ฉันไม่เข้าใจความแปรปรวนของทวินาม

ฉันรู้สึกงี่เง่าจริงๆแม้จะถามคำถามพื้นฐาน แต่นี่ไป:

ถ้าฉันมีตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าและด้วยและดังนั้นถ้าฉันดึงตัวอย่างออกมาฉันจะได้ การกระจายแบบทวินาม $X$ $0$ $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงคือ

$\mu = np = E(X)$

ความแปรปรวนของการแจกแจงคือ

$\sigma^2 = np(1-p)$

นี่คือที่ปัญหาของฉันเริ่มต้น:

ความแปรปรวนจะถูกกำหนดโดย 2 เนื่องจากสแควร์ของผลลัพธ์เป็นไปได้สองรายการไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย (และ ) นั่นหมายถึงดังนั้นนั่นหมายถึง $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

ไม่พิเศษที่ไป? อย่างที่คุณสามารถบอกได้ว่าฉันไม่ค่อยเก่งเรื่องสถิติดังนั้นโปรดอย่าใช้คำศัพท์ที่ซับซ้อน: $n$

variance binomial

— Dain
แหล่งที่มา

ถ้าและเป็นอิสระจากนั้น+ แต่เส้นทางที่ง่ายยิ่งขึ้นคือดังนั้นดังนั้นด้วยความเป็นอิสระ

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

คำตอบ:

ตัวแปรสุ่มสละค่าและที่มีความน่าจะเป็นและจะเรียกว่าเป็นตัวแปรสุ่ม Bernoulli กับพารามิเตอร์พีตัวแปรสุ่มนี้มี สมมติว่าคุณมีตัวอย่างสุ่มของขนาดจากและกำหนดตัวแปรสุ่มใหม่จากนั้นการกระจายของเรียกว่า Binomial ซึ่งมีพารามิเตอร์คือ $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$ และPค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Binomial Y ได้รับโดย

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
แหล่งที่มา

นี่จะตอบคำถามได้อย่างไรซึ่งเป็น "การเพิ่ม n ไปที่ไหน?"

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

@amoeba ขอบคุณมากสำหรับความคิดเห็นของคุณ เนื่องจาก OP ไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มของเบอร์นูลลี่กับทวินามได้ฉันจึงนึกถึงคำจำกัดความที่จำเป็นและกระบวนการรับการแสดงออกที่จำเป็น

— LVRao

ฉันแค่บอกว่าคำตอบของคุณ (ในความคิดของฉัน) จะดีขึ้นถ้าคุณชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดในการใช้เหตุผลของ OP อย่างชัดเจน คำตอบของคุณได้มาจากสูตรที่ถูกต้อง แต่ไม่แสดงว่า OP ผิดพลาดหรือไม่

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

@amoeba จริง ให้ทิศทางทำให้พวกเขาแก้ไขตัวเองก็ช่วยได้บ้าง

— LVRao

ความผิดพลาดสองประการในกระบวนการพิสูจน์ของคุณ:

1:ในวรรคแรกมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันเมื่อเปรียบเทียบกับในส่วนที่เหลือของบทความ $X$ $X$

2: ภายใต้เงื่อนไขที่ว่า ~ ,(X) ลองใช้งานจาก $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
แหล่งที่มา

ถ้าคุณชอบที่ทำให้ดวงตาของคุณมีเลือดออกฉันจะถอดความจากโรงเรียนประถม ลิงค์นี้แสดงการได้มาของ E (X) และ E (X ^ 2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Benjamin