 หรือ 1738) [Opera Omnia, I14, 1 {24] เป็นวิธีที่จะพูดคุยฟังก์ชั่นปัจจัยซึ่งอาจจะเป็นเหตุผลที่ normalizing Beta คงจะเรียกว่าฟังก์ชั่นออยเลอร์ -เดวีส์ $-$ $B(a,b)$ $-$ กล่าวถึงวาลลิส (1616-1703) นิวตัน (1642-1726) และสเตอร์ลิง (1692-1770) จัดการกับกรณีพิเศษของอินทิกรัลแม้ก่อนหน้านี้ คาร์ลเพียร์สัน (1895) ครั้งแรกหมวดหมู่ครอบครัวของการกระจายนี้เป็นเพียร์สัน Type I

แม้ว่ามันจะไม่ปรากฏในอดีตตามลำดับการเข้าถึงการแจกแจงแบบง่าย ๆ คือการกระจายของฟิชเชอร์สซึ่งสอดคล้องกับการกระจายของอัตราส่วน ซึ่งฉันใช้จุดประสงค์ปกติสำหรับการประมาณค่าความแปรปรวนเช่นนี้ ปรากฏขึ้นและได้รับแรงบันดาลใจสำหรับการทดสอบความเท่าเทียมกันของความแปรปรวนสองแบบ จากนั้น ในขณะที่ตรงกันข้ามถ้าจากนั้น ค้นหาความหนาแน่นของ a $F(p,q)$

ϱ = {\hat{σ}}_{1}^{2} / {\hat{σ}}_{2}^{2} p {\hat{σ}}_{1}^{2} \sim χ_{p}^{2} q {\hat{σ}}_{1}^{2} \sim χ_{q}^{2}

$\varrho=\hat\sigma^2_1\big/\hat\sigma_2^2\qquad p\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_p\quad q\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_q$

\frac{p ϱ}{q + p ϱ} \sim B (p / 2, q / 2)

$\frac{p\varrho}{q+p\varrho}\sim B(p/2,q/2)$

ω \sim B (a, b)

$\omega\sim B(a,b)$

\frac{ω / a}{(1 - ω) / b} \sim F (2 a, 2 b)

$\dfrac{\omega/a}{(1-\omega)/b}\sim F(2a,2b)$

B (a, b)

$B(a,b)$ การกระจายจึงเป็นการเปลี่ยนแปลงขั้นตอนของตัวแปร: เริ่มต้นจากความหนาแน่นของการแจกแจงแบบ , และพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรซึ่งแปลงกลับเป็น Jacobian คือนำไปสู่ความหนาแน่นของการแปลง [ซึ่งค่าคงที่การปรับสภาพทั้งหมดได้มาจากการกำหนดความหนาแน่นเพื่อรวมเข้ากับหนึ่ง

F (p, q)

$F(p,q)$

f_{p, q} (x) \propto {p x / q}^{p / 2 - 1} (1 + p x / q)^{- (p + q) / 2}

$f_{p,q}(x) \propto \{px/q\}^{p/2-1}(1+px/q)^{-(p+q)/2}$

y = \frac{{p x / q}}{{1 + p x / q}} y \in (0, 1)

$y=\frac{\{px/q\}}{\{1+px/q\}}\quad y\in(0,1)$

x = \frac{q y}{p (1 - y)}

$x=\frac{qy}{p(1-y)}$

\frac{d x}{d y} = \frac{q}{p (1 - y)} + \frac{q y}{p (1 - y)^{2}} = \frac{p}{q (1 - y)^{2}}

$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{q}{p(1-y)}+\frac{qy}{p(1-y)^2}=\frac{p}{q(1-y)^2}$

g (y) \propto y^{p / 2 - 1} (1 - y)^{q / 2 + 1} (1 - y)^{- 2} = y^{p / 2 - 1} (1 - y)^{q / 2 + 1}

$g(y)\propto y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}(1-y)^{-2}=y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}$

— ซีอาน
แหล่งที่มา

+1 อาจเป็นเรื่องที่น่าสังเกตว่าเคเพียร์สันไม่เพียงแค่ "แจกแจง" การแจกแจงเบต้า: เขาได้มาจากการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ของครอบครัวซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากความสัมพันธ์ที่เขาสังเกตเห็นระหว่างสมการแตกต่างสำหรับสมการทวินาม การทำให้สมการความแตกต่างแบบทวินามกับการแจกแจงแบบ hypergeometric เป็นการวางนัยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งการแก้ปัญหานั้นรวมถึง "Type I" และ "Type II" การแจกแจงแบบเบต้า นี่เป็นชนิดของการเริ่มต้นที่ชัดเจนของ OP ที่ดูเหมือนว่าจะเป็นการแสวงหา

— whuber

ฉันคิดว่าฉันสามารถเรียนรู้ได้มากจากการศึกษาคำตอบนี้ มันก้าวหน้าเกินไปสำหรับฉันในขณะนี้ แต่เมื่อฉันมีเวลาฉันจะกลับมาและค้นคว้าหัวข้อที่คุณพูดถึงจากนั้นลองอีกครั้งเพื่อทำความเข้าใจ ขอบคุณมาก. :)

— Will Bradshaw

ก่อนอื่นฉันไม่เก่งในการอธิบายแนวคิดทางคณิตศาสตร์อย่างแม่นยำในหัวของฉัน แต่ฉันจะพยายามอย่างดีที่สุดโดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ:

ลองนึกภาพคุณมีธนูลูกศรและเป้าหมายมากมาย สมมุติว่าอัตราการยิงของคุณ (สำหรับการกดปุ่มเป้าหมาย) นั้นเป็นฟังก์ชันของระยะทางไปยังศูนย์กลางของเป้าหมายและรูปแบบต่อไปนี้ โดยที่ x คือระยะห่างจากศูนย์กลาง ของเป้าหมาย ( ) สำหรับนี่จะเป็นการประมาณอันดับแรกของ Gaussian นั่นหมายความว่าคุณมักจะโดนวัวกระทิง ในทำนองเดียวกันมันใกล้เคียงกับเส้นโค้งรูประฆังใด ๆ ซึ่งเป็นผลมาจากการแพร่กระจายของอนุภาคบราวเนียน $\lambda$

\begin{array}{rcl} λ = g (x) = λ_{m a x} - (q | x - x_{0} |)^{\frac{1}{q}}, q > 0, 0 \leq λ \leq λ_{m a x} \end{array}

$\begin{eqnarray} \lambda=g(x)=\lambda_{max}-(q|x-x_0|)^\frac{1}{q},~q > 0,~0 \leq \lambda \leq \lambda_{max} \end{eqnarray}$

x_{0}

$x_0$

q = 1 / 2

$q=1/2$

ทีนี้สมมุติว่าใครบางคนที่กล้าหาญ / โง่ ๆ พยายามหลอกคุณและกำจัดเป้าหมายในทุกช็อต ดังนั้นเราจึงทำให้เป็นตัวแปรสุ่ม ถ้าการกระจายตัวของการเคลื่อนไหวของบุคคลนั้นสามารถอธิบายได้ด้วย (p-1) - พลังของ (นั่นคือง่าย ๆ การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสุ่ม (จำ ) นำไปสู่การกระจายเบต้า : $x_0$ $g(x)$ $P(x_0) = C\cdot g(x)^{p-1})$ $P(\lambda)d\lambda=P(x_0)dx_0$ $\lambda$

\begin{array}{rcl} P (λ) = P (g^{- 1} (λ)) | \frac{d g^{- 1} (λ)}{d λ} | = C^{'} \cdot λ^{p - 1} \cdot (λ_{m a x} - λ)^{q - 1} \end{array}

$\begin{eqnarray}P(\lambda) = P(g^{-1}(\lambda)) \biggl|\frac{dg^{-1}(\lambda)}{d\lambda}\biggl| = C' \cdot \lambda^{p-1} \cdot (\lambda_{max} - \lambda)^{q-1}\end{eqnarray}$

โดยที่ normalization normalคือฟังก์ชันเบต้า สำหรับตัวแปรที่มาตรฐานของการกระจายเบต้าที่เราจะตั้ง1 $C'$ $\lambda_{max} = 1$

กล่าวอีกนัยหนึ่งการแจกแจงแบบเบต้าสามารถมองได้ว่าเป็นการกระจายตัวของความน่าจะเป็นที่อยู่ตรงกลางของการแจกแจงแบบกระวนกระวายใจ

ฉันหวังว่าสิ่งที่ได้รับนี้จะใกล้เคียงกับความหมายของผู้สอนของคุณ โปรดทราบว่ารูปแบบการทำงานของและนั้นมีความยืดหยุ่นและเข้าถึงได้จากรูปสามเหลี่ยมเช่นการแจกแจงและการแจกแจงรูปตัวยู (ดูตัวอย่างด้านล่าง) ไปยังการกระจายที่แหลมอย่างรวดเร็ว $g(x)$ $P(x_0)$

FYI: ฉันค้นพบสิ่งนี้เป็นผลข้างเคียงในงานปริญญาเอกของฉันและรายงานเกี่ยวกับเรื่องนี้ในวิทยานิพนธ์ของฉันในบริบทของเส้นโค้งการปรับแต่งเส้นประสาทที่ไม่หยุดนิ่ง การใช้แนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้ได้การกระจายตัวของเบต้า - ปัวซองเพื่อการทำงานของระบบประสาท การกระจายนั้นสามารถเหมาะสมกับข้อมูล พารามิเตอร์ที่ติดตั้งอนุญาตให้ประเมินทั้งการแจกแจงรวมถึง jitter distributionโดยใช้การย้อนกลับ logics ส่วนผสม Beta-Poisson เป็นทางเลือกที่น่าสนใจและยืดหยุ่นในการกระจายแบบทวินามลบที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ด้านล่างคุณจะพบตัวอย่าง "Jitter $g(x)$ $p(x_0)$ $\rightarrow$ เบต้า "- แนวคิดในการดำเนินการ:

ตอบ : จำลองการกระจัด 1D ทดลองซึ่งดึงมาจากการกระจายตัวกระวนกระวายใจในสิ่งที่ใส่เข้าไป ( ) ฟิลด์การยิงแบบทดลองโดยเฉลี่ย (เส้นทึบสีดำ) กว้างกว่าและมีอัตราสูงสุดต่ำกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับเส้นโค้งการปรับแต่งพื้นฐานโดยไม่ต้องกระวนกระวายใจ (เส้นทึบสีน้ำเงินพารามิเตอร์ที่ใช้: . B : การกระจายที่เกิดขึ้นของที่ข้าม N = 100 การทดลองและ pdf การวิเคราะห์ของการแจกแจงเบต้าC : การจำลองการนับจำนวนขัดขวางจากกระบวนการปัวซองด้วยพารามิเตอร์โดยที่ฉันแสดงถึงดัชนีของการทดลอง และการกระจาย Beta-Poisson ที่ได้รับตามที่ร่างไว้ข้างต้น $P(jitter)\propto g(x)^{p-1}$ $\lambda_{max} = 10, p = .6, q=.5$ $\lambda$ $x_0$ $\lambda_i$ D : สถานการณ์แบบอะนาล็อกใน 2D พร้อมมุมเลื่อนแบบสุ่มที่นำไปสู่สถิติที่เหมือนกัน

— โจโจ้
แหล่งที่มา