การทดลอง Bernoulli ที่สัมพันธ์กันการกระจายแบบหลายตัวแปรของ Bernoulli?

ฉันลดความซับซ้อนของคำถามการวิจัยที่ฉันมีในที่ทำงาน ลองนึกภาพว่าฉันมี 5 เหรียญและขอเรียกให้ประสบความสำเร็จ เหล่านี้เป็นเหรียญที่มีอคติมากโดยมีโอกาสประสบความสำเร็จ p = 0.1 ตอนนี้ถ้าเหรียญเป็นอิสระแล้วได้รับความน่าจะเป็นของอย่างน้อย 1 หัวหรือมากกว่าง่ายมาก 5 ในสถานการณ์สมมติของฉันการทดลอง Bernoulli ของฉัน (การโยนเหรียญ) ไม่เป็นอิสระ ข้อมูลเดียวที่ฉันสามารถเข้าถึงได้คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จ (แต่ละอันคือ p = .1) และความสัมพันธ์เชิงทฤษฎีของเพียร์สันในหมู่ตัวแปรไบนารี $1-(1-1/10)^5$

มีวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นของความสำเร็จหนึ่งครั้งหรือมากกว่านั้นกับข้อมูลนี้หรือไม่? ฉันกำลังพยายามหลีกเลี่ยงวิธีการจำลองสถานการณ์เนื่องจากผลลัพธ์ทางทฤษฎีเหล่านี้จะถูกใช้เพื่อเป็นแนวทางในความแม่นยำของการศึกษาแบบจำลอง ฉันได้รับการพิจารณาในการกระจายตัวของ Bernoulli หลายตัวแปร แต่ฉันไม่คิดว่าฉันสามารถระบุได้อย่างเต็มที่กับความสัมพันธ์และโอกาสที่จะประสบความสำเร็จเพียงเล็กน้อยเท่านั้น เพื่อนคนหนึ่งของฉันแนะนำให้สร้างแบบเกาส์เกาส์ด้วยเบอเนลลีขอบ (ใช้แพ็คเกจ R copula) จากนั้นใช้pMvdc()ฟังก์ชั่นบนตัวอย่างขนาดใหญ่เพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นที่ฉันต้องการ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะทำอย่างไรกับมัน

multivariate-analysis bernoulli-distribution copula

— S. Punky
แหล่งที่มา

การแจกแจงหลายตัวแปรของเบอร์นูลี่ถูกอธิบายไว้ที่นี่: arxiv.org/abs/1206.1874

— ทิม

มีองค์ประกอบทางโลกหรือไม่ระหว่างการทดลองหรือพวกเขาทั้งหมดในแบบคู่ขนาน? หากก่อนหน้านี้คุณสามารถตั้งสมมติฐานที่ทำให้เข้าใจง่ายโดยที่นั้นขึ้นอยู่กับโดยที่ให้ลำดับโมเดล Markov ของคุณหรือไม่

t r i a l_{i}

$trial_i$

t r i a l_{i - n}

$trial_{i-n}$

n

$n$

— Zhubarb

คำตอบ:

ไม่นี่เป็นไปไม่ได้เมื่อใดก็ตามที่คุณมีสามเหรียญขึ้นไป

กรณีของสองเหรียญ

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าทำไมมันถึงใช้ได้กับสองเหรียญเพราะนี่จะให้สัญชาตญาณว่าอะไรจะแตกในกรณีที่มีเหรียญเพิ่มขึ้น

Letและหมายถึงตัวแปร Bernoulli กระจายสอดคล้องกับกรณีที่สอง ,(Q) ก่อนอื่นให้จำไว้ว่าความสัมพันธ์ของและคือ $X$ $Y$ $X \sim \mathrm{Ber}(p)$ $Y \sim \mathrm{Ber}(q)$ $X$ $Y$

c o r r (X, Y) = \frac{E [X Y] - E [X] E [Y]}{\sqrt{V a r (X) V a r (Y)}},

$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$

และเมื่อคุณรู้ระยะขอบคุณก็รู้ $E[X]$ $E[Y]$ $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(Y)$ $E[XY]$ $XY = 1$ $X = 1$ $Y = 1$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$

$p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$ $q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 0)$ $P(X = 0, Y = 0)$

P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1) .

$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$

$P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

$P_{11}$

กรณีของสามเหรียญ

$6 = 3 + 3$ $2^3 = 8$ $7$ $7 > 6$

$X$ $Y$ $Z$

P_{i j k} = P (X = i, Y = j, Z = k) .

$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$

ในกรณีนี้รูปภาพจากด้านบนจะเป็นดังต่อไปนี้:

มิติได้ถูกชนโดยหนึ่ง: จุดสุดยอดสีแดงกลายเป็นขอบหลายสีและขอบที่ครอบคลุมด้วยสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินได้กลายเป็นใบหน้าทั้งหมด ที่นี่ระนาบสีฟ้าบ่งบอกว่าเมื่อรู้ระยะขอบแล้วคุณจะรู้ผลรวมของความน่าจะเป็นที่อยู่ภายใน สำหรับหนึ่งในภาพ

P (X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},

$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$

$\mathrm{corr}(X, Y)$ $E[XY]$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111} .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$

ดังนั้นนี่ทำให้ข้อ จำกัด บางอย่างเกี่ยวกับการแจกแจงร่วมที่เป็นไปได้ แต่ตอนนี้เราได้ลดการออกกำลังกายไปเป็นแบบฝึกหัดเชิงผสมของการใส่ตัวเลขลงบนจุดยอดของลูกบาศก์ หากไม่มีความกังวลใจเพิ่มเติมขอให้เรามีการแจกแจงร่วมสองรายการซึ่งมีระยะขอบและความสัมพันธ์เหมือนกัน:

$100$ $1/2$ $\mathrm{Ber}(1/2)$

$1 - P_{000}$ $1 - P_{000}'$

$P_{111}$

$\mathrm{Ber}(1/10)$

เหรียญสี่เหรียญขึ้นไป

ในที่สุดเมื่อเรามีมากกว่าสามเหรียญก็ไม่น่าแปลกใจที่เราสามารถปรุงตัวอย่างที่ล้มเหลวเนื่องจากตอนนี้เรามีความคลาดเคลื่อนที่ใหญ่กว่าระหว่างจำนวนพารามิเตอร์ที่จำเป็นในการอธิบายการกระจายข้อต่อและค่าที่เราจัดให้ ความสัมพันธ์

สำหรับจำนวนของเหรียญที่มากกว่าสามเหรียญใด ๆ คุณสามารถพิจารณาตัวอย่างที่มีสามเหรียญแรกประพฤติตามสองตัวอย่างด้านบนและผลลัพธ์ของเหรียญสองใบสุดท้ายนั้นเป็นอิสระจากเหรียญอื่นทั้งหมด

— fuglede
แหล่งที่มา

การทดลองของ Bernoulli ที่มีความสัมพันธ์กันนั้นนำไปสู่การแจกแจงแบบเบต้า - ทวินามสำหรับผลลัพธ์ที่ถูกนับ คุณควรพารามิเตอร์การกระจายนี้เพื่อให้ค่าสหสัมพันธ์ที่ระบุแล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่คุณต้องการ

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

Beta-binomial ไม่ใช่เพียงแค่ Binomial เท่านั้นที่มีพารามิเตอร์ความน่าจะเป็นที่ประสบความสำเร็จเป็นตัวแปรสุ่มหลังจากเบต้า สิ่งนี้นำไปใช้กับปัญหาของ OP ได้อย่างไร

— AG

ใช่นั่นคือลักษณะหนึ่งของการแจกแจง นอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาของการทดลองที่มีความสัมพันธ์ของ Bernoulli (ดูตัวอย่างเช่นHisakado et al 2006 )

— Ben - Reinstate Monica

ดังนั้นจึงเป็น! upvoted

— AG

ที่เกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/questions/363129

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica