ฉันจะค้นหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติได้อย่างไร

ยกโทษให้ฉันถ้าฉันพลาดบางสิ่งบางอย่างค่อนข้างชัดเจน

ฉันเป็นนักฟิสิกส์ที่มีการแจกแจง (ฮิสโตแกรม) เป็นหลักเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยที่ใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ ค่าที่สำคัญสำหรับฉันคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มเกาส์นี่ ฉันจะพยายามค้นหาข้อผิดพลาดเกี่ยวกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างได้อย่างไร ฉันรู้สึกว่ามันเกี่ยวข้องกับความผิดพลาดในแต่ละ bin ในฮิสโทแกรมดั้งเดิม

— สีน้ำตาล
แหล่งที่มา

คำแนะนำที่มีให้ที่stats.stackexchange.com/questions/26924 โดยทั่วไปข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่างของความแปรปรวนสามารถคำนวณได้ในแง่ของช่วงเวลาสี่ช่วงแรกของการแจกแจงและดังนั้นข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่างของ SD อย่างน้อยสามารถประมาณได้จากช่วงเวลาเหล่านั้น

— whuber

คำตอบ:

ดูเหมือนว่าคุณกำลังขอการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง นั่นคือคุณกำลังขอที่ไหน ${\rm SD}(s) = \sqrt{ {\rm var}(s) }$

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})},

$s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}) },$

และคือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง $X_1, ..., X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$ $\overline{X}$

อันดับแรกเรารู้จากคุณสมบัติพื้นฐานของความแปรปรวนว่า

v a r (s) = E (s^{2}) - E (s)^{2}

${\rm var}(s) = E(s^2) - E(s)^2$

เนื่องจากความแปรปรวนของตัวอย่างที่เป็นกลางเรารู้ 2ในทำไมเป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างประมาณการลำเอียงของ ? , จะถูกคำนวณจากที่เราสามารถอนุมาน $E(s^2) = \sigma^2$ $\sigma$ $E(s)$

E (s)^{2} = \frac{2 σ^{2}}{n - 1} \cdot {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}

$E(s)^2 = \frac{2 \sigma^2 }{n-1} \cdot \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2$

ดังนั้น

S D (s) = \sqrt{E (s^{2}) - E (s)^{2}} = σ \sqrt{1 - \frac{2}{n - 1} \cdot {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}}

${\rm SD}(s) = \sqrt{ E(s^2) - E(s)^2 } = \sigma \sqrt{ 1 - \frac{2}{n-1} \cdot \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$

— มาโคร
แหล่งที่มา

จุดดี. ฉันได้ประมาณความแปรปรวนของ s ^ 2 การหาสแควร์รูทให้ค่าประมาณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ s ^ 2 แต่คุณตอบคำถามจริงซึ่งจะได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ s ฉันจะสมมติว่าด้วยเหตุผลเชิงปฏิบัติคุณก็ต้องการแทนที่σด้วย s เพื่อรับค่าประมาณโดยใช้สูตร

— Michael R. Chernick

ใช่ว่าเป็นขวาคุณสามารถแทนที่

กับ

และประมาณนี้ทำงานได้ดีแม้สำหรับขนาดตัวอย่างเจียมเนื้อเจียมตัว - ฉันได้มีการทดสอบบางอย่างกับ

σ

$\sigma$

s

$s$

n = 20

$n=20$

— มาโคร

ปริมาณมีการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่มีความอิสระองศาเมื่อตัวอย่างมีความเป็นอิสระและกระจายด้วยการแจกแจงแบบปกติเดียวกันปริมาณนี้สามารถใช้เพื่อรับช่วงความมั่นใจสำหรับ ความแปรปรวนของปกติและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หากคุณมีค่าดิบและไม่ได้เป็นเพียงค่ากลางของถังขยะที่คุณสามารถคำนวณ 2 $X=(n-1) s^2/\sigma^2$ $n-1$ $s^2$

เป็นที่ทราบกันว่าถ้ามีการกระจายไคสแควร์กับองศาอิสระแปรปรวนของมันคือ )เมื่อรู้สิ่งนี้และความจริงแล้วเราได้ว่ามีความแปรปรวนเท่ากับ $X$ $n-1$ $2(n-1)$ $\mathrm{Var}(cX) = c^2 \mathrm{Var}(X)$ $s^2$ แม้ว่าจะไม่ทราบคุณสามารถประมาณค่าได้ด้วยและคุณมีความคิดคร่าวๆว่าความแปรปรวนของนั้นคืออะไร

\frac{2 (n - 1) σ^{4}}{(n - 1)^{2}} = \frac{2 σ^{4}}{n - 1} .

$\frac{2(n-1)\sigma^4}{(n-1)^2} =\frac{2\sigma^4}{n-1} \>.$

σ^{4}

$\sigma^4$

s^{4}

$s^4$

s^{2}

$s^2$

— Michael R. Chernick
แหล่งที่มา

σ^{2}

$\sigma^2$

s^{4} \approx σ^{4}

$s^4\approx \sigma^4$

s^{4}

$s^4$

σ^{4}

$\sigma^4$

σ^{4}

$\sigma^4$

บางทีการนอนไม่เพียงพอ แต่นั่นไม่เหมือนการใช้เหตุผลแบบวงกลมใช่ไหม

— Néstor

เราสันนิษฐานจากการโจมตีว่าข้อมูลมาจากการแจกแจงแบบปกติดังนั้นจึงไม่มีปัญหาค่าใช้จ่าย ฉันหมายถึงคร่าวๆตามที่ Macro แนะนำ ฉันยอมรับว่าขนาดตัวอย่างมีผลต่อการปิด s ^ 4 ถึงσ ^ 4 แต่ความกังวลเกี่ยวกับค่าผิดปกติคือ offbase Nesp หากคุณลงคะแนนให้ฉันเพราะฉันคิดว่ามันไม่ยุติธรรม สิ่งที่ฉันนำเสนอเป็นวิธีมาตรฐานในการประมาณค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับ s ^ 2 เมื่อข้อมูลถูกแจกจ่ายแบบธรรมดา

— Michael R. Chernick

@Nesp, Michael ได้ให้ค่าประมาณที่สอดคล้องกันของความแปรปรวนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างจากตัวอย่างที่กระจายแบบปกติ - สำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่ที่จะทำได้ดี - จำลองและค้นหา ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมคุณคิดว่านี่เป็นเหตุผลแบบวงกลม

— มาโคร

$\sigma$

$x=(x_1,...,x_n)$ $(\mu,\sigma)$

L (μ, σ) \propto \frac{1}{σ^{n}} \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{j = 1}^{n} (x_{j} - μ)^{2})

${\mathcal L}(\mu,\sigma) \propto \dfrac{1}{\sigma^n}\exp\left(-\dfrac{1}{2\sigma^2}\sum_{j=1}^n(x_j-\mu)^2\right)$

จากนั้นประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดจะได้รับจาก $(\hat\mu,\hat\sigma)=(\bar x,s)$ $s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar x)^2}$ $\sigma$

R_{p} (σ) = \frac{sup_{μ} L (μ, σ)}{L (\hat{μ}, \hat{σ})} = {(\frac{\hat{σ}}{σ})}^{n} \exp [\frac{n}{2} (1 - {(\frac{\hat{σ}}{σ})}^{2})]

$R_p(\sigma)=\dfrac{\sup_{\mu}{\mathcal L}(\mu,\sigma)}{{\mathcal L}(\hat\mu,\hat\sigma)} = \left(\dfrac{\hat\sigma}{\sigma}\right)^n\exp\left[\dfrac{n}{2}\left(1-\left(\dfrac{\hat\sigma}{\sigma}\right)^2\right)\right]$

โปรดทราบว่า $R_p:{\mathbb R}_+\rightarrow (0,1]$ $0.147$ $0.95$ $R$

data = rnorm(30)
n = length(data)
sg = sqrt(mean((data-mean(data))^2))
# Profile likelihood
rp = function(sigma) return( (sg/sigma)^n*exp(0.5*n*(1-(sg/sigma)^2))  )
vec = rvec = seq(0.5,1.5,0.01)
for(i in 1:length(rvec)) rvec[i] = rp(vec[i])
plot(vec,rvec,type="l")
rpc = function(sigma) return(rp(sigma)-0.147)
# Approximate 95% confidence interval
c(uniroot(rpc,c(0.7,0.8))$root,uniroot(rpc,c(1.1,1.3))$root)

ข้อได้เปรียบของช่วงเวลาแบบนี้คือพวกมันไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลง ในกรณีนี้ถ้าคุณคำนวณช่วงเวลาสำหรับ , $\sigma$ $I=(L,U)$ $\sigma^2$ $I^{\prime}=(L^2,U^2)$

ฉันคิดว่าเขาต้องการค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ s จริงๆ

— Michael R. Chernick