การกระจายความน่าจะเป็นของผลรวมสุ่มของตัวแปรที่ไม่ใช่ของ iid Bernoulli คืออะไร

9

ฉันพยายามค้นหาการกระจายความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนหนึ่งที่ไม่ได้กระจายตัวแบบเดียวกัน นี่คือตัวอย่าง:

จอห์นทำงานที่ศูนย์บริการลูกค้า เขารับสายที่มีปัญหาและพยายามแก้ปัญหา สิ่งที่เขาไม่สามารถแก้ไขได้เขาจะส่งต่อไปยังหัวหน้าของเขา สมมติว่าจำนวนการโทรที่เขาได้รับในหนึ่งวันเป็นไปตามการแจกแจงปัวซองด้วยค่าเฉลี่ย $\mu$ . ความยากลำบากของแต่ละปัญหาแตกต่างกันไปจากสิ่งที่เรียบง่าย (ซึ่งเขาสามารถจัดการได้อย่างแน่นอน) กับคำถามที่พิเศษมากซึ่งเขาไม่รู้วิธีแก้ปัญหา สมมติว่าความน่าจะเป็นที่เขาจะสามารถแก้ปัญหาi -th ตามการแจกแจงแบบเบต้าพร้อมพารามิเตอร์และและเป็นอิสระจากปัญหาก่อนหน้านี้ จำนวนการโทรติดต่อที่เขาแก้ไขในแต่ละวันคือเท่าไหร่? $p_i$ $\alpha$ $\beta$

เป็นทางการมากขึ้นฉันมี:

$Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ สำหรับ $i = 0, 1, 2, ..., N$

ที่ ,และ $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$ $(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$ $p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

โปรดทราบว่าสำหรับตอนนี้ฉันยินดีที่จะสมมติว่า $X_i$ เป็นอิสระ ฉันก็ยอมรับว่าพารามิเตอร์ $\mu, \alpha$ และ $\beta$ ไม่ส่งผลกระทบซึ่งกันและกันแม้ว่าในตัวอย่างจริงของเรื่องนี้เมื่อใด $\mu$ มีขนาดใหญ่พารามิเตอร์ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นเช่นนั้นเพื่อให้การกระจายเบต้ามีจำนวนมากขึ้นในอัตราความสำเร็จต่ำ $p$ . แต่ตอนนี้เราไม่สนใจ

ฉันสามารถคำนวณ $P(Y = 0)$ แต่มันเกี่ยวกับมัน ฉันยังสามารถจำลองค่านิยมเพื่อให้ได้แนวคิดเกี่ยวกับการกระจายตัวของ $Y$ ดูเหมือนว่า (ดูเหมือนว่า Poisson แต่ฉันไม่รู้ว่ามันลดลงไปตามจำนวนหรือไม่ $\mu, \alpha$ และ $\beta$ ฉันพยายามหรือไม่ว่าจะเป็นการสรุปและวิธีการที่อาจเปลี่ยนแปลงค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน) ความคิดของการกระจายตัวนี้คืออะไรหรือฉันจะไปเกี่ยวกับมันได้อย่างไร

โปรดทราบว่าฉันได้โพสต์คำถามนี้ไว้ในTalkStats Forum ด้วยแต่ฉันคิดว่ามันอาจได้รับความสนใจมากขึ้นที่นี่ ขออภัยในการข้ามโพสต์และขอขอบคุณล่วงหน้าสำหรับเวลาของคุณ

แก้ไข : ตามที่ปรากฏ (ดูคำตอบที่เป็นประโยชน์มากด้านล่าง - และขอบคุณสำหรับสิ่งเหล่านั้น!) มันแน่นอน $\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$ การแจกจ่ายสิ่งที่ฉันคาดเดาตามสัญชาตญาณและการจำลองบางอย่าง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ สิ่งที่ฉันพบว่าน่าประหลาดใจก็คือการกระจายปัวซองนั้นขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยของ $\mathrm{Beta}$ การกระจาย แต่ไม่ได้รับผลกระทบจากความแปรปรวน

ตัวอย่างการแจกแจงค่าเบต้าสองต่อไปนี้มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่ความแปรปรวนแตกต่างกัน เพื่อความชัดเจนไฟล์ pdf สีน้ำเงินหมายถึง a $\mathrm{Beta}(2, 2)$ และสีแดง $\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$ .

อย่างไรก็ตามพวกเขาทั้งสองจะได้ผลเหมือนกัน $\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$ การกระจายซึ่งสำหรับฉันดูเหมือนเคาน์เตอร์ง่าย (ไม่ได้บอกว่าผลที่ออกมามันน่าประหลาดใจมาก!)

probability distributions random-variable

— โน
แหล่งที่มา

สำหรับการแก้ไข

N

$N$ มีการแจกแจงแบบปัวซอง - ทวินามแต่ปัญหาของคุณซับซ้อนกว่านี้

— ทิม

ขอบคุณฉันรู้ว่าการกระจาย Poisson-binomial แต่

N

$N$ สุ่มที่นี่

— Constantinos

คุณอาจดูสารประกอบปัวซองแต่คุณอาจต้องทำงานกับ 0 เพื่อให้มีประโยชน์

— Glen_b -Reinstate Monica

6

การโทร (นั่นคือ $X_i$ ) มาถึงตามกระบวนการปัวซอง จำนวนการโทรทั้งหมด $N$ ดังต่อไปนี้การกระจายปัวซอง แบ่งการโทรออกเป็นสองประเภทเช่นไม่ว่าจะ $X_i = 1$ หรือ $X_i = 0$ . เป้าหมายคือการกำหนดกระบวนการที่สร้าง $1$ s นี่เป็นเรื่องไม่สำคัญถ้า $X_i = 1$ ด้วยความน่าจะเป็นคงที่ $p$ : โดยหลักการซ้อนทับของกระบวนการปัวซองกระบวนการเต็มรูปแบบบางเพียงแค่ $1$ s จะเป็นกระบวนการปัวซองด้วยอัตรา $p\mu$ . ในความเป็นจริงในกรณีนี้เราเพียงต้องการขั้นตอนเพิ่มเติมเพื่อไปที่นั่น

ชายขอบมากกว่า $p_i$ , ดังนั้น

P r (X_{i} | α, β) = \int_{0}^{1} p_{i}^{X_{i}} (1 - p_{i})^{1 - X_{i}} \frac{p_{i}^{α - 1} (1 - p_{i})^{β - 1}}{B (α, β)} d p_{i} = \frac{B (X_{i} + α, 1 - X_{i} + β)}{B (α, β)}

$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$

Where $\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$ is the beta function. Using the fact that $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ , the above simplifies to;

P r (X_{i} = 1 | α, β) = \frac{Γ (1 + α) Γ (β)}{Γ (1 + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} = \frac{α}{α + β}

$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ In other words,

X_{i} \sim B e r n o u l l i (\frac{α}{α + β})

$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$ . By the superposition property,

Y

$Y$ is Poisson distributed with rate

\frac{α μ}{α + β}

$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$ .

A numerical example (with R) ... in the figure, the vertical lines are from simulation and red points are the pmf derived above:

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

— Nate Pope
แหล่งที่มา

3

Since $p_i$ is a random variable with a $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ you have $\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ and this is in fact the probability that John actually solves the $i$ th problem, independently of all the others.
Since the total number of problems in a day has a Poisson distribution with parameter $\mu$ and each will be solved with probability $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ , the number John solves each day has a Poisson distribution with parameter $\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$
Your calculation of the probability he does not solve any problems should be $\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$

— Henry
แหล่งที่มา