ผลรวมของตัวแปรสุ่มเลขชี้กำลังดังต่อไปนี้แกมม่าสับสนโดยพารามิเตอร์

ฉันได้เรียนรู้ผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบเอกซ์โพเนนเชียลหลังจากการแจกแจงแกมม่า

แต่ทุกที่ที่ฉันอ่านการตั้งค่าที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น Wiki อธิบายถึงความสัมพันธ์ แต่อย่าพูดว่าพารามิเตอร์ของพวกเขาหมายถึงอะไรจริง ๆ รูปร่างขนาดอัตรา 1 / อัตรา

การแจกแจงแบบเชียล: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

การแจกแจงแกมมา: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

ในการตั้งค่านี้ $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$ คืออะไร สิ่งที่ถูกต้องจะเป็นอย่างไร วิธีการเกี่ยวกับการขยายนี้เพื่อไคสแควร์?

distributions probability gamma-distribution

— edwin
แหล่งที่มา

ตามกฎของหัวแม่มือ - พร้อม - หยาบ probabilists มักใช้

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$ เพื่อแสดงถึงการกระจายแกมม่าที่มีค่าเฉลี่ย

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$ (นั่นคือ

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$ ในขณะที่นักสถิติมักใช้

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$ เพื่อแสดงถึงตัวแปรสุ่มแกมมาที่มีค่าเฉลี่ย

α β

$\alpha\beta$ ไม่ใช่

α / β

$\alpha/\beta$ ตามที่คุณมี Wikipediaอธิบายถึงทั้งอนุสัญญา

— Dilip Sarwate

ขออภัยคุณถูกต้อง

— edwin

คำใบ้สองประการ: 1. อย่าลืมตรวจสอบความสอดคล้องด้านมิติข้อมูล (เช่นพารามิเตอร์มีขนาดของเหมือนกันหรือ recyprocal ... ?) 2. เนื่องจากพารามิเตอร์ของแกมม่าเป็นจำนวนเต็มมันอาจจะง่ายกว่าเล็กน้อยในการใช้แฟกทอเรียลธรรมดาและการแจกแจง Erlang (ของ แน่นอนเหมือนกัน)

x

$x$

— leonbloy

@edwin ดังนั้นโปรดแก้ไขคำถามของคุณเพื่อแก้ไขนิพจน์สำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate แก้ไขแล้ว!

— edwin

คำตอบ:

ผลรวมของอิสระตัวแปรสุ่มแกมมาเป็นตัวแปรสุ่มแกมมาขวา) มันไม่สำคัญว่าพารามิเตอร์ที่สองหมายถึงอะไร (สเกลหรืออินเวอร์สของสเกล) ตราบใดที่ตัวแปรสุ่มทั้งหมดมีพารามิเตอร์ที่สองเหมือนกัน ความคิดนี้ขยายไปถึงตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นกรณีพิเศษของตัวแปรสุ่มแกมมา $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

สิ่งที่ทำให้ฉันสับสนคือหนังสือบางเล่มเขียนประสบการณ์โดยที่คืออัตราในขณะที่คนอื่น ๆ หมายถึง 1 / อัตรา มีสัญกรณ์ที่สอดคล้องกันหรือไม่? ถ้าฉันไม่เห็น pdf ฉันจะไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— edwin

หากคุณคิดว่ามันสับสนให้รอจนกว่าคุณจะเจอตัวแปรสุ่มปกติ มีการตีความอย่างน้อย สามอย่างของที่นักสถิติใช้

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate

ฮ่า ๆ นั่นเป็นเพียงการทำลายวิญญาณผู้บริสุทธิ์ที่ต้องการศึกษาเรื่อง โดยส่วนตัวฉันคิดว่าเป็นเพียงการเขียนไม่ดีในส่วนของผู้เขียนในเวลาเดียวกันฉันยอมรับว่าฉันต้องปรับความสามารถในการมองเห็นสิ่งที่ผิด แต่ก็ยังไม่ใช่ตอนที่ฉันกำลังเดิน

— edwin

โอ้ในฐานะผู้เขียนคำตอบของคำถามอื่นฉันรู้สึกผิดหวังที่คุณคิดว่าคำตอบนั้นเขียนได้ไม่ดี ข้อเสนอแนะสำหรับการปรับปรุงจะยินดีมากที่สุด

— Dilip Sarwate

ฉันไม่ได้อ้างถึงลิงก์ของคุณ

— edwin

ผลรวมของการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียล iid ที่มีสเกล (rate ) คือการกระจายแกมม่าที่มีรูปร่างและสเกล (อัตรา ) $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— นีลจี
แหล่งที่มา

การแจกแจงแกมม่าทำจากการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลซึ่งเป็นการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นฐานสำหรับการแจกแจงแกมม่า ถ้าเรามีตราบเท่าที่ทั้งหมดเป็นอิสระ $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
แหล่งที่มา

ฉันจัดรูปแบบคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบของคุณ โปรดตรวจสอบว่านี่เป็นสิ่งที่คุณต้องการแสดงหรือไม่

— Andy

การยืนยันของคุณไม่ถูกต้องจนกว่าคุณจะมีคุณสมบัติโดยยืนยันว่าเป็นอิสระตัวแปรสุ่ม

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

— Dilip Sarwate